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第九章 矩阵特征值与特征向量计算方法
教学目的 1。 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；2。 掌握求矩阵特征值的QR方法。
教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的QR方法；难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。
教学时数 12学时
教学过程
§2 幂法及反幂法
2．1幂法
在一些工程、物理力学部标题中，需要我们求矩阵的按模最大的特征值（称为A的主特征值）和对应的特征向量。
幂法是一种计算矩阵的主特征值的一种迭代法，它最大优点是方法简单，适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值.
设，其特征值为，对应特征向量为即

且线性无关。设特征值满足：（即为强占优）
（2.1）
幂法的基本思想，是任取一个非零初始向量,由矩阵的乘幂构造一向量序列
（2。2）
称为迭代向量.
下面来分折.
由设为中一个基本,于是，有展开式 （且设）
且有
(2。3）

由假设(2。1）式,则

即

且收敛速度由比值确定。且有
（2．4)

这说明,当充分大时，有，或越来越接近特征向量.
下面考虑主特征值的计算。
用表示的第个分量，考虑相邻迭代向量的分量的比值。

从而是
(2。5)
说明相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征，且收敛速度由比值来度量，越小收敛越快，但越小收敛越快,但，而接近于1时，收敛可能很慢.
定理7 （1)设n个线性无关的特征向量：
（2）设特征值满足

（3）幂法：
）
则 (1）;
（2）
如果主特征值为实的重根,即有

又设A有个线性无关的特征向量,其中

对于任意初始向量

则由幂法有

且有
（设不全为零）

由此，当充分大时，接近于与对应的特征向量的某个线性组合.
应用幂法计算的主特征值及对应的特征向量时,如果），迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无究（或趋于零）,这样电算时就可能溢出.为此，就南非要将迭代向量加以规范化。
设有非零向量

其中表示向量绝对值最大的元素,即如果有草药则

其中为所有绝对值最大的分量中最小指标。
显然有下面性性质：
设,则

在定理7条件下幂法可改进为：
任取初始向量。
迭代: 规范化：
,
（2．6)

于是,由上式产生迭代向量序列及规范化向量
且改进幂法计算公式为:
设
对于
（2。7）
下面考查与计算的关系。
由
且有 （2.8)
其中
(1) 考查规范化向量序列：
由(2。7）及(2。8）式，则有

(2) 考查迭代向量序列：

于是，

定理8 (改进幂法）
(1) 设有个线性无关特征向量；
(2) 设特征值满足

且
（3)由改进幂法得到(（2.7)式），则有
(a）
(b)
且收敛速度由比值确定.
实现幂法,每迭代一次主要是计算一次矩阵乘向量,可编一个子程序.
例2 计算矩阵主特征值及主特征向量

解 特征值为.由改进幂 法计算公式计算得（见表9—1）。

表9—1

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
［0，0，1]
[2,4，1]
［4。5，9,7，75］
［5.7222222,11. ,8。3611111]
[5。461165，10。92233，8.2535556］
［5.500238,11.0004696，8.2501174]
[5.4987088,10。9974176，8.2493544］
[5.5002348,11。000469,8.2501174］
[5。4999574,10。9999148，8.2499787］
［5。5000076，11.0000152,8.2500038］
4
9
11。444444
10。92233
11。0142224
10。9974176
11.0004694
10.9999148
11。0000152
［0。5，1，0。25]
［0。5，1,0。8611111］
［0.5,1,0。7305825］
［0。5，1，0。75355556]
[0.5，1,0.7493544]
[0。5,1,0。7501174]
［0.5,1,0。7499787]
［0。5，1，1.700038］
[0。5,1，0.7499978]
于是,得到A的主特征值及近似主特征向量

2.2 加速方法
原点平称法.
应用幂法计算主特征值的收敛速度主要由比值来确定，当但接近于1时,收敛可能很慢,一个补救的办法是采用加速收敛的方法.引进矩阵

其中是可选择的参。
设的特征值为,则的特征值为的且特征向量相同。
如果需要计算主特征值，就要适当选择使满足:
(2）
对应用幂法，使得在计算的主特征值的过程中得到加速.这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是十分有效的.
例3 计算的主特征值，

解 （1）应用改进幂法计算（见表9-2）
表9—2

0
1
15
20
(1,1，1）
（0．9091，0．8182，1）
（0．7483，0．6497，1)
(0．7482，0．6497，1)

2．75
2．5366256
2．5365323
(上述结果是用8位浮点数运算得到的分量值是舍入值）主特征值近似值为
~

(近似特征向量）
真值（8位数字）为

（2）用原点平移法
作变换取

对应用改进幂法（见表9-3)
表9-3

0
9
10

(1，1，1)
（0。7483，0。6497，1）
（0.7482,0.6497，1）

1.7866587
1.78654914
所以
与(1)比较，加速计算迭代10次结果比(1）不加速幂法计算迭代15次结果还好。
原点位移的加速方法,是一个矩阵变换方法,这种变换容易计算，又不破坏矩阵的稀疏性，但的选择依赖于对A的特征值分布原大致了解，对于特征值的某些分布情况常常能够选择有利的值使用幂法计算主特征值得到加速。
当的特征值得实数时,怎样选择使应用幂法计算得到加速.
设的特征值是实数且满足:
（2。9）
显然，不管如何选取,矩阵的主特征值为或。
当要求计算及时,应选取满足

