高数下期末考试及解答(8份).doc

课程名称 高等数学试卷 （I）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 填空（14分）
1．设f(x)则 。
2．曲线y=x上切线斜率等于3的点是 。
3．区间 上单调减少。
4．= 。
5．= 。
6．过点A（2，-3，4）且与y轴垂直相交的直线方程为 。
二、 完成下列各题（40分）
1．
2．已知：
3．计算：
4．计算：
5．计算：
三、 求函数f(x)=在[-1，2]上的最大值与最小值（8分）
四、 证明：当x>0时， （8分）
五、 设f(x)在[a，b]上连续，证明： （8分）
六、 求曲线当x在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与以及x=2，x=6所围成的图形的面积最小。（8分）
七、 求过点（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线相交的直线方程。 （8分）
八、 求抛物线与其上点（2，4）处的法线所围成图形的面积。并求该图形在x轴上方部分绕y轴旋转后所得旋转体的体积。（6分）

课程名称 高等数学试卷 （I）
题号
一
二
三
四
五
六
七

八
九
十
总分
得分

九、 填空（14分）
1．0 2．（1，+1），（-1，-1） 3．（0，
4．0 5．2arctg+C 6．
十、 完成下列各题（40分）
1． （）
= （）
= （）
2．等式两边对x求导
（）
（）

= （）
3．
4． （）
=
（）
= （）
= （）
5．
三、（8分）
令 （）
得： （）
（）
（）
最大值为3，最小值为0
四、（8分）
证明：令 （）

= （）
x>0时， x>0时，f(x)递增 （）
又f(0)=0, 当x>0时，f(x)>0 （）
即 （）
五、（8分）
（）
令t=a+b-x，则x=a+b-t，代入上式 （）
（）
六、（8分）
设该切线的切点对应处，则该切线为：
（）
则x=2时，切线上
x=6时，切线上 （）
围成图形面积为：
=令 （）
该切线为： （）
七、（8分）
平面3x-4y+z-10=0的法矢量 （）
设交点为（即两直线交点）
则所求直线的方向矢量为 （）
则，解得 （）
所求直线的方向矢量为{16,19,28} （）
所求直线为： （）
八、（6分）
在两边对x求导，
当x=2时，，则法线的斜率为-1
法线方程为：y=-1(x-2)+4=-x+6 （）
与抛物线的另一个交点为：(18,-12) （）
所围成圆形如图，它的面积为

=
=
=
=
= （）
法线与x轴交于
=
==
= （）

课程名称 高等数学试卷 （III ）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 填空（14分）
1、 若=++3，则
2、 设，则=
3.=
4、设点（1，3）为曲线的拐点，则 ，
5、
6、在面上的曲线绕轴旋转所得曲面方程是
二、 完成下列各题（35分）
1、
2、
3、
4、
5、
三、 求曲线的拐点。（7分）
四、 求曲线在处切线方程及法线方程。（7分）
五、 通过点（-1，2，1）且平行于直线的直线方程。（8分
六、 设在区间[0，1]上给定函数，问为何值时，图中阴影部分的面积之和为最小？何时为最大？（8分）

七、 求常数，使（7分）
八、 证明方程至少有一个小于1的正根。（7分）
九、 设上可导
证明：存在（7分）

课程名称 高等数学试卷 （III ）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 填空（14分）
1、 2、 3、 4、
5、 6、
二、 （35分）
1、 （7分）
2、 （7分）
3、
（7分）
4、 （7分）
5、 （7分）
三、 （7分）
解： （3分）
令

1

—
0
+
0
—

拐点

拐点

（2分）
拐点为：（ （2分）
四、（7分）
解： （3分）
切线方程： （2分）
法线方向： （2分）
五、（8分）
所求直线的方向向量为： （3分）
（5分）
六、（8分）
设图中阴影部分的面积为
（2分）
令
在（0，1）内设，有 （2分）
又 （2分）
时，面积S为最小，时，面积S最小。 （2分）
七、（7分）
解： （3分）
（4分）
八、（七分）
证略（设 （7分）
九、（7分）
证略（设 （7分）

