15)分数指数幂.ppt

分数指数幂分数指数幂 1.整数指数幂整数指数幂a0=1(n N*)n 个个(a 0)复习：整数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质：(1)、am.an=am+n (a 0,m,nZ)(2)、(am)n=amn (a 0,n,mZ)(3)、(ab)n=anbn (a 0,b 0,nZ)2.2.平方根与立方根平方根与立方根若若x2=a，则，则x叫做叫做a的平方根；若的平方根；若x3=a，则，则x叫做叫做a的立方根；的立方根；复习：开开次方次方次实数方根定义：次实数方根定义：如果一个数的如果一个数的 次方等于次方等于那么这个数叫做那么这个数叫做 的的 n次实数方根次实数方根。数学符号表示：数学符号表示：若若，则，则 叫做叫做 的的讨论：讨论：的的 次方根次方根 是不是唯一的？是不是唯一的？扩充概念扩充概念n次方根次方根。特别注意：特别注意：0的的 次方实数方根等于次方实数方根等于0.思考：思考：1）一定表示一个正数吗？一定表示一个正数吗？为奇数时，它可为正、可为负、可为零。为奇数时，它可为正、可为负、可为零。为偶数时，它表示非负数。为偶数时，它表示非负数。2）中的中的 一定是正数或非负数吗？一定是正数或非负数吗？当当 为偶数时，它有意义的条件是为偶数时，它有意义的条件是 ；当当 为奇数时，它有意义的条件是为奇数时，它有意义的条件是 。性质：性质：为奇数为奇数 为偶数为偶数练习：练习：1、判断下列说法是否正确：、判断下列说法是否正确：（1）2是是16的四次方根；的四次方根；（2）正数的）正数的n次方根有两个；次方根有两个；（3）a 的的n次方根是；次方根是；（4）解：解：（1）正确；）正确；（2）不正确；）不正确；（3）不正确；）不正确；（4）正确。）正确。下面讨论根式下面讨论根式先看几个实例先看几个实例(a0)与幂的关系，与幂的关系，（1）（a3）4 a12定义定义正正数数a的分数指数幂意义是：的分数指数幂意义是：(m、nN*且且n1，mn为既约分数为既约分数)0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。的负分数指数幂没有意义。分数指数幂例例1 1、a为正数为正数,用分数指数幂表示用分数指数幂表示下列根式下列根式:解：解：解：解：解：解：解：解：例例2 2、利用分数指数幂的运算法则、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式：计算下列各式：解：解：=100=16例例3 化简化简(a0,x0,r Q):这样，指数的概念就由整数指数幂推广这样，指数的概念就由整数指数幂推广到了分数指数幂，统称有理指数幂。到了分数指数幂，统称有理指数幂。可以证明，整数指数幂的运算法则对有可以证明，整数指数幂的运算法则对有理指数幂也成立，即有理指数幂有如下的运理指数幂也成立，即有理指数幂有如下的运算法则：算法则：(1)、aras=ar+s(2)、(ar)s=ars(3)、(ab)r=arbr 其中其中a0,b0 且且r,s Q。我我们们已将指数式中的指数已将指数式中的指数x从整数推广从整数推广到分数（有理数），是否到分数（有理数），是否还还可以将指数推广可以将指数推广到无理数呢？到无理数呢？五、研究拓展五、研究拓展 观察下表：x,一般地，当a0时，x是一个无理数，ax也是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质照样适用口答：口答：1、用根式表示下列各式、用根式表示下列各式:(a 0)(1)(2)(3)(4)2、用分数指数幂表示下列各式：、用分数指数幂表示下列各式：(1)(2)(3)(4)化简下列各式：化简下列各式：（1）;（2）;（3）返回返回(1)解法一解法一：化去负指数后解：化去负指数后解.原式原式=解法二解法二：利用运算性质解：利用运算性质解.原式原式=解法三解法三：利用倒数的性质解：利用倒数的性质解.原式原式（2）原式）原式（3）原式）原式=2(-6)(-3)=4a返回返回 1.1.