第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计.doc

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第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
6。1 数字滤波器的基本概念
1、定义
数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件.
2。 数字滤波器与模拟滤波器比较
(1）在概念上相同，只是信号的形式和实现滤波器方法不同。
(2)较模拟滤波器精度高，稳定，体积小，重量轻,灵活，不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波器功能等优点。
（3）数字滤波器处理模拟信号,用和转换.
3. 数字滤波器分类
(1)经典滤波器：特点是输入信号中有用成分和滤除成分各占有不同频带。
(2)现代滤波器：如维纳斯滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，这些滤波器可根据随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号，即使信号与干扰的频带相互重叠，则可以完成对干扰的有效滤波。
4。 数字滤波器设计的一般步骤：
(1)按照任务的要求，确定滤波器的性能要求。
（2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统函数去逼近这一性能.系统函数有系统函数和系统函数两种。
(3）利用有限精度算法来实现这个系统函数。包括选择基本运算结构，选择合适的字长以及有效数字的处理方法。
　设计 选择
技术指标　　　　　　　网络结构　　　软件(或硬件）实现
5.数字滤波器分类
可以分为无限脉冲响应和滤波器，它们的系统函数分别为：

　　　　　IIR
　　　　FIR
6。理想滤波器的幅频特性如下图
图1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
7. 数字滤波器的技术要求
（1)　数字滤波器（选频器）其传递函数表示如下：

式中为幅频特性，为相频特性。
（2）　一般选频滤波器的技术要求由幅频给出，相频特性不做要求。
（3）　实际中通带和阻带中都允许一定的误差容限,在通带与阻带之间设置一定的宽度的过渡带。
(4）　图2给出了低通滤波器的幅频特性,分别为通带和阻带截止频率.

图2 低通滤波器的技术要求
●通带频率范围为，在通带中要求，
通带内允许的最大衰减用表示

●阻带频率范围为，在阻带内要求，阻带内允许
的最小衰减用表示

●当幅度为 时，，此时，故称为通带
截止频率。、和称为边界频率,在滤波器设计中很重要。
8。 设计数字滤波器有以下两种方法：
（1) 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器（即先设计），再转换成数字滤波器的函数。优点是模拟滤波器设计方法成熟.
（2) 计算辅助设计法，是直接在频域或者时域中进行设计,由于要联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。

6.2 模拟滤波器的设计
1、概述
(1) 模拟滤波器设计方法已相当成熟,有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。
（2） 常用的模拟滤波器：巴特沃斯,切比雪夫，椭圆，贝塞尔滤波器等.
（3） 设计滤波器时,总是先设计低通滤波器，再通过低通滤波器转换成希望类型的滤波器.
2。模拟滤波器的设计指标及逼近方法
（1)设计指标：,,和。
其中,分别为通带截止频率和阻带截止频率，为通带（0～）的最大衰减系数，为阻带（)最小衰减系数，用表示.
　　　　 (1)
（2）
（2)逼近法
在指标给定后,需要设计一个传输函数，希望其幅度平方函数满足给定的指标和。
用，，和求出滤波器的，那么就可得到所需的，这时必须是稳定的,因此极点必须落在平面的左半平面，相应的极点落在右半平面。
3. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法
(1） 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数如下：
(3）
式中为滤波器的阶数。
当时，=1
当时，=1/
当时,随加大,幅度迅速下降，下降速度与阶次有关。

图3 低通滤波器的幅度特性

(2 ） 将幅度平方函数写成的函数
(4）
上式表明幅度平方有2个极点，极点用下列式子表示为
(5）
个极点等间隔分布在半径为的圆上,间隔为。
（3） 的极点分布特点是:
●极点在平面是象限对称的，分布在的圆上，共有2个极点,等间隔。
●极点绝不会落在虚轴上，因而滤波器才有可能是稳定的.
●为奇数时，实轴上有极点，为偶数时，实轴上没有极点.

例如：=3时，的极点分布如下图
　　　　　　　　 图4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布
在左半平面的极点即为的极点，因而(其中系数由可以求出)
而为使设计统一,将所有频率归一化，采用3截止频率进行归一化。
式中, (6）
令归一化频率；令归一化复变量，这样归一化后的巴特沃斯传输函数为
(7）
式中,为归一化极点，用公式表示为:
(8）
计算的步骤如下：
Step1，根据技术指标计算出阶数；
Step2,用求出个极点；
Step3，再用计算出归一化传递函数;
Step4，确定再去归一化，即将代入中，得到。
①求出（由技术指标，，和计算)

由上面两式可得：　　　　　　　　　　　　　　（9)

