圆锥曲线的综合应用含详细标准答案.doc

专题1 圆锥曲线的综合应用题型1 直线与圆锥曲线的位置关系1. 直线与双曲线的交点个数是()A.1 B.2 C.1或2 D.0答案详解A解:双曲线的渐近线方程为:,因为直线与双曲线的一条渐近线平行,在y轴上的焦距为3,所以直线与双曲线的交点个数是:1.所以A选项是正确的.解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.2. 斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案详解A解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为代入椭圆，两边乘，则，,或所以3. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB|=的直线l恰有3条，则=【答案】分析：利用实数使得|AB|=的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为4，再作验证，即可得到结论解答：解：实数使得|AB|=的直线l恰有3条根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y=2，故|AB|=4双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意=4故答案为：4解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘,求得关于的方程求得e.4. 设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足，如果直线的倾斜角为，那么 。5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线与圆相切,且交椭圆C于A、B两点,求当的面积最大时直线l的方程.答案详解解:(1)设椭圆右焦点则由(1)得代得代(2)得(2)与圆相切由消y得又,当时,当时,(当时“=”成立)此时且(3)式6. 已知，是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线的方程为。（）求椭圆的方程；（）判断直线与曲线的公共点的个数，并说明理由；当直线与曲线相交时，求直线截曲线所得弦长的取值范围。答案（）因为是双曲线的两个焦点，则。因为椭圆与双曲线的焦点相同，则可得。则可解得，所以椭圆方程为。（）动点满足，所以是椭圆上的点，则。则可得，。因为曲线是圆心半径的圆，圆心到直线的距离为，所以直线与曲线有两个公共点。设直线截曲线所得的弦长为，则。对动点，可得，则代入的表达式可得。题型2 弦重点、中点弦问题7、平面直角坐标系中，过椭圆：（）右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为。（）求的方程；（），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值。答案详解（）设，则，。由此可得：，因为，所以。又由题意知，的右焦点为，故，因此，所以的方程为。（）由，解得或，因此。又题意可设直线的方程为（）。设，由得，于是，因为直线的斜率为，所以，由已知，四边形的面积，当时，取得最大值，最大值为。所以四边形的面积的最大值为8、已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为2.()求动点M的轨迹方程;()若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.答案【答案】解：()设，因为,所以化简得:6分() 设当直线x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意。8分设直线的方程为。将代入得(1)(2) 10分(1)-(2)整理得: 12分直线的方程为即所求直线的方程为14分题型3 对称问题9、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）。A: B: C: D:答案详解C正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查抛物线与直线的关系。设直线的方程为，与抛物线联立得，由韦达定理得，进而可求出的中点，又因为在直线上，代入可得，由弦长公式可求出。故本题正确答案为C。10、已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标答案详解（1）见解析. (2) |PB|min.P的坐标为(0，)解析:(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由得.设线段PQ的中点N(1，n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A.当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.(2)由于点B与点A关于原点O对称，故点B.2x12，2x22，x12x20,2，|PB|22y(x11)2，当点P的坐标为(0，)时，|PB|min.题型4 求参数的取值范围及最值得综合题11、过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则的最小值是()A.2 B. C.4 D.答案C解:根据题意知,抛物线y2的焦点坐标为,当斜率k存在时,设直线AB的方程为,由2x222.设出1，y1)、2，y2）则,x1x2.根据抛物线的定义得出121x2+x1+x2+1,.当斜率k不存在时,.则的最小值是4.12、在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_。答案详解解析:本题主要考查双曲线的性质。由题可画图：由双曲线方程，可得，则双曲线的渐近线方程为。因为双曲线无线接近于渐近线，直线与平行，两直线之间的距离即为的最大值，故本题正确答案为。13、若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则最大值为答案6解析将椭圆方程变形可得，所以设，则，即所以的最大值为6题型5 定点与定值问题14、已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等。（）求椭圆的方程；（）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值。答案详解（）圆心到的距离，则，又，则，椭圆的方程。（）设点，则过点的在椭圆的切线方程为：，联立直线与椭圆的方程，得，消去整理得：，因为直线与椭圆相切，所以，设满足条件的椭圆的两条切线的斜率为、，则，又，则，两切线斜率之积为定值，故证得切线斜率之积为定值。15、13 / 13