高数下期末考试及解答(8份).doc

课程名称 高等数学试卷 （I）题号一二三四五六七八九十总分得分一、 填空（14分）1设f(x)则 。2曲线y=x上切线斜率等于3的点是 。3区间 上单调减少。4= 。5= 。6过点A（2，-3，4）且与y轴垂直相交的直线方程为 。二、 完成下列各题（40分）12已知： 3计算：4计算：5计算：三、 求函数f(x)=在-1，2上的最大值与最小值（8分）四、 证明：当x0时， （8分）五、 设f(x)在a，b上连续，证明： （8分）六、 求曲线当x在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与以及x=2，x=6所围成的图形的面积最小。（8分）七、 求过点（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线相交的直线方程。 （8分）八、 求抛物线与其上点（2，4）处的法线所围成图形的面积。并求该图形在x轴上方部分绕y轴旋转后所得旋转体的体积。（6分） 课程名称 高等数学试卷 （I）题号一二三四五六七八九十总分得分九、 填空（14分）10 2（1，+1），（-1，-1） 3（0， 40 52arctg+C 6十、 完成下列各题（40分）1 （） = （） = （）2等式两边对x求导 （） （） = （）3 4 （）= （）= （）= （）5三、（8分）令 （）得： （） （） （）最大值为3，最小值为0四、（8分）证明：令 （）= （）x0时， x0时，f(x)递增 （） 又f(0)=0, 当x0时，f(x)0 （） 即 （） 五、（8分） （）令t=a+b-x，则x=a+b-t，代入上式 （） （）六、（8分） 设该切线的切点对应处，则该切线为： （）则x=2时，切线上x=6时，切线上 （）围成图形面积为：=令 （）该切线为： （）七、（8分）平面3x-4y+z-10=0的法矢量 （） 设交点为（即两直线交点）则所求直线的方向矢量为 （）则，解得 （）所求直线的方向矢量为16,19,28 （）所求直线为： （） 八、（6分） 在两边对x求导，当x=2时，则法线的斜率为-1 法线方程为：y=-1(x-2)+4=-x+6 （）与抛物线的另一个交点为：(18,-12) （） 所围成圆形如图，它的面积为 = （） 法线与x轴交于= （） 课程名称 高等数学试卷 （III ）题号一二三四五六七八九十总分得分一、 填空（14分）1、 若=+3，则 2、 设，则= 3.= 4、设点（1，3）为曲线的拐点，则 ， 5、 6、在面上的曲线绕轴旋转所得曲面方程是 二、 完成下列各题（35分）1、2、3、4、5、三、 求曲线的拐点。（7分）四、 求曲线在处切线方程及法线方程。（7分）五、 通过点（-1，2，1）且平行于直线的直线方程。（8分六、 设在区间0，1上给定函数，问为何值时，图中阴影部分的面积之和为最小？何时为最大？（8分） 七、 求常数，使（7分）八、 证明方程至少有一个小于1的正根。（7分）九、 设上可导证明：存在（7分） 课程名称 高等数学试卷 （III ）题号一二三四五六七八九十总分得分一、 填空（14分）1、2、3、4、5、6、二、 （35分）1、 （7分）2、 （7分）3、 （7分）4、 （7分）5、 （7分）三、 （7分）解：（3分）令1 0 +0 拐点拐点 （2分） 拐点为：（ （2分）四、（7分）解：（3分）切线方程： （2分）法线方向： （2分）五、（8分）所求直线的方向向量为： （3分） （5分）六、（8分）设图中阴影部分的面积为 （2分）令在（0，1）内设，有 （2分）又 （2分）时，面积S为最小，时，面积S最小。 （2分）七、（7分）解： （3分） （4分）八、（七分）证略（设 （7分）九、（7分） 证略（设 （7分） 课程名称 高等数学试卷 题号一二三四五六七八九十总分得分一、 填空14分1、= 2、若=1，=则 3、函数y=x的极大值为 4、函数在定义域内单调 5、设则与方向一致的单位向量为 6、当时， 与是同阶无穷小，则n= 7、若，则 二、 完成下列各题（40分）1、2、3、（）4、5、三、 设求（8分）四、 设试确定使在处连续且可微。（8分）五、 当时，证明：不等式（6分）六、 求抛物线与其上点处的法线所围成的平面图形的面积。（8分）七、 设在内连续且，证明：在内单调增加函数。（8分）八、 设抛物线与轴所围成的区域被直线分为两部分，如果两部分的面积比，其中为抛物线与直线所围部分的面积，试求参数k的值。