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第四章 随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
定义1 设离散型随机变量X的概率分布律为
，
若级数绝对收敛，则称该级数的和为随机变量的数学期望或均值,记为，即
。
若不绝对收敛，即级数发散,则称的数学期望不存在
二、连续型型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度函数为，若积分
绝对收敛，则称该积分为随机变量的数学期望或均值，记为，即

若积分不绝对收敛，即积分发散,则称的数学期望不存在。
三、随机变量函数的数学期望
定理1设随机变量是随机变量的函数（为连续函数），则
（1） 若为离散型随机变量，其分布律为
，
若级数绝对收敛，则的数学期望存在，且有
(2）若为连续型随机变量, 其密度函数为，若积分
绝对收敛，则的数学期望存在，且有

定理 若是随机变量与的连续函数,则
（1）设为二元离散型随机变量,其联合分布律为
，
若级数绝对收敛,则的数学期望存在，且有
（2） 设为二元连续型随机变量, 其联合密度函数为,若
积分绝对收敛，则的数学期望存在，且有
四、几种重要的分布的数学期望
1、0—1分布:若服从参数为的0—1分布,则
2、二项分布：若，则
3、Possion分布：若则
4、均匀分布：若则
5、指数分布：若则
6、正态分布
若即则。
特别地：若即，则

五、数学期望的性质
1、，为常数；
2、，为常数；
3、,为常数；
4、对任意两个随机变量与，有;
5、若随机变量与相互独立，则。
第二节 随机变量的方差
一、方差的基本概念
定义3设为随机变量， 的期望存在，称为随机变量的离差。
显然, 总有
定义4 设为随机变量,的期望存在，若存在,
则称 为随机变量的方差，记为或，即

而称为的标准差或均方差.
由方差的定义，对于离散型和连续型随机变量的方差计算如下：
（1）若离散型随机变量，概率函数为则

（2）若为连续型随机变量，密度函数为,则

二、方差的性质
1、，为常数;
2、,为常数；
3、，为常数；
4、若随机变量与相互独立,则，
若相互独立，则

5、的充分必要条件是依概率1取常数，即 ，显然 ,亦即的充分必要条件是
三、常用随机变量的方差
1、 0—1分布：若服从参数为的0-1分布,则
2、二项分布:如,则
3、Possion分布:若 则

4、均匀分布：若则
5、指数分布：若，则
6、正态分布：若即则

特别地：若即，则
四、切比雪夫不等式
定理3设随机变量X的期望与方差均存在（这时均值也存在），则 对任意正数，有下面不等式成立：

或

第三节 协方差、相关系数及矩
一、协方差
1、协方差的定义
定义5：设有二维随机变量,且与存在，如果存在，则称为与的协方差，记为,即.
2、协方差的简算公式：Cov(X,Y）=E(XY）-E(X）E（Y)
3、协方差的性质
（1）；
（2），为常数;
（3)，其中为你任意常数；
（4)
（5）若与独立，则
二、相关系数
定义6设随机变量与的方差与，称为与的相关系数，记为，即=
相关系数的性质：
(1），
（2）的充分必要条件是与依概率1线性相关，即存在常数，使且。
定义7 设为随机变量与的相关系数,则称与不相关；若，则称与完全相关，时,称与完全正相关，时，称与完全负相关.

注：对任何随机变量与,有
三、矩
1、原点矩:对于正整数，若存在，称为随机变量的阶原点矩。
2、中心矩:对于正整数，若存在，则称为随机变量的阶中心矩
3、中心混合矩：对于正整数,若存在,则称为与的混合中心矩.
4、协方差矩阵:若随机变量的方差都存在,与的协
方差都存在，记
,则称矩阵

为维随机向量的协方差矩阵。