课程名称 高等数学试卷
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 填空14分
1、=
2、若=1，=则
3、函数y=x的极大值为
4、函数在定义域内单调
5、设则与方向一致的单位向量为
6、当时， 与是同阶无穷小，则n=
7、若，则
二、 完成下列各题（40分）
1、
2、
3、（）
4、
5、
三、 设求（8分）
四、 设试确定使在处连续且可微。（8分）
五、 当时，证明：不等式（6分）
六、 求抛物线与其上点处的法线所围成的平面图形的面积。（8分）
七、 设在内连续且，证明：在内单调增加函数。（8分）
八、 设抛物线与轴所围成的区域被直线分为两部分，如果两部分的面积比，其中为抛物线与直线所围部分的面积，试求参数k的值。（8分）

课程名称 高等数学试卷
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 填空（14分）
1、 2、 3、36 4、增加
5、 6、3 7、
二、 1、
（8分）
2、 （8分）
3、 （8分）
4、 （设） （8分）
5、
（8分）
三、 （4分）
（4分）
四、 由，得 （2分）
由 得 （2分）
（2分）
因此，时，在处连续 （2分）
五、 证略。
六、 解：过点的法线方程： （3分）
面积 （5分）
七、 证略
八、 解：抛物线与轴所围成的图形面积：

盐城师范学院考试
课程名称 高等数学试卷
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、是非题（15分）
下列判断是非正确，对者在括号内打“√”，错者打“╳”。
1.两函数y=arcsinu,u= 可复合成y=arcsin()。 （ ）
2.所有连续的偶函数的原函数都是奇函数。 （ ）3.若f(x)在处有定义且存在极限，则f(x)在可导。 （ ）
4.单调函数一定可积。 （ ）
5.函数f(x)的任意两个原函数之差恒为零。 （ ）
二、填空题（20分）
1. 若，则 。
2. f(x)=,则= 。
3. 如果函数f(x)在[a,b]上连续，且，则在（a,b）内至少存在一点，使得 成立。
4. 自由落体的速度V=g(t),用定积分表示x秒内落下的距离为 。
5. 若y=,则 。
三、计算题：（28分）
1. （8分）
2. （10分）
3. （8分）
4.求由抛物线与直线x+2y-3=0所围成的图形面积。 （10分）
四、 证明题：（29分）
1.设f(a-x) =f(x)
求证：
2.设 f(x)在[0，1]上连续，且对任意的x[0,1],有0f(x)1, 试证存在
[0，1]，使f(=

课程名称 高等数学试卷 （IX）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一. 是非题（15分）
1.╳ 2. ╳ 3. ╳ 4.╳ 5.╳
二. 填空题（20分）
1.-A 2. 3.f()=0 4. 5.-
三，计算题：
1.解：=00 原式0 （8分）
2.解：原式2
-2- （10分）
3.解：原式 （8分）
4.解：由 , x+2y-3=0 得 （5分）
S= （5分） （10分）
三. 证明题：（29分）
1. 证：由f(a-x)=f(x)
令x=+t,则有f(=f(+t) (1) (3分)
，令x= (2分)
= (前半式令r= -t) (2 分)
后面=+ （将（1）式代入）
（3分）
=+ （2分）
=2 （2分）
2.证：令g(x)=f(x)-x, 0 (2分)
（1）
g(1) (2) (2分)
（1） 当g(0)=0 时，=0
g(1)=0 时，=1 （3分）
（2） 当g(0),g(1)不等于0时
g(x)在[0，1]上连续，g(0)g(1)<0 (3分)
由中值定理知，，使得g()=0 (3分)
即f()= 得证 （2分）

课程名称 高等数学试卷 （V）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

十一、 填空（14分）
1．设函数f(x)的定义域是[1，5]，则的定义域是 。
2． 。
3．若函数则k= 。
4．设在x=0点可导，则a= ,b= .
5．已知A（2，-2，0），B（-1，0，1），C（1，1，2），则的面积为 。
6．设 。
十二、 求极限12分）
1．
2．
十三、 求导数或微分（14分）
1．求
2．设
十四、 计算积分（21分）
1．
2．
3．
十五、 设求f(x). （6分）
十六、 设，求 （8分）
十七、 求过球面的球心，与直线平行的平面方程。 （9分）
十八、 求曲线与x轴所围成平面图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。（8分）
十九、 设f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，g(x)=[sin证明：在（-1，1）内至少存在一点，使得 （8分）

