第四章随机变量的数字特征.doc

第四章 随机变量的数字特征第一节 随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义1 设离散型随机变量X的概率分布律为，若级数绝对收敛，则称该级数的和为随机变量的数学期望或均值,记为，即。若不绝对收敛，即级数发散,则称的数学期望不存在二、连续型型随机变量的数学期望定义2 设连续型随机变量X的概率密度函数为，若积分绝对收敛，则称该积分为随机变量的数学期望或均值，记为，即若积分不绝对收敛，即积分发散,则称的数学期望不存在。三、随机变量函数的数学期望定理1设随机变量是随机变量的函数（为连续函数），则（1） 若为离散型随机变量，其分布律为 ，若级数绝对收敛，则的数学期望存在，且有(2）若为连续型随机变量, 其密度函数为，若积分绝对收敛，则的数学期望存在，且有定理 若是随机变量与的连续函数,则（1）设为二元离散型随机变量,其联合分布律为 ，若级数绝对收敛,则的数学期望存在，且有（2） 设为二元连续型随机变量, 其联合密度函数为,若积分绝对收敛，则的数学期望存在，且有四、几种重要的分布的数学期望1、01分布:若服从参数为的01分布,则2、二项分布：若，则3、Possion分布：若则4、均匀分布：若则5、指数分布：若则6、正态分布若即则。特别地：若即，则五、数学期望的性质1、，为常数；2、，为常数；3、,为常数；4、对任意两个随机变量与，有;5、若随机变量与相互独立，则。第二节 随机变量的方差一、方差的基本概念定义3设为随机变量， 的期望存在，称为随机变量的离差。显然, 总有定义4 设为随机变量,的期望存在，若存在,则称 为随机变量的方差，记为或，即而称为的标准差或均方差.由方差的定义，对于离散型和连续型随机变量的方差计算如下：（1）若离散型随机变量，概率函数为则（2）若为连续型随机变量，密度函数为,则二、方差的性质1、，为常数;2、,为常数；3、，为常数；4、若随机变量与相互独立,则，若相互独立，则5、的充分必要条件是依概率1取常数，即 ，显然 ,亦即的充分必要条件是三、常用随机变量的方差1、 01分布：若服从参数为的0-1分布,则2、二项分布:如,则3、Possion分布:若 则4、均匀分布：若则5、指数分布：若，则6、正态分布：若即则特别地：若即，则四、切比雪夫不等式定理3设随机变量X的期望与方差均存在（这时均值也存在），则 对任意正数，有下面不等式成立：或第三节 协方差、相关系数及矩一、协方差1、协方差的定义定义5：设有二维随机变量,且与存在，如果存在，则称为与的协方差，记为,即.2、协方差的简算公式：Cov(X,Y）=E(XY）-E(X）E（Y)3、协方差的性质（1）；（2），为常数;（3)，其中为你任意常数；（4)（5）若与独立，则二、相关系数定义6设随机变量与的方差与，称为与的相关系数，记为，即=相关系数的性质：(1），（2）的充分必要条件是与依概率1线性相关，即存在常数，使且。定义7 设为随机变量与的相关系数,则称与不相关；若，则称与完全相关，时,称与完全正相关，时，称与完全负相关. 注：对任何随机变量与,有 三、矩1、原点矩:对于正整数，若存在，称为随机变量的阶原点矩。2、中心矩:对于正整数，若存在，则称为随机变量的阶中心矩3、中心混合矩：对于正整数,若存在,则称为与的混合中心矩.4、协方差矩阵:若随机变量的方差都存在,与的协方差都存在，记,则称矩阵为维随机向量的协方差矩阵。