1718第8章第7节课时分层训练51.doc

课时分层训练(五十一)　抛物线
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0,2)　　 B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
D　[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
2．(2017·云南昆明一中模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B　[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3.]
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
B　[由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
又y2＝4x的焦点F(1,0)，
∴焦点F到直线的距离d＝＝.]
4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
D　[因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝±4x.]
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
【导学号：31222325】
A．2 B．2
C．2 D．4
C　[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，

由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，
代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，
所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.]
二、填空题
6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________. 【导学号：31222326】
8　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.
联立消去y得x2－6x＋1＝0.
所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．
－　[∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上．
∴－＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．
因此kAF＝＝－.]
8．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．
x2＝3y　[设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，
所以＝＝3，即a＝3，
因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]
三、解答题
9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
[解]　由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，
且AN＝.3分
∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，
∴N(，±2).6分
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.8分
抛物线x2＝y的焦点坐标为，
准线方程为y＝－.10分
抛物线x2＝－y的焦点坐标为，
准线方程为y＝.12分
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. 【导学号：31222327】
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[解]　(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.3分
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.5分
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4).8分
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2).10分
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A. B．6
C．12 D．7
C　[∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0，
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
∴|AB|＝＋＝12.]
2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝__________.
2　[抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝－＋4.
所以－＋4＝0，则k2－4k＋4＝0.
因此得k＝2.]
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
【导学号：31222328】
[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0.2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因为＝2 ，所以y1＝－2y2.
联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.
所以直线AB的斜率是±2.5分
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，

从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.8分
因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝＝4，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.12分