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圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

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圆锥曲线光学性质及生活中的应用

杭州高级中学高二（12)：汪愈超、汤凯楠、王小川
学习完圆锥曲线的方程和性质后,课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣,在反复查找资料，推理演算下,总算是确定了三条待证命题，大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用.
一、 圆锥曲线的光学性质
首先说明一下我们要证明的东西,总共有三样:
1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
2双曲线的光学性质 :从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上;(见图1.2）．
双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献
3 抛物线的光学性质 ：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1。3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处,经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线,一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线,最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点,把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置,同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的贮水器的．
·
图1.3
F2
·
·
F1
图1.2
·
·
A
F1
F2
D
O
图1.1
B

当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。
二、 问题转化及证明
在证明前，如果不知道这三点,是很麻烦的
因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以这三个公式先提前列出
1若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为:。
2若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：
3若点是抛物线上任一点,则抛物线过该点的切线方程是

1。 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1)
已知：如图，设椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线,交轴于
设，
求证:。

x
y

2
L
图2.1
解：在上,，
L’
则过点的切线方程为:
是通过点且与切线垂直的法线，

则
∴法线与轴交于
∴
∴
又由焦半径公式得：
∴
∴是的平分线
∴
∵，故可得
2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2。2）；
已知:如图，双曲线的方程为,，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点,设，

x
y
图2.2
求证：

解：
两焦点为，
在双曲线上
则过点的切线
切线与轴交于。
由双曲线的焦半径公式得

双曲线的两焦点坐标为，
故
故 ，
∴切线为之角分线。

y
x
图2.3
定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）.

已知：如图，抛物线的方程为为，
直线是过抛物线上一点的切线,
交轴于，，
反射线与所成角记为，
求证：

证明: 如图 ，抛物线的方程为
，点在该抛物线上，
则过点的切线为
切线与轴交于
焦点为， (同位角)
∵
∴
∴

通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的(very difficult）。那么它在生活中有何应用呢？

三．圆锥曲线的应用
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

虽然我不知道为什么,天体分别按照椭圆，双曲线,抛物线运行时,其总能量与离心率有很奇妙的关系，天体总能量椭圆〈0，双曲线〉0,抛物线=0，（椭圆e〈1，双曲线e〉1,抛物线e=1)。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动,不可能有任何其他的轨道了.因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。

由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线.这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理.

　由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形,既轻巧又坚固(比如教材当中的冷却塔)
由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高.

圆锥曲线的光学性质是奇妙的,奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察,勤于钻研，及时总结,才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。
参考文献 （1）张奠宙主编《数学教育研究导引》
（2）《圆锥曲线的光学性质及其应用》

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