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课时达标检测（三十五） 基本不等式
[练基础小题——强化运算能力]
1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B.＋＞
C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab
解析：选C　因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时取等号．
2．下列不等式一定成立的是(　　)
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C　对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，∴lg≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．
3．当x>0时，函数f(x)＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：选B　f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，∴＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
5．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.
答案：36
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B. C．3 D.
解析：选B　因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D　∵1＝2x＋2y≥2＝2当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1时等号成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C　将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋b的最小值为4.
4．(2016·铜陵二模)已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选B　因为a>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤2，即16≤2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，故选B.
5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B　∵不等式x＋<m2－3m有解，∴x＋min＜m2－3m，∵x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴min＝4，∴m2－3m＞4，即(m＋1)(m－4)＞0，解得m＜－1或m＞4，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1
C. D．3
解析：选B　＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
二、填空题
7．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．
解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．
答案：4
8．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
解析：由＋＝，知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取等号，所以ab的最小值为2.
答案：2
9．(2017·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.
答案：1
10．已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式2x＋m＋>0可化为2(x－1)＋>－m－2，
∵x>1，∴2(x－1)＋≥2＝8，
当且仅当x＝3时取等号．
∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，
∴－m－2<8，
解得m>－10.
答案：(－10，＋∞)
三、解答题
11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由(1)知＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
12．(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8<x<450，
所以2x＋≥2 ＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m2.