课程名称 高等数学试卷 （V）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

二十、 填空（14分）
1．[-2，2] 2．1 3．
4．A=2,b=1 5． 6．8
二十一、 求极限（12分）
1． （6分）
2． （6分）
二十二、 求导数或微分（14分）
1．
2．
四、计算积分（21分）
1．
2．
3
五、 (6分)
解：设
六、 （8分）
解：
七、 （9分）
解：球心为（1，-1，2）
平面法向量为{3，4，1}
平面方程为：3（x-1）+4(y+1)+(z-2)=0
即：3x+4y+z=1
八、 （8分）
解：

九、 （8分）
证略：g(x)分别在[-1，0]、[0，1]上讨论。

课程名称 高等数学试卷 （VI ）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一. 填空（8分）
1. 。
2.若f(x)在x处可导，则 。
3.= 。
4.直线与平面：4x-2y+z-2=0的关系为 。
二. 是非题（4分）
1. 设f(x)在上连续，则f(x)在内一定有最大值和最小值。（ ）
2. 函数的极值点必为驻点。 （ ）
3. 若f(x)是可导偶函数，则f(x)是奇函数。 （ ）
4. 直线与直线平行。 （ ）
三. 设f(x)= ,试讨论f(x)在x=0处的连续性及可导性。（6分）
四. 求经过球面x+y+z-2x+2y-4z=0的球心且与直线垂直的平面方程。（10分）
五. 计算下列各题（42分）
1.。

2.
3.
4.
5.设x=y,求。
6.设y=e,求。
六.证明：当x0时，e>1+x(6分)
七.试确定a值，使f(x)=asinx+sin3x在x=处有极值，指出是极大值还是极小值，并求出此值。（8分）
八.求摆线一拱弧长度。（8分）
九.求曲线y=x在区间内一条切线，使该切线与直线x=0,x=1及曲线y=x
所围面积最小。（8分）

课程名称 高等数学试卷 （VI ）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一. 填空（8分）
1. 1 2. 2(x) 3.cosx 4.垂直
二. 是非题（4分）
1. 2. 3.√ 4. √
三（6分）
，（3分）连续（1分）
，（1分）不可导（1分）
四.（10分）
球心（1，-1，2）（2分）
= (2分)
平面方程：3x-2y-z-3=0 (6分)
五.（42分）
1. （3分）
=（3分）=+1= （1分）
2.
=2-2 (2分)
=2-2 (2分)
=2-4+4arctg+C (3分)
3. (3分)
=+=0 （4分）
4.
=- （2分）
=-+ （3分）
=-= （2分）
5.ylnx=xlny (2分)
（2分）
（3分）
6. （4分）
（3分）
六.（6分）f(x)=e,f(0)=0 （2分）
（2分）
x>0, >0,f(x), f(x)>f(0)=0 (1分)
x〈0, 〈0,f(x) f(x)>f(0)=0 (1分)
e>x+1
七.（8分） （2分）
（2分）
（2分）
，极大值f()= （2分）
八.（8分）
S= （2分）
=a （3分）
2a=8a （3分）
九.（8分）

切线方程：y =2tx-t （2分）
S= （2分）

最小 （2分）
此时切线方程为 y=x-
即4x-4y-1=0 （2分）

课程名称 高等数学试卷 （VII）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 填空题（8分）
1． 当A= 时，函数 f(x)= 在处连续.
2．函数y=x- 3x-9x+5 的极大值为 ，极小值为 .
3．若函数f(x)在[a,b]上连续，x为 (a,b) 内任一固定点，则 的值为 .
4．与向量平行的单位向量为 .
二、 是非题（4分）
1．函数f(x)=xsinx当x 时是无穷大量. ( )
2.已知y=f(x)在(a,b)内可导，x 和x+是 (a,b) 内任意两点，则f(x). ( )
3.二次曲面z=与平面y=h相截，截痕是空间中抛物线. （ ）
4．设f(x)=0,则点(x,f(x))为y=f(x)的拐点. ( )
三、计算下列各题(18分)
1.；
2.设f(x)= 求f(x) ；
3．设y=x,求dy.
四、设f(x)=，在x=0处连续且可导，试求a,b的取值.（8分）
五、设f(x)在[x,x]上具有二阶导数，且f(x)=f(x)=f(x),x
3． .
七、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0，F(x)=
证明：（1）F
（2）方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一根.(8分)
八、证明:y=x-ln(1+x)在定义域内单调递加.(8分)

