量子力学复习考试提要.doc

量子力学的复习提要
一、 量子理论基础
1、 热辐射 普朗克量子假说：
物体发射或吸收电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个能量子的能量为 。
2、光电效应 爱因斯坦光子假说 ：
光和粒子相互作用时表现出粒子性，每一个光量子的能量E与辐射频率的关系 。
3、康普顿效应
光量子具有动量，在定量上是正确的；在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍成立。
4、 玻尔理论
原子具有离散能量的定态，两个定态之间的量子跃迁的概念以及频率条件：
.
5、 德布罗意的波粒二象性假设 德布罗意波－物质波
de Broglie relation

二、量子力学的基本框架
1、 量子系统的状态用波函数描述。
● 波函数的概率诠释
：在r点处的体积元中找到粒子的概率。
● 态叠加原理
如y1, y2yn等都是体系的可能状态，那末它们的线性叠加态 也是这个体系的一个可能状态，
2 、描写物理系统的一个力学量，对应于一个线性厄米算符。
，本征值
本征函数

的共同本征函数是球谐函数：
，

对易式 .
基本对易式
角动量对易式
, , ,
, ，

厄米算符的本征值为实数，对应不同本征值的本征矢相互正交。
3 、任一状态的波函数y，都可以用力学量算符的本征函数系，或一组力学量完全集的共同本征函数系来展开。
当系统处在由波函数y 所描述的状态时，每次测量一个力学量所得到的结果，只可能是与该力学量相对应的算符的所有本征值中的一个。
对与算符相应的力学量进行足够多次的测量，所得的平均值是y 与的内积，同y 与其自身的内积的商，即
.
或者说，对与算符相应的力学量进行测量，每次测量的结果取的某一本征值An的概率wn，等于y 对的本征函数系的展开式中，相应于本征函数yn那项的系数的模方，即
.
4、 态函数随时间的演化遵从薛定谔方程
,
其中是系统的哈密顿算符，当哈密顿算符不显含时间t时，对应的定态薛定谔方程(能量本征值方程)为 。
5、 系统内任意两个全同粒子互相交换，都不会改变系统的状态。
玻色子：
费米子：
泡利不相容原理：不可能有两个全同的费米子处于同一个单粒子态。
6、 旋与轨道角动量的基本内容要清楚
自旋算符与轨道角动量的代数类似。
7、 氢原子
能级特点，简并度。波函数由径向和角度两部分构成。
三、基本计算能力要具备
1、 基本例题和作业题要掌握
一维无限深势阱，线性谐振子，势垒穿透
2、波函数的概率诠释，定态的概念与判断
3、重点在前三章中的基本内容。
4、 补充习题与参考答案
补充习题1（选做）、已知局限在到a范围内运动的粒子的归一化波函数为 ，计算其动量和动能平均值。
解：动量算符为，
动能算符为，
动量的平均值为

动能的平均值为

补充习题2（选做）、简谐振子的能量算符为，基态的归一化波函数为，其中。计算其动量和能量的平均值。
解： 动量的平均值为

动能的平均值为

补充习题3（选做）、补充习题1中的波函数是否动量的本征函数？是否动能的本征函数？如果是，本征值是多少？
解：（1）
―不是本征函数
（2）

是本征函数，本征值为。
补充题4（选做）：在状态中，讨论的值，并求。
解：的本征函数为，本征值为
but
显然， 是由的两个本征函数叠加而成，这两个本征态对应于，且取的概率相同，各为。
的本征值自然为零
＝。
补充题5（选做）：粒子在一维无限深势阱中运动，对于基态求：
解：宽为a的一维无限深势阱中运动的粒子的基态为

则

而

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