微积分的基本定理（理）.doc

<p>微积分的基本定理
教学目标：
知识与技能：
（1）了解微积分基本定理推导的基本思路；
（2）认识微积分基本定理中积分与导数的关系，了解微积分基本定理的作用；
（3）能利用微积分基本定理求定积分；
过程与方法：
通过分析路程与速度的关系，即速度的积分等于路程的过程中，得到微积分基本定理，理解导数和积分计算的互逆关系，认识和体会微积分基本定理的重要意义和作用.
情感、态度与价值观：
微积分基本定理使得导数与积分得到统一，使得微积分作为一个整体成为研究物体运动变化规律的最有力工具，使学生感悟数学在解决实际问题中的极值.
教学重点：对微积分基本定理的理解；利用微积分基本定理求积分；
教学难点：对微积分基本定理的理解的认识；
教学计划：2课时
教学过程：
一、旧知回顾：
1、定积分定义：一般的，给定一个在区间上的函数，其图像如图所示，将区间分成份，分点为：.第个小区间为，设其长度为.在这个小区间上取一点，的值也趋于这个固定常数.我们称是函数在区间上的定积分.记作：，即，其中叫作积分号，叫作积分上限，叫作积分下限，叫作被积函数.
2、定积分性质：根据定积分定义我们可以得到：
&nbsp; （1）
&nbsp; （2）
&nbsp; （3）
（4）
二、定积分的基本定理：
如果连续函数是函数的导函数，即，则有：
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;也称为牛顿莱布尼兹公式
证明见课本；【老师引导学生分析证明】
三、应用举例：
例1、计算下列定积分：
（1） &nbsp; &nbsp; （2） &nbsp; （3） &nbsp; &nbsp;（4）
【同步训练】：
1．下列式子正确的是 (　　)．
A．f(x)dx＝f(b)－f(a)＋c &nbsp; B．f’(x)dx＝f(b)＋f(a)
C．f(x)dx＝f(x)＋c &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．′＝0
2．由曲线y＝x3，直线x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积为 &nbsp; &nbsp; &nbsp;
A．1 &nbsp; B． &nbsp; &nbsp; &nbsp; C． &nbsp; D．
3．等于 &nbsp; &nbsp; ．
4．定积分＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;．
5．定积分＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp;．
例2、求定积分：
【同步练习】：
1、计算：
2、计算定积分：
(1) &nbsp; &nbsp;(2)
例3、求定积分，并解释其意义.
【同步练习】：
1、已知曲线y＝f(x)在x轴下方，则由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所围
成的曲边梯形的面积S可表示为 (　　)．
A．f (x)dx &nbsp; B．f (x)dx &nbsp; &nbsp;C．－f (x)dx &nbsp; D．－f (x)dx
2、利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)dx；　(2) cos xdx； &nbsp; (3)(sin7x＋x3)dx．
解 (1)由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，其图像是圆心为原点，半径为1的圆的部分．
∴ dx＝π·12＝π．

(2)由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像的对称性(如图)知，
cos xdx＝0．
(3)∵函数y＝sin7x＋x3
在x∈[－1,1]上是奇函数且区间[－1,1]关于原点对称，
∴ (sin7x＋x3)dx＝0．
3．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积是______
4、求当c取何值时，(x2＋cx＋c)2dx的值最小？
解　令y＝(x2＋cx＋c)2dx
＝(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx
＝＝＋c＋c2
∴y′＝＋c，
令y′＝0，得c＝－．
当c＜－时，y′＜0，当c＞－时，y′＞0．
∴当c＝－时，y最小．
四、小结：
本节课：（1）我们学习了微积分的基本定理：如果连续函数是函数的导函数，即，则有： &nbsp;也称为牛顿莱布尼兹公式
（2）利用微积分基本定理求简单定积分
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