勾股定理复习易错题四套题由简到难(附带答案).doc

(完整word)勾股定理复习易错题四套题由简到难(附带答案)
勾股定理练习卷
姓名
一、填空题
1．三角形的三边满足a2＝b2＋c2，这个三角形是 三角形，它的最大边是 ．
2．在直角三角形ABC中, ∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝ ．
3．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．
4．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,正方形A，B,C的面积分别是8cm2，10cm2,14cm2，则正方形D的面积是 cm2．

5．如图2，在△ABC中,∠C＝90°，BC＝60cm,CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要 分钟的时间．
6．已知x、y为正数，且｜x2-4｜+(y2-16)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 ．
7．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2。4米的墙上(设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处．
8．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为 和 ．(注:两直角边长均为整数)
二、选择题
1．下列各组数为勾股数的是（ )
A．6，12，13 B．3，4,7 C．4，7.5,8.5 D．8，15,16
2．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子,底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为( )
A．12m B．13m C．14m D．15m
3．直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
5．下列说法中， 不正确的是（ )
A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形
6．三角形的三边长满足关系：（a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5,则另一直角边为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．13
8．如果正方形ABCD的面积为29，则对角线AC的长度为( )
A． B． C． D．
三、简答题
1．（10分）如图4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？

2．（10分）如图5所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m,则这条小路的面积是多少?

3．（10分）如图6，在△ABC中，∠BAC＝120°,∠B＝30°，AD⊥AB，垂足为A，CD＝1cm，求AB的长．

4．（10分）小芳家门前有一个花圃,呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？

5．（10分）如图7,在△ABC中，AB＝AC＝25，点D在BC上,AD＝24,BD＝7，试问AD平分∠BAC吗？为什么？

6．（10分）如图8所示,四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．
求证:AC⊥CD．

参考答案：
一、1．直角， 2．25 3．108 4．17 5．12 6．20
7．0。7 8．4，6
二、1～4．CBDA 5~8．BBCA
三、1．（1）;（2）
2．
3．
4．略
5．所以平分,理由略
6．证明略
四、(1）84，85．
(2）任意一个大于1的奇数的平方可以拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数．
（3）略．

八年级下册第十八《勾股定理》水平测试
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则三角形是 三角形；若这三个内角所对的三边分别为a、b、c（设最长边为c），则此三角形的三边的关系是 ．
2．已知等腰直角三角形的斜边长为2，则直角边长为 ，若直角边长为2,则斜边长为 ．
3．在Rt△ABC中,∠C＝90°，①若AB＝41，AC＝9，则BC＝ ； ②若AC＝1.5，BC＝2，则AB＝ ．
4．已知两条线段的长分别为11cm和60cm,当第三条线段的长为 cm时,这3条线段能组成一个直角三角形．
5．如图1,将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米,高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米．

6．如图2,AC⊥CE,AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝ ．
7．等腰直角三角形有一边长为8cm，则底边上的高是 ,面积是 ．
8．如图3,一个机器人从A点出发,拐了几个直角的弯后到达B点位置,根据图中的数据，点A和点B的直线距离是 ．
二、选择题（每小题3分，共24分）
1．如图4，两个较大正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面积为( ）
A．4 B．8 C．16 D．64
2．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟,小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个(设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）( ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
3．一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边与斜边长的和是49cm,则斜边的长（ ）
A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm
4．如图5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
5．在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18、8，则较长直角边的长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
6．在△ABC中，若AB＝15，AC＝13,高AD＝12,则△ABC的周长是（ )
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
7．如图6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ )
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH
C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF

8．如图7，在△ABC中,∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E,则AE2-BE2等于（ ）
A．AC2 B．BD2 C．BC2 D．DE2
三、简答题（共58分）
1．一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60cm，求它的面积．

2．在数轴上作出表示的点．

3．如图8，是一个四边形的边角料,东东通过测量，获得了如下数据:AB＝3cm,BC＝12cm，CD＝13cm，AD＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由;如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？

4．如图9，一游泳池长48米，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3米/秒,小朱为3。1米/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游,而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点？

5．如图10（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10（2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？

四、拓广探索（本题14分）
已知：在Rt△ABC中,∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表:
三边a、b、c
a＋b－c

