解决平面向量数量积问题的几种常见方法.doc

解决平面向量数量积问题
平面向量的数量积是向量的一种重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛．在高考试卷中备受青睐，命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．
[典例]　已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，其外接圆的圆心为O，则·＝________.
[思路点拨]
本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长．我们可以从以下三种思路着手：
(1)利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题；
(2)选择，为基底，利用向量基本定理，将·转化到两个基底之间的运算，问题自然就能顺利解决．
(3)设D是边BC的中点，根据题意可知OD⊥BC，因此方便建立平面直角坐标系，利用坐标运算解答问题．
[方法演示]
法一：投影法

如图，作OD⊥BC，垂足为D，则D是线段BC的中点．
作AE⊥BC，垂足为E.
则在的方向上的投影为
||·cos〈，〉＝|ED―→|，
所以·＝||·||·cos〈，〉＝|ED―→|·||.
在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，
由余弦定理，得cos∠ABC＝＝－.
所以cos∠ABE＝cos(π－∠ABC)＝，
所以BE＝AB·cos∠ABE＝.
所以|ED―→|＝BE＋BD＝＋.
因为||＝，
所以·＝|ED―→|·||＝10.
法二：基底法

如图，作OD⊥BC，垂足为D，
则D是线段BC的中点，且·＝0.
所以·
＝(＋＋)·
＝·＋·＋·
＝·＋·
＝－·＋·，
在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，
由余弦定理，得cos∠ABC＝＝－.
所以·＝－·＋·
＝－||·||cos∠ABC＋||2
＝－4××＋×()2＝10.
法三：坐标法
如图，作OD⊥BC，垂足为D，则D是线段BC的中点．

以D为坐标原点，BC，DO分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，
由余弦定理，得cos∠ACB＝＝.
作AE⊥BC，垂足为E.
在Rt△ACE中，CE＝AC·cos∠ACB＝.
设A，O(0，yO)，又B，C.
所以＝，＝(，0)．
所以·＝×＋(yO－yA)×0＝10.
答案：10
[解题师说]
(1)法一(投影法)利用向量数量积的几何意义，借助于向量的投影求向量的数量积，巧妙地利用平面图形的性质，解答简短．法二(基底法)通过向量的分解变换，即向量的线性运算，转化成另外向量的数量积，不断化简求出值，充分体现了转化的思想，其中垂直关系的利用是化简的关键．思维更自然，处理更简单．法三(坐标法)巧妙地把向量运算转化为数量运算，解答过程同样简洁，体现了坐标法的威力．
(2)如果题目图形便于建立平面直角坐标系，可以优先考虑的坐标法．如果不方便建立平面直角坐标系，则可考虑投影法或基底法，其中选择恰当的基底，将要求的数量积的两向量用基底表示是关键．
[应用体验]
1.如图，△ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则·的取值范围是(　　)

A．[1,13] B．(1,13)
C．(4,10) D．[4,10]
解析：选A　取AB的中点D，连接CD，CP，则＋＝2，所以·＝(－)·(－)＝·－2·＋1＝(2)2cos－2×3×1×cos〈，〉＋1＝7－6cos〈，〉，所以当cos〈，〉＝1时，·取得最小值为1；当cos〈，〉＝－1时，·取得最大值为13，因此·的取值范围是[1,13]．
2．已知四边形ABCD的对角线相交于一点，＝(1，)，＝(－，1)，则·的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(0,4]
C．[－2,0) D．[－4,0)
解析：选C　由已知得，||＝||＝2，AC⊥BD.
法一(基底法)：设四边形ABCD的对角线相交于一点O，设OA＝x，OB＝y，
则OC＝2－x，OD＝2－y，且0<x<2,0<y<2.
所以＝－，＝－.
若以，为基底．
则·＝(－)·(－)＝－＋ ·(－)＝－·－·＝－||2－||2＝(y－1)2＋(x－1)2－2.
又0≤(x－1)2<1,0≤(y－1)2<1，
所以－2≤·<0.
法二(坐标法)：设四边形ABCD的对角线相交于一点O.以O为坐标原点，OC，OD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设OA＝a，OB＝b，则OC＝2－a，OD＝2－b，且0<a<2,0<b<2.
则A(－a,0)，B(0，－b)，C(2－a,0)，
D(0,2－b)，
所以＝(a，－b)，＝(a－2,2－b)．
所以·＝a(a－2)＋(－b)(2－b)
＝(a－1)2＋(b－1)2－2.
又0≤(a－1)2<1,0≤(b－1)2<1，
所以－2≤·<0.

