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数字信号处理复习要点
引言 数字信号处理主要包括如下几个部分
1、 离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析
2、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换
3、 数字滤波器的设计
一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析
1、离散时间信号：
1）离散时间信号：时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了.
信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值.
2） 数字信号：时间和幅值都离散化的信号.
（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理）
3） 离散时间信号可用序列来描述
4） 序列的卷积和（线性卷积）

5）几种常用序列
a)单位抽（采、取）样序列（也称单位冲激序列）,
b)单位阶跃序列,
c)矩形序列，
d)实指数序列,
6） 序列的周期性
所有存在一个最小的正整数,满足：,则称序列是周期序列，周期为.正弦序列的周期性取决于，是周期序列.
7）时域抽样定理：
一个限带模拟信号，若其频谱的最高频率为，对它进行等间隔抽样而得，抽样周期为T，或抽样频率为；
只有在抽样频率时，才可由准确恢复.
2、离散时间信号的频域表示（时域离散信号的傅里叶变换；序列的傅立叶变换）
，

3、离散时间信号的复频域分析（时域离散信号的Z变换，序列的Z变换）
；
1） Z变换与傅立叶变换的关系，
2） Z变换的收敛域
收敛区域要依据序列的性质而定.
同时，只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列.
一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：
3）有限长序列：，
右序列： ，
左序列：，
（|z|<Rx+，N2>0时：0<|Z|< Rx+；N2≤0时：0≤|Z|< Rx+）
双边序列：，
总结：因果序列的收敛域包括无穷大点.
常用序列的Z变换：

Z变换之逆变换
，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线
1） 留数定理：，
即
对于单极点zi：
2） 留数辅助定理（C内有高阶极点时）：

适用条件：F(z)在C外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上！！
3） 利用部分分式展开：，然后利用定义及常用序列的Z变换求解.
4、离散时间系统：
系统函数：，
冲激响应：
5、 线性系统：满足叠加原理的系统.
6、 移不变系统：若，则
7、 线性移不变系统
设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:

那么，系统对应的输出为：
如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：

又根据移不变性和h(n)定义，则有：
冲激响应：
所以此时系统输出为：
，，
8、 系统的频率特性可由其零点及极点确定

（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点.）
9、 稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，
即：若，则
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1
10、 因果系统：时刻的输出只由时刻之前的输入决定.
线性移不变系统是因果系统的充要条件：
或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx
11、 稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统——P62
线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，
或：H(z)的极点在单位园内，且H(z)的收敛域满足：
12、 差分方程
线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）

13、 差分方程的解法
1）直接法：递推法
2）经典法
3）由Z变换求解
二、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换（第三、四章）
1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS）

其中：=
2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)
，0≤≤
，0≤n≤
应当注意，虽然和都是长度为的有限长序列，但他们分别是由周期序列和截取其主周期（主值区间）得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性.尤其是涉及其位移特性时更要注意.
3、离散傅立叶变换与Z变换的关系

4、频域抽样定理
对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为，当N≥M时，才可由X(k)不失真恢复.
内插公式：
5、周期卷积、循环卷积
周期（线性）卷积：
循环卷积：
6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积
对周期要求：（N1、N2分别为两个序列的长度）
7、时域抽取基2 FFT算法（DIT-FFT）
1）数据要求：

1、N=8，FFT运算流图

2、DIT―FFT的运算规律
序列长N=2M点的FFT，有M级蝶形，每级有N/2个蝶形运算.

每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p称为旋转因子的指数.
，
第L级共有B=2L-1个不同的旋转因子；同一蝶形运算两输入数据的距离B=2L-1.
同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用，每个蝶形的输入、输出数据节点在同一条水平线上.经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值.
原位计算：利用同一存储单元存储蝶形计算的输入输出数据.
3） DIT-FFT计算效率（复数运算）：
乘法运算次数：，加法计算次数：
（对比DFT运算：乘法运算次数：，加法计算次数：）（复数运算）
8、利用DFT对模拟信号进行谱分析
首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后，就可按照前面的方法，用 FFT来对连续信号进行频谱分析.按采样定理，采样频率应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混迭低通滤波器.由此可得到用FFT对模拟信号进行频谱分析的方框图如下

