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勾股定理培优专题训练
例1 已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+，求这个三角形的面积．
分析 由斜边长是2，周长是2+,易知两直角边的和是，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程,只需求出两直角边长的积,即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．
解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得：

①②
即
②式两边同时平方再减去①式得:
2ab=2,
∴ab=．
∴S=．
因此，这个三角形的面积为．
练习1
1．已知：如图2-1,AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13,∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积．

2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形,求这个新长方形的对角线的长．

3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是( ）
A．1：2：4 B．1：3:5 C．3:4：7 D．5：12：13、
例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少？
分析 图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E,由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．
解：∵图形沿EF折叠后A、C重合，

2-2
∴四边形AFED′与CFED关于EF对称,
则四边形AFED′≌四边形CFED．
∴∠AFE=∠CFE．
∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90°
AB=CD=AD′．
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC．
∴∠AEF=∠AFE．
则AE=AF．
∴Rt△ABF≌Rt△AD′E．
在Rt△ABF中,∵∠B=90°，
∴AB2+BF2=AF2．
设BF=x,b2+x2=（a—x)2，
∴x=．
∴S=2S△ABF=2×bx=2×·b·=．
练习2

2-3
1．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

2．如图2-5,长方形ABCD中，AB=3，BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为( ）
A．3.74 B．3。75 C．3.76 D．3。77

勾股定理练习
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ,则斜边长为_____________．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．在一个直角三角形中,若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ）.
A．4cm B．4cm或 C． D．不存在
4．在数轴上作出表示的点．
5．一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为2。5㎝,
高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做多长？
考点二、利用列方程求线段的长

1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．
2．如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则EB的长是( ）．
A．3 B．4
C． D．5
A
D
E
B
C

3．如图，铁路上A，B两点相距25km，C,D为两村庄，DA⊥AB于A,CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

4．如图,某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，
又与公路车站(D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店(C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、综合其它考点的应用
1．直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．
2．如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

3．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．

6
8
4．小杨从学校出发向南走150米,接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．

5．如图:带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）

6．已知，如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长； ②ΔABC的面积．

7．在直角ΔABC中,斜边长为2,周长为2+，求ΔABC的面积．

8．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E，BD=4cm．求AC的长．

9．已知：如图，△ABC中,AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证:AB2—AC2=BC(BD-DC）．

10．已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高．

11．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．

12．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB间的尺寸．

4