平面向量的基本概念.doc

(完整word)平面向量的基本概念
平面向量的实际背景及基本概念
1。向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量.
2。数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量.
数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
3. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
4. 有向线段的三要素：起点,大小，方向
A(起点)
B
（终点）
a

5.有向线段与向量的区别；
(1）相同点：都有大小和方向
(2)不同点:①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段

比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。
②向量只有大小和方向,并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线
段表示相同（等）的向量。
③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成
6。向量的表示方法：
①用有向线段表示;
②用字母ａ、ｂ（黑体,印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
7.向量的模：向量的大小（长度）称为向量的模,记作||。
8。零向量、单位向量概念：
长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。
9.平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。即：0 ∥ａ。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ。
10.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明:（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示，并且与有
向线段的起点无关.
11。共线向量与平行向量关系：
B
A
O
C
D
E
F
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关）
说明：（1)平行向量是可以在同一直线上的。
(2）共线向量是可以相互平行的.
例1.判断下列说法是否正确，为什么?
（1)平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行?
（3)与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
解析：（1）不是，方向可以相反,可有定义得出。
(2）不是，当两个向量方向相同的时候,只要长度不相等就不是相等向量,但是是平行的。
（3）零向量 (4)零向量
（5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同
（7）不一定，可以平行。
例2.下列命题正确的是( ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点
C。向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量
D。有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量,即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线,可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量,所以应选C。

例3.如右图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量 相等的向量。
解：按照向量相等的定义可知：

向量的加法运算及其几何意义
１．向量的加法:求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”）
3.三角形法则的来由
如图，已知向量a、ｂ。在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ,则向量叫做a与ｂ的和,记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定：a + 0—= 0 + a
A
B
C
a+b
a+b
a
a
b
b
a
ｂ
b
a+b
a

4.向量加法的字母公式：
5.平行四边形法则

图1
如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
6.平行四边形法则与三角形法则的区别:
（1） 平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点
和两个分向量的起点是同一起点。
（2） 三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起,然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是:由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
7. 一般结论
当a,b不共线时，|a+b|〈｜a|+｜b|（即三角形两边之和大于第三边);
当a，b共线且方向相同时，｜a+b|=|a｜+｜b｜;
当a，b共线且方向相反时,｜a+b｜=｜a｜—｜b｜(或｜b|-｜a｜）。其中当向量a的长度大于向量b的长度时,｜a+b｜=|a|—｜b|；当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b｜=｜b｜-｜a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a｜+｜b｜.

二．例题讲解
例1、已知正方形ABCD的边长为1， = a, = b， = c，则| a+b+c|等于( )
A．0 B．3 C．2 D．2 。
解: D C

A
作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：
a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c｜=2|c|=2，所以选D.

例2.化简：（1)+；(2)++;(3)++++。

例3.如图所示，已知矩形ABCD中，｜|=4，设=a,=b，=c,试求向量a+b+c的模。

解：过D作AC的平行线，交BC的延长线于E，
∴DE∥AC,AD∥BE。
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴=，=.
于是a+b+c=++=+==+=2，
∴|a+b+c｜=2｜｜=8。

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。
①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑤共线的向量，若起点不同,则终点一定不同。
2。（1)．判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因.
① =0　　　　　②　。-=0
（2） 若将所有单位向量的起点归结在同一起点,则其终点构成的图形是___________.
（3） 将所有共线向量移至同一起点,终点构成的图形是什么图形？___________
3．下列说法正确的是（ ）
A。 平行向量是方向相同的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量
C. 零向量的长度为0 D. 共线向量是在同一条直线上的向量
4．若非零向量与共线，则以下说法下确的是( ）
A. 与必须在同一直线上 B。 与平行，且方向必须相同`
C。 与平行，且方向必须相反 D。 与平行
1、在四边形中，若,则四边形的形状一定是 ( ）
(A） 平行四边形 （B) 菱形 (C) 矩形 (D） 正方形
2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是（ ）
A、与为平行向量 B、与为模相等的向量
C、与为共线向量 D、与为相等的向量
3、下列命题中正确的是( ）
A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C。若a,b满足｜a｜〉|b｜且a与b同向，则a>b
D。对于任意向量a、b，必有｜a+b|≤｜a｜+|b｜
平面向量的加法运算
1、 用三角形法则和平行四边形法则分别画出

2、下列命题中正确的是( ）
A.单位向量都相等
B。长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a,b满足｜a|〉|b｜且a与b同向，则a>b
D.对于任意向量a、b,必有|a+b｜≤|a|+|b｜
3、已知正方形的边长为1, =a，=b,=c,则|a+b+c｜等于( )
A。0 B。3 C. D.2
4、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为和,那么下列命题中错误的一个是
A、与为平行向量 B、与为模相等的向量
C、与为共线向量 D、与为相等的向量
5、在四边形中，若，则四边形的形状一定是 （ )
（A) 平行四边形 (B) 菱形 （C） 矩形 （D) 正方形
6、已知正方形的边长为1，，，， 则等于 （ )
（A) 0 (B） 3 （C） （D)
7、如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 ( ）
(A） （B） (C) (D)