一、选择题
1.(2017·日照一模)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，则·＝(　　)

A．0　　　　　　　　 B．4
C．8 D．－4
解析：选B　因为AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，所以AD＝2，所以·＝·(＋)＝·＋·＝·＝2×4×＝4.
2．(2018·郑州质检)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．有最大值8 B．是定值6
C．有最小值2 D．与P点的位置有关
解析：选B　设＝a，＝b，＝t，∴＝－＝b－a，a2＝b2＝4，a·b＝2×2×cos 60°＝2，∴＝＋＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，＋＝a＋b，∴·(＋)＝[(1－t)a＋tb]·(a＋b)＝(1－t)a2＋[(1－t)＋t]a·b＋tb2＝(1－t)×4＋2＋t×4＝6.
3.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为(　　)

A．3 B．2
C．6 D．9
解析：选D　由平面向量数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝＋ ·(＋)＝2＋2＋·＝9.
4．(2018·宝鸡质检)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.
设M(a,2－a)，则0<a<1，N(a＋1，1－a)，∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2，∵0<a<1，∴当a＝时，·取得最小值.又·<2，故·的取值范围为.
5．(2018·福州模拟)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝1，AD＝，P为平行四边形内一点，AP＝，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选A　∵＝λ＋μ，
∴||2＝(λ＋μ)2，
即2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ··.
又AB＝1，AD＝，∠BAD＝60°，
∴·＝1××cos 60°＝，
∴＝λ2＋3μ2＋λμ，
∴(λ＋μ)2＝＋λμ≤＋2，
∴(λ＋μ)2≤1，
∴λ＋μ的最大值为1，当且仅当λ＝，μ＝时取等号．
6．(2018·开封质检)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　法一：如图，以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系．则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，＝(2,0)，＝(1，)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))．
∵·＝－，
∴(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，
化简得4λ2－4λ＋1＝0，
∴λ＝.
法二：∵＝－＝(1－λ)·－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，〈，〉＝60°，
·＝||·||cos 60°＝2，
∴[(1－λ)－]·(λ－)＝－，
即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，
∴4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.
7.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝，BC＝3，则·的值为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：选A　取BC的中点为D，连接AD，OD，则OD⊥BC，＝(＋)，＝－，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝×[()2－22]＝.
8.(2018·贵阳质检)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．2 B.
C. D.
解析：选D　法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ＝λ－μ，＋μ，
∴解得∴λ＋μ＝.
法二：由＝＋，＝－＋，
得＝λ＋μ＝＋＋μ.
又＝＋，∴解得
∴λ＋μ＝.
9．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：

选B　如图所示，
＝＋.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以＝，
＝＋＝，
所以＝＋.
又＝－，
则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
故·＝－－×1×1×＝.
10．(2018·成都诊断)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，||＝2，＝－.若M是线段AB的中点，则·的值为(　　)
A．3 B．2
C．2 D．－3
解析：选A　由条件易知△OAB为正三角形．又由M为AB的中点，则＝(＋)，所以·＝(＋)·＝||2＋·－||2＝3.
11.(2018·湖北八校联考)如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M为BC边的中点，则·的值为(　　)

A．2 B．12
C．6 D．5
解析：选D　如图，取AB，AC的中点分别为D，E，连接OD，OE，可知OD⊥AB，OE⊥AC，∵M是BC边的中点，
∴＝(＋)，
∴·＝(＋)·＝·＋·＝·＋·.由数量积的定义可得·＝||||·cos〈，〉，而||cos〈，〉＝||，故·＝||2＝4，同理可得·＝||2＝1，即·＋·＝5，故·＝5.
12．(2018·陕西质检)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是(　　)
A. B.
C.π D.
解析：选C　由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，即a⊥b.

法一：如图，令＝a，＝b，
则△AOB为等腰直角三角形．
又b－a＝，
∴a与b－a的夹角为π.
法二：不妨令a＝(1,0)，b＝(0,1)，
则b－a＝(－1,1)，
设a与b－a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
二、填空题
13．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．
解析：依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ，由λ∈知，x∈，即x的取值范围是.
答案：
14.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

解析：因为＝＋＝＋，
＝＋＝－，
所以·＝·＝
||2－||2－·＝2，
将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.
答案：22
15.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则·的最小值为________．

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－2,0)，A(0,2)，D(1,0)，设P(x，y)，故＝(x＋2，y)，＝(1，－2)，所以·＝x－2y＋2.令x－2y＋2＝t，根据直线的几何意义可知，当直线x－2y＋2＝t与半圆相切时，t取得最小值，由点到直线的距离公式可得＝1，t＝2－，即·的最小值是2－.
答案：2－
16.在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△PBC面积的最小值为________．
解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B，C(0，t)，因为＝＋，所以点P坐标为(4,1)，直线BC的方程为t2x＋y－t＝0，所以点P到直线BC的距离为d＝，BC＝，所以△PBC的面积为××＝≥，当且仅当t＝时取等号．
答案：