（8分） 课程名称 高等数学试卷 题号一二三四五六七八九十总分得分一、 填空（14分） 1、 2、 3、36 4、增加5、 6、3 7、二、 1、 （8分） 2、 （8分）3、 （8分）4、 （设） （8分）5、 （8分）三、 （4分） （4分）四、 由，得 （2分） 由 得 （2分） （2分）因此，时，在处连续 （2分）五、 证略。六、 解：过点的法线方程： （3分）面积 （5分）七、 证略八、 解：抛物线与轴所围成的图形面积： 盐城师范学院考试 课程名称 高等数学试卷 题号一二三四五六七八九十总分得分一、是非题（15分）下列判断是非正确，对者在括号内打“”，错者打“”。1.两函数y=arcsinu,u= 可复合成y=arcsin()。 （ ）2.所有连续的偶函数的原函数都是奇函数。 （ ）3.若f(x)在处有定义且存在极限，则f(x)在可导。 （ ）4.单调函数一定可积。 （ ）5.函数f(x)的任意两个原函数之差恒为零。 （ ）二、填空题（20分）1. 若，则 。2. f(x)=,则= 。3. 如果函数f(x)在a,b上连续，且，则在（a,b）内至少存在一点，使得 成立。4. 自由落体的速度V=g(t),用定积分表示x秒内落下的距离为 。5. 若y=,则 。三、计算题：（28分）1. （8分）2. （10分）3. （8分）4.求由抛物线与直线x+2y-3=0所围成的图形面积。 （10分）四、 证明题：（29分）1.设f(a-x) =f(x)求证：2.设 f(x)在0，1上连续，且对任意的x0,1,有0f(x)1, 试证存在0，1，使f(= 课程名称 高等数学试卷 （IX）题号一二三四五六七八九十总分得分一. 是非题（15分）1. 2. 3. 4. 5.二. 填空题（20分）1.-A 2. 3.f()=0 4. 5.-三，计算题：1.解：=00 原式0 （8分） 2.解：原式2 -2- （10分） 3.解：原式 （8分）4.解：由 , x+2y-3=0 得 （5分）S= （5分） （10分）三. 证明题：（29分）1. 证：由f(a-x)=f(x)令x=+t,则有f(=f(+t) (1) (3分)，令x= (2分)= (前半式令r= -t) (2 分)后面=+ （将（1）式代入） （3分）=+ （2分）=2 （2分） 2.证：令g(x)=f(x)-x, 0 (2分) （1） g(1) (2) (2分)（1） 当g(0)=0 时，=0g(1)=0 时，=1 （3分）（2） 当g(0),g(1)不等于0时g(x)在0，1上连续，g(0)g(1)1+x(6分)七.试确定a值，使f(x)=asinx+sin3x在x=处有极值，指出是极大值还是极小值，并求出此值。（8分）八.求摆线一拱弧长度。（8分）九.求曲线y=x在区间内一条切线，使该切线与直线x=0,x=1及曲线y=x所围面积最小。（8分） 课程名称 高等数学试卷 （VI ）题号一二三四五六七八九十总分得分一. 填空（8分）1. 1 2. 2(x) 3.cosx 4.垂直二. 是非题（4分）1. 2. 3. 4. 三（6分），（3分）连续（1分），（1分）不可导（1分）四.（10分）球心（1，-1，2）（2分）= (2分)平面方程：3x-2y-z-3=0 (6分)五.（42分）1. （3分）=（3分）=+1= （1分）2.=2-2 (2分)=2-2 (2分)=2-4+4arctg+C (3分)3. (3分)=+=0 （4分）4.=- （2分）=-+ （3分）=-= （2分）5.ylnx=xlny (2分) （2分） （3分）6. （4分） （3分）六.（6分）f(x)=e,f(0)=0 （2分） （2分）x0, 0,f(x), f(x)f(0)=0 (1分)x0, 0,f(x) f(x)f(0)=0 (1分)ex+1七.（8分） （2分） （2分） （2分），极大值f()= （2分）八.（8分）S= （2分） =a （3分） =2a=8a （3分）九.（8分）切线方程：y =2tx-t （2分）S= （2分）最小 （2分）此时切线方程为 y=x-即4x-4y-1=0 （2分） 课程名称 高等数学试卷 （VII）题号一二三四五六七八九十总分得分一、 填空题（8分）1 当A= 时，函数 f(x)= 在处连续.2函数y=x- 3x-9x+5 的极大值为 ，极小值为 .3若函数f(x)在a,b上连续，x为 (a,b) 内任一固定点，则 的值为 .4与向量平行的单位向量为 .二、 是非题（4分）1函数f(x)=xsinx当x 时是无穷大量.( )2.已知y=f(x)在(a,b)内可导，x 和x+是 (a,b) 内任意两点，则f(x). ( )3.