平面向量全部讲义.doc

(完整word)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小,又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的．
(3）单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．

例1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　）
A．有不相等的模　　　B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b｜,则a＝b;②若A，B，C,D是不共线的四点，则＝等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b,b＝c，则a＝c；④a＝b等价于｜a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b,b∥c，则a∥c。
其中正确命题的序号是（　　)
A．②③　　　　　　　B．①② C．③④ D．④⑤

CA
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a;
（2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋（b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
（1)｜λa|＝｜λ｜｜a｜;
(2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a）＝(λμ)a；
（λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b）＝λa＋λb　
例3：化简－＋－得(　　) A。 B. C。 D．0

例4：（1）如图,在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A．0　　　B． C． D．

（2）设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD＝AB,BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

巩固练习：
1．将4(3a＋2b）－2(b－2a)化简成最简式为______________．
2．若|＋|＝｜－｜，则非零向量，的关系是（　　） A．平行 B．重合 C．垂直 D．不确定
3．若菱形ABCD的边长为2,则｜－＋｜＝________
4．D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于（　　）
A．－＋ B．－－ C．－ D．＋
5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋。其中正确的有(　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在△ABC中，D,E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，。

DD 巩固练习 1。16a＋6b 2。C 3。2 4。A 5.C 6．解：＝＋＝－3a＋2b，∵D,E为的两个三等分点,∴＝＝－a＋b＝。 ∴＝＋＝3a－a＋b＝2a＋b。∴＝＋＝2a＋b－a＋b＝a＋b.

3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
例5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a）共线,则λ＝________

例6．　设两个非零向量a与b不共线,（1）若＝a＋b,＝2a＋8b,＝3（a－b),
求证:A，B，D三点共线．（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
巩固练习：
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0（λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数,若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为（　　)
A．1　　 　B．2 C．3 D．4
2。如图，已知＝a,＝b，＝3,用a，b表示，则＝(　　)
A．a＋b　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b
3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线,则向量a＋b＋c＝（　　)
A．a　 　　B．b C．c D．0
4如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4,且＝＋λ （λ∈R),则AD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在▱ABCD中,＝a，＝b，＝3,M为BC的中点,则＝________(用a，b表示）．

6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋｜＝|－|，则｜|＝________。

例5．－ 例6．　［解］　（1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b,＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5。∴，共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2）∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb），
即ka＋b＝λa＋λkb。∴（k－λ）a＝（λk－1）b.∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0。∴k＝±1.
C B D B －a＋b 2
4．向量的中线公式： 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋）．
5．三点共线等价关系
A,P，B三点共线⇔＝λ （λ≠0）⇔＝（1－t）·＋t （O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y (O为平面内异于A，P,B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1）．

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2）,
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝（x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1），｜a|＝。
（2）向量坐标的求法:
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A（x1，y1)，B（x2，y2)，则＝（x2－x1，y2－y1），｜｜＝。
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1）,b＝(x2，y2），其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0。

例7．若A(0,1），B(1,2），C(3,4)，则－2＝________
例8。已知点M（5，－6）和向量a＝(1,－2），若＝－3a,则点N的坐标为(　　）
A．(2,0）　　B．（－3,6） C．(6，2） D．（－2，0）
例9．已知A（－2，4)，B（3，－1)，C（－3，－4）．设＝a,＝b，＝c.(1）求3a＋b－3c;
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

巩固练习：
1．若向量a＝（1，1），b＝(－1，1)，c＝（4，2）,则c＝（　　) A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3b

2．已知向量a＝（x，y），b＝（－1，2)，且a＋b＝(1，3），则｜a|等于(　　) A。 B。 C。 D。

3．已知向量a＝(－3，2），b＝(x,－4),若a∥b，则x＝(　　） A．4 B．5 C．6 D．7

4．设点A（2,0），B（4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2｜|，则点P的坐标为(　　）
A．(3，1） B．(1，－1) C．（3,1)或(1，－1） D．无数多个
5．已知a＝（1,2)，b＝（－3，2)，当ka＋b与a－3b平行时，k＝(　　） A. B．－ C．－ D。

6．已知向量a＝（cosθ,sinθ），向量b＝（，－1），则｜2a－b｜的最大值、最小值分别是(　　)D
A．4 ,0 B．4 ，4 C．16，0 D．4,0

7．已知向量a＝（1，2),b＝(－2,3)，c＝（4，1)，若用a和b表示c，则c＝________。

8．已知向量a＝（3,1）,b＝（1,3），c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝________。　　　　　　　　　　

.例7．(－3，－3) 例8.A 例9．解：由已知得a＝(5,－5)，b＝(－6，－3),c＝(1,8)．
（1)3a＋b－3c＝3（5，－5)＋（－6，－3)－3（1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝（6，－42）．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n),∴解得
B C C C C D 2a－b 5　

平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
特别注意：若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， ＝λ1e1＋λ2e2，则
例10:(1）如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°,且｜|＝|｜＝1，｜｜＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R），则λ＋μ的值为________．

（2）已知分别是的边上的中线,且，则可用向量表示为_____

（3）．如图，已知C为边AB上一点，且,则=__________

变式训练：
1。在中，已知是边上一点，若，则 （　　）A
A． B． C． D．

2..设D,E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC。若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数）,则λ1＋λ2的值为________．

3。若为内一点,且满足,则与的面积之比为_________.