九、等腰三角形薄板，垂直地沉入水中，其底与水面齐，已知薄板的底为2b，高为h，计算薄板的一侧所受的压力.（8分）

十、设一平面垂直于平面z=0 ，并通过从点p(1,-1,1)到直线的垂线，求平面的方程.(10分)

课程名称 高等数学试卷 （VII ）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 填空题（8分）
1、2； 2、10，-22； 3、0； 4、{2，2，1}
二、 是非题（4分）
1、 × 2、 × 3、 √ 4、×
三、 计算下列各题（18分）
1、
= （）
= （）
2、 （）
（）
3、 （）
（）
（）
四 、（8分）
（1分）

五、（7分）
依题意，f(x)在[],[]上满足罗尔定理条件
至少（），使得 （
至少 （）, 使得 （）
在[]上满足罗尔定理条件 （）
至少（），使得 （）
六、计算下列积分 （21分）
1、 令x=tgt,则dx=sectdt (2)
原式=== (3分)
=-+C=-+C (2分)
2、原式=1/2
=-lnx/(2+2x)+1/2
=-1/2ln
3、原式=1/2=1/2xarxtgx-1/2 (2分)
=1/2x1/2 (3分)
=1/2xarctgx-1/2x+1/2arctgx+C (2分)
七、（8分）
（1）f(x)>0,F(x)= (1分)
F’(x)=f(x)+ (1分)
(2). (1分)
又(a)= (1分)
F(b)= (1分)
所以F（x）=0至少有一根 (1分)
所以方程F（X）=0有且仅有一根。 （1分）
八、（8分）
D=（- ）
Y’=1-2x/(1+x)=(1-x) (等号仅在x=1取得)
所以y=x-ln(1+x在定义域内单调增加。
九、（8分）
如图选取坐标系，在坐标系中，三角形在X轴右侧腰所在直线的方程为
+=1) (2分)
设水的比重为r,则
dp= =2rb(x-)dx (3分)
p= (2分)
= (1分)

X+dx

十、（10分）
直线 (2分)
过点P（1，-1，1）而垂直干直线的平面为：y+1+z-1 (2分)

即y+z=0
该平面与直线的交点为：
(1分)
取PN的方向向量= = or ={2,-1,1}
设所求平面的法向量为，则，，
取 (3分)

故所得平面为：x-1+2(y+1)=0.即x+2y+1=0 (2分)

课程名称 高等数学试卷 （X）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 选择题：
1、 （　　）
A、f(x); B、f(x)+C; C、
2、设f(x)在取得极值，则必有 （ ）
A、; B、不存在；
C、 或者不存在。
3、f(x)在上连续，则 上至少有一个,使得 ( )
A、= ; B、=；
C、f()= .
4、f(x) 在处连续是f(x)在处可微分的 （　 ）
A、必要条件；　　　　Ｂ、充分条件；　　　　Ｃ、充要条件。
５、x = 0 是f(x)＝的　　　　　　　　　　 　（　　）
Ａ、驻点；　　　Ｂ、极值点；　　　Ｃ、拐点。
二、 填空题
１、曲线＝x　在Ｐ（１，１）的切线方程为　　　　　　　　.
２、y = tgx在上的平均值＝ .
3、f(x) = x – sinx在上单调　　　　 ，曲线凸性是　　　　　　　　　.
4．广义积分dx敛散性是 .
5.曲线，x之长s = .
三、计算题
1.求极限
2.求极限
3.求的微分
4.求摆线所确定函数在相应点处的
5.计算不定积分
6.计算不定积分
7.计算不定积分
8.计算定积分
四、证明题
1． 利用函数单调性证明时，
2． 设f(x)上连续，证明
（1） 若f(x)为奇函数，则；
（2） 若f(x)为偶函数，则.
五、综合题
已知曲线，求
(1).曲线上过的切线方程；
(2).上述切线与曲线及y轴所围成图形面积A；
(3).上述图形饶y轴旋转一周所得立体体积V.

课程名称 高等数学试卷 （X）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一、 选择题(
1.A 2.C 3 .C 4 .A 5 .A
二、填空题
1 .y-1 = 2 . 3 .递增，下凸
4 .发散 5 、
三、计算题
1. （
2．
3.的微分
（
=-
4.

5.
=
=
6.
7.
8.
四、证明题
1、证明：设，则
又
在(上单调递减，
即：
2 证明：
(1)
=
= (
(2) (1
=
=
=2
五 综合题
(1)， 切线方程为
（2）
（3）V=

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