平面向量的基本概念.doc

(完整word)平面向量的基本概念平面向量的实际背景及基本概念1。向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量.2。数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。3. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4. 有向线段的三要素：起点,大小，方向A(起点) B（终点）a 5.有向线段与向量的区别；(1）相同点：都有大小和方向(2)不同点:有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 向量只有大小和方向,并且是可以平移的，比如：在中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6。向量的表示方法：用有向线段表示;用字母、（黑体,印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；7.向量的模：向量的大小（长度）称为向量的模,记作|。8。零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。9.平行向量定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行。即：0 。说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义； （2）向量、平行，记作。 10.相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明:（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等； （3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关.11。共线向量与平行向量关系：BAOCDEF平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关）说明：（1)平行向量是可以在同一直线上的。 (2）共线向量是可以相互平行的.例1.判断下列说法是否正确，为什么?（1)平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行?（3)与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反,可有定义得出。 (2）不是，当两个向量方向相同的时候,只要长度不相等就不是相等向量,但是是平行的。 （3）零向量 (4)零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。例2.下列命题正确的是( ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C。向量与不共线,则与都是非零向量D。有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量,即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线,可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量,所以应选C。例3.如右图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量 相等的向量。解：按照向量相等的定义可知： 向量的加法运算及其几何意义向量的加法:求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”）3.三角形法则的来由如图，已知向量a、。在平面内任取一点，作a，,则向量叫做a与的和,记作a，即 a，规定：a + 0= 0 + aABCa+ba+baabbaba+ba4.向量加法的字母公式：5.平行四边形法则图1 如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。6.平行四边形法则与三角形法则的区别:（1） 平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。（2） 三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起,然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是:由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7. 一般结论当a,b不共线时，|a+b|a|+b|（即三角形两边之和大于第三边);当a，b共线且方向相同时，a+b|=|a+b;当a，b共线且方向相反时,a+b=ab(或b|-a）。其中当向量a的长度大于向量b的长度时,a+b=|a|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b=b-a|.一般地,我们有|a+b|a+b.二例题讲解例1、已知正方形ABCD的边长为1， = a, = b， = c，则| a+b+c|等于( )A0 B3 C2 D2 。 解: D C A 作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c=2|c|=2，所以选D.例2.化简：（1)+；(2)+;(3)+。例3.如图所示，已知矩形ABCD中，|=4，设=a,=b，=c,试求向量a+b+c的模。解：过D作AC的平行线，交BC的延长线于E，DEAC,ADBE。四边形ADEC为平行四边形.=，=.于是a+b+c=+=+=+=2，|a+b+c=2=8。1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上;单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等； 一个向量方向不确定当且仅当模为0;共线的向量，若起点不同,则终点一定不同。2。（1)判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因. =0。-=0（2） 若将所有单位向量的起点归结在同一起点,则其终点构成的图形是_.（3） 将所有共线向量移至同一起点,终点构成的图形是什么图形？_3下列说法正确的是（ ）A。 平行向量是方向相同的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为0 D. 共线向量是在同一条直线上的向量4若非零向量与共线，则以下说法下确的是( ）A. 与必须在同一直线上 B。 与平行，且方向必须相同C。 与平行，且方向必须相反 D。 与平行1、在四边形中，若,则四边形的形状一定是 ( ）(A） 平行四边形 （B) 菱形 (C) 矩形 (D） 正方形2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是（ ）A、与为平行向量 B、与为模相等的向量 C、与为共线向量 D、与为相等的向量3、下列命题中正确的是( ） A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C。若a,b满足a|b且a与b同向，则ab D。对于任意向量a、b，必有a+b|a+|b 平面向量的加法运算1、 用三角形法则和平行四边形法则分别画出2、下列命题中正确的是( ） A.单位向量都相等 B。长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若a,b满足a|b且a与b同向，则ab D.对于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b 3、已知正方形的边长为1, =a，=b,=c,则|a+b+c等于( ) A。0 B。3 C. D.24、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为和,那么下列命题中错误的一个是A、与为平行向量 B、与为模相等的向量 C、与为共线向量 D、与为相等的向量5、在四边形中，若，则四边形的形状一定是 （ )（A) 平行四边形 (B) 菱形 （C） 矩形 （D) 正方形6、已知正方形的边长为1， 则等于 （ ) （A) 0 (B） 3 （C） （D)7、如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 ( ）(A） （B） (C) (D)