4。。若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为 （　　) C
A。 B。 C。 D。

例10：6 A 1：4 C
平面向量共线的坐标表示
例11．已知a＝（1,2)，b＝（－3，2），当实数k取何值时，ka＋2b与2a－4b平行？

练习：1．已知向量a＝(2,3），b＝（－1，2），若(ma＋nb）∥（a－2b)，则等于（　　）C
A．－2 B．2 C．－ D。

2．已知A（1,1)，B（3,－1），C(a,b）．（1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若＝2，求点C的坐标．

3．平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝(－1,2）,c＝(4，1）．（1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若（a＋kc)∥（2b－a），求实数k；

例11．解法一：∵2a－4b≠0，∴存在唯一实数λ,使ka＋2b＝λ(2a－4b）．将a，b的坐标代入上式，
得（k－6，2k＋4）＝λ(14，－4),得k－6＝14λ且2k＋4＝－4λ，解得k＝－1.
解法二：同法一有ka＋2b＝λ(2a－4b)，即(k－2λ）a＋（2＋4λ)b＝0.∵a与b不共线，∴
∴k＝－1。
1．C 2．解：(1)由已知得＝（2,－2）,＝(a－1，b－1）,∵A，B,C三点共线，∴∥。
∴2（b－1）＋2（a－1）＝0，即a＋b＝2。
（2）∵＝2,∴（a－1,b－1）＝2(2,－2)．∴解得
∴点C的坐标为（5，－3）．
3．［解］　(1)由题意得(3,2)＝m（－1,2）＋n(4,1),所以得
(2）a＋kc＝（3＋4k，2＋k)，2b－a＝（－5，2），由题意得2×(3＋4k)－（－5）×(2＋k)＝0.∴k＝－

平面向量的数量积及应用
知识梳理
1．两个向量的夹角
（1）定义：已知两个__________向量a和b，作＝a，＝b，则__________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．

（2）范围:向量夹角〈a，b〉的范围是__________,且__________＝〈b，a〉．

(3)向量垂直：如果〈a,b〉＝__________，则a与b垂直,记作__________．

2．平面向量的数量积
(1）平面向量的数量积的定义：__________叫作向量a和b的数量积（或内积)，记作a·b＝__________。可见，a·b是实数,可以等于正数、负数、零．其中｜a|cos θ（|b｜cos θ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上）的投影．

（2）向量数量积的运算律
①a·b＝__________(交换律) ②(a＋b)·c＝__________(分配律） ③（λa)·b＝__________＝a·（λb)(数乘结合律)．

3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝（a1，a2),b＝（b1，b2)
性质
几何表示
坐标表示
定义
a·b＝|a｜｜b｜cos<a，b〉
a·b＝a1b1＋a2b2
模
a·a＝|a｜2或|a|＝

若A（x1,y1),B(x2，y2)，则＝(x2－x1,y2－y1）
＝
a⊥b
的等价条件
a·b＝0
a1b1＋a2b2＝0
夹角
cos〈a,b〉＝
(|a||b|≠0）
cos〈a，b>＝
|a·b｜与
|a｜|b|的
关系
｜a·b|≤|a||b｜

一、平面向量数量积的运算
例1(1）在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5,求·，;
（2）若a＝（3，－4）,b＝(2,1)，求（a－2b)·(2a＋3b）和|a＋2b|.

变式训练
1．已知下列各式：
①｜a|2＝a2；②＝；③（a·b)2＝a2b2；④（a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有(　　)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列命题中：① ； ② ； ③ ；
④ 若,则或； ⑤若则； 其中正确的是______（答：①)
3。
4..已知，,与的夹角为，求。

5．已知a＝(1，－3），b＝（4，6)，c＝（2，3）,则(b·c)a等于(　　）．
A．(26，－78） B．(－28，－42) C．－52 D．－78

二、求平面向量的模
例2．（1）设向量满足及，求的值 ．

（2）设平面向量a＝(1,2），b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　）．
A． B． C． D．

变式训练
1．已知|｜=2,|｜=5，·=—3，则｜+｜= ,|—|=

2。 若向量a，b满足｜a｜＝1,|b｜＝2且a与b的夹角为，则|a＋b｜＝__________。

3。△ABC中，，，，则_________（答：－9)；

4。已知向量a＝，b＝,且x∈.
(1) 求a·b及｜a＋b|；（2）若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f（x)的最大值和最小值．

三、求夹角
例3已知｜a|＝4,|b|＝3，(2a－3b)·（2a＋b)＝61。(1)求a与b的夹角θ；

变式训练:
1。

2．若是非零向量且满足, ，则与的夹角（ ）
A。 B。 C。 D。

3。已知是两个非零向量，且，则的夹角为____(答：）

4、已知，，则与的夹角为（ ） A、 B、 C、 D、

5。已知,与的夹角为，则等于____（答：1）；

6。已知，,且，则向量在向量上的投影为______（答：）

四.利用数量积解决垂直问题
例4 若非零向量、满足，证明：

变式训练：
1.已知，若，则 （答：）；

2.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，,则点B的坐标是________ （答：（1,3)或（3，－1））;

3。已知向量，且,则的坐标是________ (答：）

4．已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c)·（b－c)＝0,则｜c｜的最大值是(　　) 答案：B
A. B。 C. D。

5。在△ABC中，=（2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值

五:求夹角范围
例5 （1）已知,且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是 ( ）
A.［0,］ B。 C. D.
（2）已知，，如果与的夹角为锐角,则的取值范围是

变式训练．
1. 设平面向量=（－2，1）,=（λ，－1），若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）答案：A
A、 B、 C、 D、
2.已知的面积为，且，若,则夹角的取值范围是_________(）；

六、向量与三角综合应用
例6．设是平面上的两个向量，若向量与互相垂直.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ）若,且，求的值。

变式训练．设，,，其中,,与的夹角为，与的夹角为，且，求的值。
【答案】
因为，所以, ，故，

因为，所以，又所以，
故，所以.

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