同理　　　　　　

由上面两式可得：　　　　　　　　　　　　　　　(10）
联立（9）和（10）可得

上式求出的可能是小数，应取大小等于的最小整数。

②的确定
l 阻带指标有富裕量，由（9）式得：

l 通带指标有富裕量,则由（10）式得：

将(8）式代入（7)式得到的分母是的阶多项式，用下式表示

归一化系数，极点可由表6.2.1（P157）得到,这样只要求根据设计指标求出阶数，查表可得及各极点，省去了许多运算工作。

例：导出三阶巴特沃斯题通滤波器的系统函数，设.
解：幅度平方函数是
令，则有 ，极点，前面三个，就是的极点，平面左半边极点

由，,三个极点构成的系统函数为
=
设计模拟低通滤波器的步骤：由技术指标（，，和）计算和,进而得到模拟低通滤波器的。
例6.2。1 已知通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减按照以上技术指标设计巴特沃斯题通滤波器.
解：(1）确定阶数

因为，=0。0242 ,，则
，取。
(2）方法一（极点法）:由，求出归一化极点为:
，,，,
代入下式求出归一化传输函数为
上式分母可以展开形成五阶多项式，或共轭极点放在一起形成因式分解形式。
方法二（查表法）：由查表可得，，,，

式中=1.0000,=3.2361，=5.2361，=5.2361,=3。2361
③将去归一化,先求3截止频率，

将代入中得到

（3）巴特沃斯低通滤波器设计方法总结
l 方法1：极点法

用代入去归一化

l 方法2:查表法
查表得归一化系统函数　　　　　　　　　　　　　　
例题：设计一个巴特沃斯低通滤波器，满足以下技术指标：在通带上衰减不大于，在阻带截止频率上衰减不小于，分别用极点法和查表法求传输函数。
解：设计步骤分三步：
(1）　确定技术指标，求出阶数和截止频率
，
，

取，得

由通带指标求出进行设计,通带指标能准确满足要求，阻带指标将超过要求。
(2)求归一化传输函数
方法一：求归一化极点（左边平面极点）
，，，
，

方法二：查表求,

（3)去归一化

5. 模拟滤波器的频率变换——模拟高通,带通，带阻滤波器设计
（1） 一般滤波器的设计方法
① 把技术指标转变成低通滤波器的技术指标.
② 按技术指标设计低通滤波器.
③ 再将低通滤波器的传输函数换成所需类型的滤波器传输函数。

（2) 对符号规定
① 低通传输函数用表示，；归一化频率用表示;,称为归一化拉氏变量。
② 所需类型（如高通)传递函数用表示，；归一化频率用表示；令，并将称为归一化拉氏变量,称为归一化传递函数。

（3） 低通到高通的频率变换
① 低通和高通幅频特性如下图

② 的关系
将和对应起来看有： 为低通到高通的频率变换公式。如果已知低通，高通，则下式转换
③ 模拟高通滤波器的设计步骤如下：
l 确定高通技术指标：通带下限，阻带上限,通带最大衰减，阻带最小衰减。
l 确定相应低通滤波器的设计指标:
低通滤波器通带截止频率；
低通滤波器阻带截止频率；
通带最大衰减仍为，阻带最小衰减仍为。
l 设计归一化低通滤波器
l 求模拟高通的

例6.2.3 设计高通滤波器，幅度特性单调下降，处
最大衰减为,阻带最小衰减。
解：
① 高通技术指标：

归一化频率：
② 低通技术指标:

③设计归一化低通，采用巴特沃斯滤波器，故
， 取N=3
(查表N=3 )
④　求模拟高通：
，式中
(4)　低通到带通的频率变换
● 带通和低通滤波器的幅度特性如下图所示

图2 带通与低通滤波器的幅度特性
图中和分别为带通滤波器的通带上限和下限频率；令称B为通带带宽，一般用B作归一化参数（）;和分别称为下阻带上限和上阻带下限频率。
定义，称为通带中心频率，归一化边界频率用下式表示：

● 带通和低通的幅度特性对应起来，得到和的对应关系如下表

－
－
0

0

● 由和的对应关系可得： (1)
● 由上面公式和对应关系求，

● 下面推导归一化低通到带通的转换公式
ü 由于，将其代入（1）式得：

ü 将代入上式，得:

ü 将代入上式去归一化：

ü 因此
● 模拟带通滤波器设计步骤总结
① 确定模拟带通滤波器技术指标，即：带通上限频率,带通下限频率，下阻上限频率,上阻下限频率，通带中心频率,通带宽度。
归一化:
　　　　，，，,
通带最大衰减，阻带最小衰减。
②　确定归一化低通指标

与的绝对值不相等，一般取绝对值小的。
③　由设计归一化低通。
④　由得到。

例6。2。4 设计模拟带通滤波器，通带带宽，中心频率,通带内最大衰减,阻带，，阻带最小衰减。
解：
①　模拟带通滤波器的指标要求：
,
,，
,
②　模拟归一化低通滤波器技术要求：