3、4、5
2

5、12、13
4

8、15、17
6

（2）如果a＋b－c＝m,观察上表猜想： （用含有m的代数式表示)．
(3）证明（2）中的结论．

参考答案:
一、1．直角， 2．1，2 3．40，2。5 4．61或
5．14 6．12 7．4或4，16或 8．10
二、1～4．DBDC 5~8．CCBA
三、1．
2．图略
3．不正确，可添加或
4．小方先到达终点
5．最长的线段长为．这样的线段可画4条
四、解：（1）从上往下依次填，，；
（2）； （3）证明略．

Ww w。x kb
点击《勾股定理》之特色题
本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及《勾股定理》知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．
一. 清新扮靓的规律探究题
例1（成都市）如图,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，
再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，…，（n为正整数），那么第8个正方形的面积 ＝_______．
【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”．
即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一
般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于
此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得:
，

照此规律可知：,新 课 标第 一网
观察数1、2、4、8、16易知：，于是可知
因此，
二. 考查阅读理解能力的材料分析题
例2（临安）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为的三边,且满足，试判断的形状．

解：

问：（1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ;
（2）错误的原因为：
（3）本题正确的结论为: .
【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样,本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式没有错,错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子．若，则有，从而得，这时，为等腰三角形．因此:
（1） 选C．
（2） 没有考虑
(3)
三. 渗透新课程理念的图形拼接题
例3(长春）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．
要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画
出正确的图形）

示例图 备用图
【解析】：要在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定;要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．

四. 极具“热点”的动态探究题
例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．
⑴求AO与BO的长；
⑵若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行。 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2：3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?

X k b1.c o m

【解析】:对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质:“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解,还是容易解答的．
⑴中，∠O=,∠α=
∴，∠OAB=，又ＡＢ＝4米，
∴米.
由勾股定理得：(米）.
⑵设在中,

根据勾股定理：
∴ -
∴
∵　　∴
∴ 所以， AC=2x=
即梯子顶端A沿NO下滑了米。

勾股定理中的常见题型例析
勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：
一、探究开放题
例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．
　　（1)记正方形ABCD的边长为＝1,依上述方法所作的正方形的边长依次为,，，…，，求出，，的值．
　　（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．
分析：依次运用勾股定理求出a2,a3，a4，再观察、归纳出一般规律．
解：（1）∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=CD=AD=1．
由勾股定理,得AC＝,
同理，AE=2,EH= ．即 a2= ，a3=2,a4= ．
（2） ∵, , ， ，
∴ ．
点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力,对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．
二、动手操作题
例2如图2，图（１)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（２）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形;
(２）用这个图形证明勾股定理；
(３）假设图（１)中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１)所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图（无需证明）．
解：(1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．
(2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为(a+b），所以梯形的面积为．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为:．Xk b1。c om
∴． ∴．
(3）所拼图形如图4．
点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活,有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能.本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。
三、阅读理解题
例3 已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4， ∴
∴． 订正：∴ △ABC是直角三角形 ．
横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下,一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题,好吗？
分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：
解:∵a2c2－b2c2=a4－b4， ∴．
∴，∴或．
∴或． ∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形 ．
点拨:阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．
四、方案设计题
例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段,做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．
分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．
解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm;
方案二:分别截取6cm，8cm，10cm；
方案三：分别截取5cm，12cm，13cm．
点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．
五、实际应用题
例5如图5，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘．现要将这560英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗?
分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74、116、370相当于池塘的三条边的平方,因而联想到勾股定理，得74=52+72,116=42+102，370=92+172．于是作出图6,运用勾股定理的逆定理，问题就得以解决．
解：∵74=52+72，∴AB是两直角边分别为5和7的直角三角形的斜边,作出这个直角三角形，得Rt△ABE．
同理，作Rt△BCF，其中BF=4，FC=10．延长AE、CF交于D,则AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°．
∴=．
点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力．

