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(完整版)专题勾股定理培优版(综合)专题 勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换（一）动点证明题1。如图，在ABC中，AB=AC,（1)若P为边BC上的中点，连结AP,求证：BPCP=AB2AP2；（2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；ABPC（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论。（二）最值问题2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 ，BE=1，P为AC上的动点,则PB+PE的最小值是 3。 如图，四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM。（1）求证:AMBENB；EA DB C CNM(2）当M点在何处时，AMCM的值最小；EA DB C CNM当M点在何处时，AMBMCM的值最小,并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长。EA DB C CNM4。问题：如图，在ABC中， D是BC边上的一点,若BAD=C=2DAC=45，DC=2求BD的长小明同学的解题思路是：利用轴对称，把ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决(1）请你回答：图中BD的长为 ;（2）参考小明的思路,探究并解答问题：如图,在ABC中,D是BC边上的一点，若BAD=C=2DAC=30，DC=2，求BD和AB的长 图 图 二.勾股定理与旋转5。阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC（其中BAC是一个可以变化的角)中，AB=2，AC=4,以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60得到ABC，连接，当点A落在上时,此题可解（如图2)请你回答:AP的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题:如图3,等腰RtABC边AB=4,P为ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简)6。如图,P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度数. 变式1：ABC中， ACB=90，AC=BC，点P是ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求BPC 的度数CBAP变式2：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点,且PAPBPC=123，求APB的度数小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将BCP绕点B顺时针旋转90得到BAE（如图2）,然后连结PE,问题得以解决请你回答：图2中APB的度数为 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题: 如图3,P是等边三角形ABC内一点，已知APB=115，BPC=125(1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹)；（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 图1 图2 图37。 已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（1）当扇形CEF绕点C在ACE的内部旋转时，如图，求证：;CABEFMN图（2）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由CABEFMN图变式1:如图，在中， 且，,则= 变式2：如图,在RtABC 中，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结论：BCDEFA;；其中正确的是（ )A； B; C；D（三）其它应用7. 在中,、三边的长分别为、，求这个三角形的面积小宝同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处）,如图1所示这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积(1）请你将的面积直接填写在横线上_；思维拓展：（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法若三边的长分别为、（)，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上_；探索创新：(3）若中有两边的长分别为、（），且的面积为,试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为)中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况),并求出它的第三条边长填写在横线上_8.已知ABC=90，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在ABC的内部作等边ABE和APQ,连结QE并延长交BP于点F。（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时,求此时EF的长（直接写出结果)；（2）如图2,当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3)若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的关系式文档