取，
③设计模拟归一化低通滤波器，采用巴特沃斯型，有
，

取N=3,查表6。2.1，得

④　求模拟带通

（5）低通到带阻的频率变换
1）、低通与带阻滤波器的频率变换

图3 低通与带阻滤波器的幅频特性
图中：为下通带截止频率；为上通带截止频率；为阻带下限频率 为阻带上限频率;为阻带中心频率;B为阻带宽度，作为归一化参考频率。
相应的归一化频率为 , , ，, 。
2)将低通和带阻滤波器对应起来，得出和的对应关系，如下表

根据和的对应关系,可得:
　　　　　　　　　　　　　　　（1)

且，（1）式称为低通到带阻的频率变换公式.
3)将（1）式代入，并去归一化，可得

则归一化低通转换成带阻的频率变换公式为

4）下面总结设计带阻滤波器的步骤：
① 确定模拟带阻滤波器的技术要求
下通带截止频率；上通带截止频率；阻带下限频率；阻带上限频率;阻带中心频率;阻带宽度;
它们相应的归一化频率为:， ,，，。
通带最大衰减和阻带最小衰减
② 确定归一化模拟低通技术要求

取和的绝对值较小的。
通带最大衰减为，阻带最小衰减。
③ 设计归一化模拟低通。

③ 按照直接将转换成带阻滤波器.

例6.2.5 设计模拟带阻滤波器,其基本要求：，
，
，试设计巴特沃斯带阻滤波器。
解：
① 模拟带阻滤波器的设计要求：
，

，
，,
，,
② 归一化低通滤波器的技术指标:
，取，

③ 设计归一化低通滤波器为
，故取N=2，查表可得

④ 带阻滤波器的为

6。3 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器
1、利用AF理论和设计方法设计IIR数字滤波器的常用过程
（1) 按技术要求设计模拟滤波器。
（2) 再将H(z）数字滤波器的传输函数。
2、完成s平面到z平面的转换，转换优劣主要从两方面考察
（1）　稳定性
H(z)应保持的因果稳定性，即s平面的左半平面应该映射到z平面的单位圆内。
(2）　逼近程度
S平面的虚轴应映射到z平面的单位圆上;模拟角频率和数字角频率w之间成线性关系，。

3、从转换成H(z)方法
工程上常用脉冲响应不变法和双线性不变法。
4、脉冲响应不变法
Z变换
时域采样
拉氏逆变换
(1） 转换原理

(2) 转换过程
1） 只有单极点
● 设只有单极点，分母和分子多项式分别是N阶和M阶（N〉M），则可分解成N个部分分式之和
(1)
式中为的单阶极点。
● 对进行拉氏变换得
(2)
● 对进行等间隔T采样得
（3)
● 对（3)式进行z变换
（4）
比较(1）和(4)式，的极点映射到z平面，其极点变成，系数 不变。

2） 若含有高阶极点
若有高阶极点，则需按以下流程一步一步进行设计：

前面单阶
（3） s平面与z平面之间的关系
●
：s虚轴对应z平面单位圆上
● ：s虚轴左半边对应z平面单位圆内
:s虚轴右半边对应z平面单位圆外
（4） 注意到是一个周期函数，可写成
，M为任意整数,即是以为周期。
●当不变，模拟频率变化的整数倍时，映射值不变.即将S平面沿轴分割成一条条宽为的水平带。每条水平带都映射到整个z平面。
●此时，所在的s平面与所在z平面关系如下图所示。

(5）　混叠现象
● 是的采样信号，两者LT变换关系如下：
，
即是以为周期，沿着虚轴对进行周期延拓而成。
● 如果原模拟信号的频带不是限于之间，则会在的奇数倍附近产生频率混叠，映射到z平面在附近产生混叠。
● 脉冲响应不变法的频率混叠现象如下图

图5 脉冲响应不变法的频率混叠现象

● 克服混叠现象的方法:在实际上的频响不可能真正带限,只要在折叠
以上频响衰减加快，即锐截止，用此方法设计的数字滤波器仍能较好地满足要求.
此方法，适合于低通和带通滤波器设计，不适合高通，带阻滤波器设计.
(6) 优缺点
优点：
● 频率坐标变换是线性，,若不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现模拟滤波器的频率特性。
● 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应。
缺点：会有频率混叠现象，适合低、带通，不适合高、带阻通滤波器。

例题：,试用脉冲响应不变法设计IIR的H（z)，设T=0。5
解：将展开成部分分式

其中　　　　　　

因此，有两个极点，，映射z平面，极点则为

将T=0。5代入上式得

6.4 用双线性变换法IIR数字低通滤波器
1、引入
脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率混叠现象。产生原因：模拟低通的最高频率超过折叠频率，在数字化后产生了频率混叠,再通过标准映射，结果在附近形成频率混叠现象。
2、克服上述缺点的办法

采样非线性频率压缩方法，将整个频域轴上的频率范围压到之间,再用变换到z平面上，克服了频率混叠现象.