且使
或求极值问题

显然，当

时,即 时，值达到最小。
由此，当满足(2。9)式时，最佳的值为

说明，当能初步估计时,就可选择的近似值.
同理特征值为实数且满足
（2.10）
时，且要求计算。
最佳的参数为

2。3 反幂法(或逆迭代)
(1) 反幂法可用来计算矩阵按模最小的特征值及对应的特征向量。
设为非厅异矩阵，特征值满足

对应特征向量为线性无关，则特征求值为

特征向量为
因此计算的按模最小的特征值的部题就是计算按模最大的特征值部题。
对于应用幂法迭代（称为反幂法），可求矩阵的主特征值。
反幂法迭代公式：
任取初始向量，
1，2,…
（2。11）
其中迭代向量可通过解方程组求得:

如果个线性无关特征向量且特征值满足:

则由反幂法(2。11)构造的向量序列满足

且收敛速度由比值确定。
（2）应用反幂法求一个的似特征值对应的特征向量。
～
设已知的特征值的一个近似值(通常是用其它方法得到），现要求对应的特征向量（近似）,在反幂法中也可用原点平移法来加速收敛.
如果存在，显然，特征值为

对应的特征向量。
～
现取（但不能取），且设与其它特征值是分离的，即
《
即 》
说明是的主特征值。
现对应用幂法得到反幂法计算公式：
取初始向量

（2.12）
与定理8证明类似，可得下述结果。
～
定理10 （1）设有个线性无关特征向量即。
（2）取（为特征值一个近似值)，设存在且
《
则由反幂法迭代公式（2，12）构造向量序列满足:

或
且收敛速度由比值

确定.
由定理10可知，反幂法计算公式(2。12）可用计算特征向量。选择是的一个近似且的特征值分离情况较好,一般很小，所以迭代过程收敛较快，同时改进特征值。
反幂法迭代公式中是以通过解方程组

求得。为了节省计算量，可先将进行三角分解。

其中为置换阵，于是每次迭代求相当于求解两个三角形方程组

可按下述方法取，即选使

回代求解即求得。
反幂法计算公式：
1．分解计算
，且保存及信息
2．反幂法迭代
（1)

（2）
1)求
求
2)
3）
~
对于计算对称三对角阵，或计算Hessenberg阵对应于一个给定的近似特征值的特征向量，反幂 法是一个有效方法。
例4 用反幂法计算对应于近似特征值（精确特征值为）的特征向量

解 取，用部分选主元分解法实现，
其中

(1）求解

（2）求解

（3)求解特征向量（真解）是

由此,相当好的近似。
§3 豪斯荷尔德方
定义3 （1）设如果当时，则，称为上Hessenberg阵，即

(2）如果称为不可约上Hessenberg阵。
本世讨论两个问题：
(1）用正交相似变换（即用Householder矩阵）约化对称矩阵为对称三对角阵。
求原矩阵特征值问题，就转化为求上Hessenberg阵或对称三对角阵的特征值问题。
3．1 正交相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg阵
设。考虑用初等反射阵作正交似变换来约化,那未能并将约化到什么形式
（3。1）
选择初等反射阵使经正交相似约化为一个上
Hessenberg矩阵。
（1） 设

其中不妨设,否则这一步不需要约化。于是，可选择初等反射使

令
于是，

=
其中。
（2）第步：重复上述过程,设对A已完成第1步,…,第—1步正交相似变换，即

或
且有

其中,为阶上Hessenberg阵，。
设于是,可选择初等所射阵使

其中
（3。2）
令

则

其中为阶上Hessenberg阵（当为对称阵时,只需计算).
(3）继续上述过程，最后有

总结上述讨论有下述结论。
定理11 (Householder约化矩阵为Hessenberg阵）
设，则存在初等反射阵使
=
由 需要计算:
（1)计算初等反射阵：(公式(3.2））,使

（2）约化计算
令 即计算
或 （a)左变换

（b）右变换

算法 1（Householder约化矩阵为上Hessenberg型）
给定，本算法计算=且覆盖其中…为初等反射阵的乘积，为上Hessenberg阵。
1．；
2．对于：
（1）计算初等反射阵,使，

（2）约化计算

（3）
本算法约需要次乘法运算，要明显形成还需要附加次乘法。
例5 设

试用初等反射阵正交相似约化为上Hessnberg阵。
解
（1）选取使

其中
(2）约化计算,计算。其中

于是

计算

从而

-4 7.602634 -0.447212
-4.472136 7.800003 -0.399999
0 -0.399999 2.200000

=

为上Hessenberg阵。
3.2交相似变换约化对称阵为对称三对角阵
定理12 设为对称矩阵，则存在初等反射阵使

证明 令，由定理11即存在正交阵使=T（对称的三对角阵）
用Householder变换正交相似约化对称矩阵为对称三对角阵计算公式

（）
第步计算：。
（1）计算初等反射阵

（2)约化计算：。其中

由设A为对称阵,所以亦是对称阵，只需计算对角线以下部分。
记

则

计算公式：
(1）计算
（2)计算
(3）计算

算法2 （Householder约化对称阵为对称三对角阵）
设为对称矩阵，本算法确定初等反射阵，…，
使，…，=T，其中
T=
为对称三对角阵，计算中间结果覆盖A.
对于k=1,2…，n-2,
（1）计算使

（2)正交相似约化

（即计算的下三角部分）
本算法大约需要次乘法运算.HouseHolder方法（用初等反射阵将矩阵正交相似约化为简单形式即算法1，算法2)是一个数值稳定方法.

布置作业 P。490—493。 习题9 1. （1) (2)、5、6 、12 。