勾股定理中的易错题辨析
一、审题不仔细，受定势思维影响
例1 在△ABC中，的对边分别为，且,则（ ）
（A)为直角 （B)为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形
错解：选(B）
分析:因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误。该题中的条件应转化为，即,因根据这一公式进行判断.
正解:，∴.故选（A）
例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长。
错解：第三边长为。
分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时,斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.
正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为
；
（2）当斜边为4，一直角边为3时,第三边长为
.
二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理
例3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
（A）1、2、3 (B） (C） (D）
错解：选（B）
分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式。判断直角三角形时,应将所给数据进行平方看是否满足的形式.
正解：因为，故选(C）
例4 在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后，甲船到M岛,乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
错解：甲船航行的距离为BM=(海里），
乙船航行的距离为BP=（海里）.
∵（海里)且MP=34（海里)
∴△MBP为直角三角形，∴,∴乙船是沿着南偏东方向航行的.
分析:虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断,判断的依据是勾定理的逆定理。其形式为“若，则。错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用。
正解：甲船航行的距离为BM=（海里)，
乙船航行的距离为BP=（海里）。
∵,∴,
∴△MBP为直角三角形，∴，∴乙船是沿着南偏东方向航行的。

灵活应用勾股定理
勾股定理在几何计算或验证中,均有十分广泛的应用，请看以下几例
一　计算问题
例1　一个零件如图所示，已知AC=3 厘米　　　AB=4厘米　　BD=12厘米　，求CD的长
解：在Rt△ABC中　　　根据勾股定理知：
BC2＝AC2+AB2=32+42=25
在Rt△CBD中　　根据勾股定理知：
CD2＝BC2+BD2=25+122=169
∵CD＞0
∴CD=13厘米

例2 如图　在四边形ABCD中,已知四条边的比AB:BC:CD:DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，则∠DAB的度数　　　　　　
分析：
这道题涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2 ＝c2　,那么这个三角形是直角三角形．）
解：
设DA=m(m＞0）则AB＝2m BC=2m CD = 3m
在Rt△ABC中,由AB＝BC=2m　　知∠BAC＝45°，又由勾股定理得
AC2＝AB2+BC2=（2m）2+（2m ）2=8m 2
AC2+AD2=（8m)2 + m2=9m2
CD2=(3m）2=9m2
∴AC2+AD2 =CD2
从而∠DAC＝90°
∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°

二　　推理验证
例3 如图　在长方形ABCD中,AB=5厘米．在CD边上找一点E，沿直线AE把△ABE折叠，若点D恰好落在BC边上点Ｆ处，且△ABF的面积是30平方厘米，求DE的长．
分析:
本题涉及到折叠翻转的知识，需要注意的是在折叠或翻转过程中形成的轴对称关系，然后利用勾股定理，通过设未知数解方程来求解．
解:　　
因为△ABF的面积是30平方厘米,AB=5厘米
所以×5·BF＝30　,BF＝12
在Rt△ABF中,由勾股定理,得
AF2=52+122＝169
所以AF=13
由题意，知△AFE≌△AＤＥ
所以AD＝AF＝13
所以BC=13　所以FC＝BC－BF＝13－12＝1
设EF＝DE=x则EC=5－x
在Rt△EFC中，由勾股定理，得
EF2＝EC2+FC2
所以x2=（5－x）2+12
解得　　即DE的长是

三　　折纸问题

近年来出现的折纸问题往往考察学生对轴对称　勾股定理等知识的理解及应用能力．下面举例说明：
例4　　　（山东初中数学竞赛）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处,则重叠部分△AFC的面积为　　　　　　　
解：△DCA和　△D′CA关于AC对称，∴∠DCA=∠D′CA
又∵DC∥AB
∴∠DCA=∠CAB
∴∠CAB=∠D′CA
∴AF=CF
设AF=x则CF＝X,BF=8－X
在Rt△BCF中，由勾股定理得x2=42+（8－x)2
从而解得x=5
∴Ｓ△ＡＦＣ＝

例5　　（北京市中学生数学邀请赛初二）如图正方形纸片ABCD中，E为BC重点，折叠正方形，使点A与点E重合,压平后，得折痕MN,设梯形ADMN的面积为S1　　梯形BCMN的面积为S2　　,求S1：S2　　的值．
解:过E作EG∥AB,交MN于F，交AD于G．
很明显MN垂直平分AE，所以AN=NE，△EFH≌△ANH
所以EF=AN
设AN＝NE＝x,AB=2a 则BE＝a，
BN=2a－x 由勾股定理：x2=a2+(2a－x）2,　　得x=　　　
那么FG＝2a－　=
评析：以上题目，无论求面积，还是求长度，都有规律可循:首先根据图形特点及轴对称知识，找出一些相等的关系，设适当的未知数，然后归结到一个直角三角形中，把三个边长度标示出来，再运用勾股定理,列出方程,求出未知数，解这问题就迎刃而解了．