3、
（1) 设，经过非线性频率压缩后,用,表示，这时用下列正切变换实现频率压缩
(1）
其中T为采样间隔。
当从经过0变化到时，从经0变化到，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的之间的转换.
(2) 将(1）式两端同时乘以j得

因此： （2)

（4)
再通过将从s平面映射到z平面上的得:

因此:
（3)
称式(3)为双线性变换.从s平面映射到平面，再从平面映射到z平面，
其映射情况如下图

图5 双线性变换的映射关系
说明：
●由于从s平面到平面具有非线性频率的压缩功能，因此不可能产生混叠现象，这就是双线性变换法比较脉冲响应不变法的最大优点.
●平面映射到z平面,用，平面上的之间水平带的左半部分映射到z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。
因果稳定也是因果稳定

(5) 模拟频率与数字频率w的关系
令，并代入得：

因此：

说明：
●说明s平面上的模拟频率与z平面上的数字频率成非线性正切关系，如图5所示。
●与w的非线性关系是双线性变换法的缺点，影响数字滤波器频响逼真地模仿模拟滤波器的频响。
●非线性影响实质:如果的刻度是均匀的,则映射到z平面上w的刻度不是均匀的，而是随w增加愈来愈密.
● 幅频与相频失真情况，如图6.4.3所示.

图5 双线性变换法的频率变换关系
(6) 双线性变换可由将直接变换成，这是该方法的优点.但当阶次较高时，将整理也不是件容易事。
为简化设计，已将模拟滤波器各系统经双线性变换法得到的数字滤波器
各系数之间关系，列成表格供设计使用，表6.4。1
设

式中：，和，之间的关系如表6。4.1所示，在已经，时，通过查表获得，的值，从而得到H（z）。

例6。4。1 试分析用脉冲响应不变法和双线性不变法将下图所示低通滤波器转换成数字滤波器。
解：写出传输函数

令,则
① 利用脉冲响应不变法转换成数字滤波器，其传输函数为

② 利用双线性变换转换成数字滤波器，其传输函数为

其中。

(7） 利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤：
① 确定数字低通滤波器的技术指标:通带截止频率,通带衰减,
阻带截止频率，阻带衰减.
② 将数字低通指标转换成模拟低通指标,主要对边界频率和的转换，对和不作变化。
A。采用脉冲响应不变法,边界频率的转变关系为：
B.采用双线性变换法,边界频率的转变关系为：
③ 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。
④ 将模拟滤波器从s平面转换到z平面,得到数字低通滤波器
系统函数。

例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于时，容许幅度误差在以内，在频率到之间的阻带衰减大于.指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。
解：
(1）用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器
① 数字低通的技术指标为：

② 模拟低通的技术指标为:

③ 设计巴特沃斯低通滤波器，先计算N和截止频率

,

取N=6

根据阶数N=6,查表6。2.1得到归一化传输函数为：

将代入中去归一化，得到实际的传输函数

④ 用脉冲响应不变法将转换成。先对进行部分分式,
并按照式6.3。11,6.3。12得到：
(2)用双线性变换设计数字滤波器
①同（1）
②模拟低通指标：

③设计巴特沃斯低通，阶数N计算

取N=6,为求，将，代入

这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超标。查表得归一化，传输函数,将代入去归一化得

④ 用双线性变换将转换成数字滤波器

例：RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数，并选用一种合适转换
方法将转换成数字滤波器,并写出差分方程
解:
(1)
为高通滤波器，只能用双线性变换法

其中。
（2） 差分方程:
将系统函数转化成差分方程为:

化简为:

6。5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
1、
数字高通、带通和带阻的设计，可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的滤波器,再经双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器。
2、具体设计步骤如下
(1)确定所需数字滤波器的技术指标
（2）将所需数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标,转换公式为：

（3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成低通模拟滤波器的技术指标.
(4)）设计（巴特沃斯)低通滤波器.
（5）将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器.
（6）采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器.
总结：数滤技术指标模滤技术指标模拟低通技术指标所需的数滤波器转换成所需模滤设计低通滤波器
例6.5。1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率， 通带衰减不大于,阻带截止频率，阻带 衰减不小于。希望用巴特沃斯法设计，采样间隔。
分析:数字高通先模拟低通数字高通
解：（1)数字高通指标

（2）模拟高通滤波器指标(双线性法)

（3)模拟高通模拟低通指标

(4）设计低通归一化滤波器

取N=2，查表得

（5）将转换成模拟高通

其中
（6）用双线性将

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