圆锥曲线第三定义及扩展.doc

(完整版)圆锥曲线第三定义及扩展
圆锥曲线第三定义
在椭圆中,A,B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若存在，则。（反之亦成立）
在双曲线中,A，B两点关于原点对称,P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若存在，则。（反之亦成立)
★焦点在Y轴上时，椭圆满足，双曲线满足
例、已知椭圆的长轴长为4，若点P是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交与M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为k1、k2。若k1k2=,则椭圆的方程为 。
变式：
1、 设点A,B的坐标为（—2，0），（2,0）,点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程为 。

2、 设点P是曲线C上任意一点，坐标原点是O,曲线C与X轴相交于两点M(-2，0)，
N(2，0),直线PM，PN的斜率之积为，则的最小值是 。

3、已知的两个顶点坐标分别是（—8，0），（8，0),且AC,BC所在直线斜率之积为m(），求顶点C的轨迹.

4、 P是双曲线上一点,M，N分别是双曲线的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为,则双曲线离心率为 。

5、 已知椭圆的左右顶点分别是A、B，M是椭圆上异于A、B的动点，求证：为定值。

6、平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；

第三定义的应用
例、椭圆的左右顶点分别是A,B，点S是椭圆上位于X轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于点M、N，求线段MN长度的最小值.

变式：已知A，B 分别为曲线C： +=1（y0，a〉0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B，且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T。
(1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
(II)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在，使得O,M，S三点共线?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

第三定义的变形
框架一：已知椭圆，A，B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足.则有如图框架。（已知任意两个，可以推导第三个）.

相应的双曲线中有，当焦点在Y轴上时,椭圆满足，双曲线满足。
例、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值

变式：已知在椭圆，A，B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点满足且=1，证明：

框架二：已知椭圆，A,B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足。则有如下框架：。
例、设动点P满足,其中，M，N是椭圆上的点，直线OM、ON的斜率之积为，求动点P的轨迹方程。

变式:设动点M满足，其中A、B是椭圆上的点,且。证明：P的轨迹方程为。

框架三：已知动直线与椭圆交于两个不同的两点，且，其中O为坐标原点。有如下框图。

例、已知直线与椭圆: 交于，两不同点，且的面积S=，其中为坐标原点.
（Ⅰ)证明和均为定值
(Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
(Ⅲ）椭圆上是否存在点， ， ，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。

变式：已知与椭圆交于两个不同的两点，已知，若，且椭圆离心率为,又椭圆经过点，O为坐标原点。
（1） 求椭圆标准方程。
（2） 若直线过椭圆的焦点F（0，c），求直线的斜率k。
（3） 证明：的面积为定值.