二次曲面z=与平面y=h相截，截痕是空间中抛物线. （ ）4设f(x)=0,则点(x,f(x)为y=f(x)的拐点. ( )三、计算下列各题(18分)1.；2.设f(x)= 求f(x) ；3设y=x,求dy.四、设f(x)=，在x=0处连续且可导，试求a,b的取值.（8分）五、设f(x)在x,x上具有二阶导数，且f(x)=f(x)=f(x),xx0，F(x)=证明：（1）F （2）方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一根.(8分) 八、证明:y=x-ln(1+x)在定义域内单调递加.(8分) 九、等腰三角形薄板，垂直地沉入水中，其底与水面齐，已知薄板的底为2b，高为h，计算薄板的一侧所受的压力.（8分）十、设一平面垂直于平面z=0 ，并通过从点p(1,-1,1)到直线的垂线，求平面的方程.(10分) 课程名称 高等数学试卷 （VII ）题号一二三四五六七八九十总分得分一、 填空题（8分） 1、2； 2、10，-22； 3、0； 4、2，2，1二、 是非题（4分）1、 2、 3、 4、三、 计算下列各题（18分）1、= （）= （） 2、 （） （） 3、（） （） （）四 、（8分） （1分）五、（7分） 依题意，f(x)在,上满足罗尔定理条件至少（），使得 （至少 （）, 使得 （） 在上满足罗尔定理条件 （）至少（），使得 （） 六、计算下列积分 （21分） 1、 令x=tgt,则dx=sectdt (2)原式= (3分)=-+C=-+C (2分)2、原式=1/2 =-lnx/(2+2x)+1/2 =-1/2ln 3、原式=1/2=1/2xarxtgx-1/2 (2分) =1/2x1/2 (3分) =1/2xarctgx-1/2x+1/2arctgx+C (2分)七、（8分） （1）f(x)0,F(x)= (1分) F(x)=f(x)+ (1分)(2). (1分) 又(a)= (1分)F(b)= (1分)所以F（x）=0至少有一根 (1分)所以方程F（X）=0有且仅有一根。 （1分）八、（8分）D=（- ）Y=1-2x/(1+x)=(1-x) (等号仅在x=1取得)所以y=x-ln(1+x在定义域内单调增加。九、（8分）如图选取坐标系，在坐标系中，三角形在X轴右侧腰所在直线的方程为+=1) (2分)设水的比重为r,则dp= =2rb(x-)dx (3分)p= (2分)= (1分) X+dx十、（10分）直线 (2分)过点P（1，-1，1）而垂直干直线的平面为：y+1+z-1 (2分)即y+z=0该平面与直线的交点为： (1分)取PN的方向向量= = or =2,-1,1设所求平面的法向量为，则，取 (3分)故所得平面为：x-1+2(y+1)=0.即x+2y+1=0 (2分) 课程名称 高等数学试卷 （X）题号一二三四五六七八九十总分得分一、 选择题：1、 （）A、f(x); B、f(x)+C; C、2、设f(x)在取得极值，则必有 （ ）A、; B、不存在；C、 或者不存在。3、f(x)在上连续，则 上至少有一个,使得 ( ) A、= ; B、=；C、f()= .4、f(x) 在处连续是f(x)在处可微分的 （ ）A、必要条件；、充分条件；、充要条件。、x = 0 是f(x)的 （）、驻点；、极值点；、拐点。二、 填空题、曲线x在（，）的切线方程为.、y = tgx在上的平均值 .3、f(x) = x sinx在上单调 ，曲线凸性是.4广义积分dx敛散性是 .5.曲线，x之长s = .三、计算题1.求极限2.求极限3.求的微分4.求摆线，所确定函数在相应点处的5.计算不定积分6.计算不定积分7.计算不定积分8.计算定积分四、证明题1 利用函数单调性证明时，2 设f(x)上连续，证明（1） 若f(x)为奇函数，则；（2） 若f(x)为偶函数，则.五、综合题已知曲线，求(1).曲线上过的切线方程；(2).上述切线与曲线及y轴所围成图形面积A；(3).上述图形饶y轴旋转一周所得立体体积V. 课程名称 高等数学试卷 （X）题号一二三四五六七八九十总分得分一、 选择题(1.A 2.C 3 .C 4 .A 5 .A二、填空题1 .y-1 = 2 . 3 .递增，下凸4 .发散 5 、三、计算题1. （2 3.的微分 （=- 4. 5. = = 6. 7. 8. 四、证明题1、证明：设，则 又 在(上单调递减， 即： 2 证明：(1) = (2) (1= = =2 五 综合题(1)， 切线方程为 （2） （3）V= 共2页，第34页