截断的信号时间长度为Tp=NT，F表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率
，
信号分析过程中为了避免混叠，要求
，
为提高频率分辨率可以增加采样点数N，或者增加对信号的观察时间Tp
——例3.4.2及习题18
注意：：用 FFT 进行频谱存在的问题 1） 频谱泄漏 ，2）为栅栏效应.
各种形式的傅里叶变换：
非周期实连续时间信号的傅里叶变换：频谱是一个非周期的连续函数；
周期性连续时间信号的傅里叶变换：频谱是非周期性的离散频率函数；
非周期离散信号的傅里叶变换：频率函数是周期的连续函数；
离散周期序列的傅里叶变换：具有既是周期又是离散的频谱.
三、 数字滤波器的设计
（一） FIR滤波器的设计

1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的；阶数较高.
2、实现线性相位的条件
（1）h(n)为实数
（2） A类线性相位：h(n)=h(N-1-n)
可以设计一般意义下的FIR滤波器；N是偶数时，不能做高通滤波器.
或 B类线性相位：h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：m=(N-1)/2
适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络.
3、主要设计方法
用窗函数法设计FIR滤波器的步骤
（1） 给定希望逼近的频率响应函数Hd(ejω).
，
FIR滤波器的网络结构：
直接型：
级联型：将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个实系数的二阶形式；级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现.
设FIR网络系统函数H(z)为：H(z) = 0.96 + 2.0z-1 + 2.8z-2 + 1.5z-3
画出H(z)的直接型结构和级联型结构.
解： 将H(z)因式分解得： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构分别如下图的b图、a图所示.
a图 b图
（2） 求单位脉冲响应hd(n).
（3） 由过渡带宽及阻带最小衰减的要求可选定窗形状，并估计窗口长度N：
设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度.
因过渡带Δω近似与窗口长度成反比， N≈A/Δω，A决定于窗口形式.例如，矩形窗A=4π，海明窗A=8π等，A参数选择参考表.按照过渡带及阻带衰减情况，选择窗函数形式.
原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下， 尽量选择主瓣窄的窗函数.
（4） 最后，计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)：
h(n)=hd(n)w(n) 0≤n≤N-1
（5）由h(n)求FIR滤波器的系统函数H(z)
（二） IIR滤波器的设计
1、特点
• 阶数少、运算次数及存储单元都较少
• 适合应用于要求相位特性不严格的场合.
• 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟.
• 是递归系统，存在稳定性问题.
2、间接设计方法——先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器.
脉冲（冲激）响应不变法——基于butterworth模拟低通滤波器设计过程：
(1) 将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标.
；
(2) 设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha(s).根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器.求出波纹幅度参数为
， ，
根据通带衰减要求计算3 dB截止频率Ωc

或根据阻带衰减要求计算3 dB截止频率Ωc

(3) 查表求归一化Ga(p).

或
(4) 将p=s/Ωc代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数

（5） 将T和代入，将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)，即 ：
脉冲（冲激）响应不变法的特点：
• 有混叠失真
• 只适于限带滤波器
• 不适合高通或带阻数字滤波器的设计
双线性变换法——设计数字低通滤波器系统函数H(z)
这种方法的主要特点是先进行频率变换，求模拟滤波器的频率指标

按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器，然后用将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z).
特点：
(i) 稳定性不变
（ii） 无混叠
（iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理
无限长脉冲响应滤波器的网络结构

1) 直接型： 根据系统的差分方程：

记忆方法：天女散花；反馈在前；分子在后.
2) 级联型
　　若将N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式 ：

或表示为：
其中，式中Hi(z)为一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用直接型网络结构；
多项式的系数是实数， Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数.将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数.再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)：

(a) 直接型一阶网络结构； (b)直接型二阶网络结构
3) 并联型
如果将系统函数H(z)展成部分分式形式，就可以得到滤波器的并联型结构即：

Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，系数均为实数.将x(n)送入每个二阶(一阶)网络后，将所有输出相加得到输出y(n).
例：，其并联型网络结构如下图所示：

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