圆锥曲线中点弦问题.doc

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：
（1）求中点弦所在直线方程问题；
（2）求弦中点的轨迹方程问题；
（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题
例1 过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是
，
又M为AB的中点，所以，
解得，
故所求直线方程为。
解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，
所以，，
又A、B两点在椭圆上，则，，
两式相减得，
所以，即，
故所求直线方程为。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），
则另一个交点为B(4-)，
因为A、B两点在椭圆上，所以有，
两式相减得，
由于过A、B的直线只有一条，
故所求直线方程为。
二、求弦中点的轨迹方程问题
例2 过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。
解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），
则有，两式相减得，
又因为，，所以，
所以，而，故。
化简可得 （）。
解法二：设弦中点M（），Q（），由，可得，，
又因为Q在椭圆上，所以，即，
所以PQ中点M的轨迹方程为 （）。
三、弦中点的坐标问题
例3 求直线被抛物线截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，
消去y得，即，
所以，，即中点坐标为。
解法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，两式相减得，
所以，
所以，即，，即中点坐标为。
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论
引理 设A、B是二次曲线C：上的两点，P为弦AB的中点，则
。
设A、B则……（1）
……（2）
得
∴
∴
∵∴ ∴即。（说明：当时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P的切线斜率公式，即）
推论1 设圆的弦AB的中点为P（，则。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）

推论2 设椭圆的弦AB的中点为P（，则。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）
推论3 设双曲线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）
推论4 设抛物线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为

我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。
例1、求椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程。
解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有，故所示的轨迹方程为16x+75y=0
例2、已知椭圆A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P，求证：。
证明：设AB的中点为T，由题设可知AB与x轴不垂直，∴，
∴ ∵l⊥AB ∴
∴l的方程为： 令y=0 得
∴ ∵ ∴
∴
例3、已知抛物线C：，直线
要使抛物线C上存
在关于对称的两点，的取值范围是什么？

解：设C上两点A、B两点关于对称，AB的
中点为P（
∴ ∴∵P∈∴
∴ ∴ ∴
∵P在抛物线内 ，∴ ∴
∴ ∴

与抛物线有关的弦的中点的问题
（1）中点弦问题：

（上题麻烦了。是圆不用中点法）

例1 由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程。
分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。
解法1：利用点差法。
设端点为A，B，则，，
两式相减得， ①
①式两边同时除以，得， ②
设弦的中点坐标为，则，， ③
又点和点在直线AB上，所以有。 ④
将③、④代入②得， 整理得。
故得中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。
解法2：设弦AB所在直线的方程为，
由方程组 消去并整理得， （3）
设A、B、中点，对于方程（3），由根与系数的关系，有，
∴代入（1）得
故得所求弦中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。
评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点与已知条件的内在联系，列关于，的关系式，进而求出轨迹的方程。
（2）弦中点轨迹问题
设抛物线（）的弦AB，A，B，弦AB的中点C，则有，
（1）－（2）得，
∴，
将，，代入上式，并整理得，这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。
例2 已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程。
解：如图，设弦AB的中点为M，并设A、B、M点坐标分别为，，，根据题意设有， ①
， ②
， ③
， ④
， ⑤
④代入①－②得，，
∵，∴， ⑥
⑥代入⑤得，，即。
评注：本题还有其他解答方法，如设AB的方程为，将方程代入，利用根与系数的关系，求出弦中点的轨迹方程。

例6 求直线被抛物线截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，
消去y得，即，
所以，，即中点坐标为。
解法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，两式相减得，
所以，
所以，即，，即中点坐标为。

9