正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是和、差的形式和、差的形式.防止出现防止出现“a am m+a+an n=a=am+nm+n”“a am m-b-bn n=a=am-nm-n”等错误等错误.关于关于n n次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根的推广的推广,根号根号 也可以认为是由平方根号也可以认为是由平方根号 、立方根号、立方根号 推广而来的推广而来的.理解理解n n次方根的意义时，要把次方根的意义时，要把n n按奇偶分类，并且按奇偶分类，并且在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是（类比立方根）是一个负数，零的奇次方根是（类比立方根）;正数的偶次正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，零的偶次方根是零，即当零的偶次方根是零，即当n n为正偶数时，为正偶数时，nana有意义的条件是有意义的条件是a0(a0(类比平方根类比平方根).).返回返回.关于关于 及根式的性质要理解好以下几点：及根式的性质要理解好以下几点：(1)nN,(1)nN,且且n0.n0.(2)(2)当当n n为奇数时，为奇数时，对任意对任意aRaR都有意义，并且表示都有意义，并且表示a a在在实数范围内的唯一的一个实数范围内的唯一的一个n n次方根次方根.即即()()n n=a.=a.(3)(3)当当n n为偶数时，为偶数时，只有当只有当a0a0时才有意义，时才有意义，(a0)(a0)表示表示a a在实数范围内的一个正的在实数范围内的一个正的n n次方根，也叫次方根，也叫n n次算术根，次算术根，但但a a还有另一个负的还有另一个负的n n次方根是次方根是-，即，即()n n=a.=a.(4)()(4)()n n与与 的意义不同的意义不同.对任意对任意aRaR都有意义，都有意义，当当n n为奇数时，为奇数时，=a;=a;当当n n为偶数时，为偶数时，=|a|=|a|=返回返回 4.4.根式的化简与计算：根式的化简与计算：(1)(1)化简根式的过程类似于化简二次根式化简根式的过程类似于化简二次根式.注意运用根式注意运用根式的性质和乘法公式、提取或合并同类根式、分母有理化、的性质和乘法公式、提取或合并同类根式、分母有理化、并且应化为最简根式并且应化为最简根式.(2)(2)根式的计算应在化简后进行，要结合根式的性质分根式的计算应在化简后进行，要结合根式的性质分清奇次根式和偶次根式清奇次根式和偶次根式.当根号不能去掉时，一般保留当根号不能去掉时，一般保留根号，如果需要去掉根号，可用计算器求出近似值根号，如果需要去掉根号，可用计算器求出近似值.5.a5.an n（nZnZ）的意义，不能简单地理解成）的意义，不能简单地理解成n n个个a a相乘，应相乘，应分清分清n n是正整数、零还是负整数，若是正整数、零还是负整数，若n0n0，则，则a0a0，否，否则则a an n没有意义没有意义.返回返回 6.6.的意义，不能理解为的意义，不能理解为 个个a a相乘，它是根式的一相乘，它是根式的一种新的写法，在规定种新的写法，在规定 =和和(a0,m,nN,n1)(a0,m,nN,n1)后，根式和分数指数幂可以互化，后，根式和分数指数幂可以互化，它们表示相同意义的量它们表示相同意义的量.7.a7.an n(nQ)(nQ)的意义，应按有理数的意义，应按有理数n n分类理解，随着分类理解，随着n n的的范围由正整数范围到整数范围到有理数范围的不范围由正整数范围到整数范围到有理数范围的不断扩大，底数断扩大，底数a a的范围也在不断地缩小，但对于的范围也在不断地缩小，但对于a0a0时，时，a an n都有意义，对于都有意义，对于a=0a=0时，时，n n不能为不能为0 0、负、负整数、负分数，否则没有意义整数、负分数，否则没有意义.8.8.有理指数幂的运算性质是积、商、幂的形式有理指数幂的运算性质是积、商、幂的形式.而不而不是和、差的形式，并且把正整数指数幂的五条运是和、差的形式，并且把正整数指数幂的五条运算性质推广到有理指数幂算性质推广到有理指数幂.返回返回 36