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(完整word)知识讲解_平面向量的实际背景及基本概念_基础
平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.
4．理解两个向量共线的含义。
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量．
要点诠释：
（1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
要点二：向量的表示法
1．有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度．
2。向量的表示方法：
（1)字母表示法：如等.
（2）几何表示法：以A为始点,B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量。
要点诠释：
(1)用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
要点三：向量的有关概念
1．向量的模:向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度)。
要点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数,可以比较大小．
2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量.
要点诠释：
(1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量.
要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等．
要点四:向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量）.
规定:与任一向量共线。
要点诠释:
1.零向量的方向是任意的,注意0与0的含义与书写区别.
2。平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【典型例题】
类型一:向量的基本概念
例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？
（1）密度；（2）浮力；(3）风速;（4）温度．
【思路点拨】抓住向量的两个特征：长度和方向进行辨析．
【解析】浮力和风速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小没有方向，不是向量．故（2)(3)是向量，（1）（4）不是向量．
【总结升华】 实际问题中的一些量,如温度、电量等，尽管它们有正、负之分,但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有本质区别的两个概念．
举一反三：
【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A． 质量 B． 速度 C．位移 D．力
【答案】 A
例2．（2015春 山东梁山县期中）下列说法：
①平行向量一定相等;
②不相等的向量一定不平行；
③共线向量一定相等；
④相等向量一定共线；
⑤长度相等的向量是相等向量；
⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．
其中，说法错误的是________．
【答案】①②③⑤⑥
【解析】①平行向量不一定相等,因此①不正确；
②不相等的向量可能平行，因此②不正确；
③共线向量不一定相等,因此③不正确；
④相等向量一定共线，正确;
⑤长度相等的向量不一定是相等向量，因此⑤不正确；
⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量,不一定正确．例如:给出不共线的非零向量，，它们都与平行，此时，不共线．
综上可得:说法错误的是①②③⑤⑥．
故答案为:①②③⑤⑥

举一反三：
【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589例2】
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
(2)长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
(4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等;
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。
（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线;
（7）共线的向量一定相等;
(8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法正确的个数是( ）
①向量，则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等;
③向量既是有向线段；
④在平行四边形中，一定有.
A。0个 B.1个 C。2个 D。3个
【答案】C
类型二：向量的表示方法
例3．在如图所示的坐标系中，用直尺和圆规画出下列向量．
（1)，点A在点O正西方向；
（2）,点B在点O北偏西45°方向；
(3），点C在点O南偏东60°方向．
【解析】 如图所示．

【总结升华】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
例4．如下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中:

（1)与向量相等的向量；
(2)与向量平行的向量；
(3）与向量模相等的向量;
（4）与向量模相等、方向相反的向量．
【解析】(1）与向量相等的向量有.
(2）与向量平行的向量有、、、、。
（3）与向量模相等的向量有、、。
(4）与向量模相等、方向相反的向量有、.
举一反三：
【变式1】（2016 安徽泗县月考）如图,D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点,在以A，B，C，D,E,F为起点和终点的向量中，
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量共线的向量．
【解析】（1）∵E,F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥BA，且,
又D是BA的中点，
∴,
∴与向量相等的向量是；
(2）∵D，F分别为BA，AC的中点，
∴DF∥BC，且，
又E是BC的中点，
∴,
∴与向量相等的向量是．

【变式2】（1）与向量相等的向量有多少个？并把这些向量写出来．
（2）是否存在与向量长度相等、方向相反向量?
（3）与向量共线的向量有哪些？
【解析】（1)3个 、、（2）存在 、、、
（3)向量共线的向量有：、、、、、、．

类型三：利用向量相等或共线进行证明
例5．如图所示，四边形ABCD中,，N、M分别是AD、BC上的点，且．
求证：．
【思路点拨】证明,要证明这两个向量的方向相同和大小相等．
【证明】 ∵，∴且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴且DA∥CB．
又∵与的方向相同,∴．
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴．
∵，，∴，
又与的方向相同,∴．
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系．若，则且AB∥CD．
举一反三：
【变式1】（2015 湖南芙蓉区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，使得，试判断P点的位置．
【解析】∵，∴,
∴，所以与共线，即点A，P，C共线,
故点P为线段AC的三等分点处（靠近点A）．