现代控制理论期末试卷.doc

一、（10分，每小题1分）
1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×)
2、对SISO线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×)
3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√)
4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×)
5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√)
6、Lyapunov第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√)
7、对于SISO线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√)
8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×)
9、对于一个n维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n维的。(√)
10、对线性定常系统，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√)
二（10分，每小题5分）
（1）简述平衡状态及平衡点的定义。
（2）简述状态方程解的意义。
解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。
（2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。
三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。

解：
……………………………….……1分
令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有
………………………………2分
于是有
………………………………..……………1分
……….….……………….2分
再令位移为系统的输出y，有
…………………………….……….1分
写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
………..……………..2分
……………………..……….……….2分
四、（15分）求以下系统的状态响应

解： 由得
…………….……………………………………2分
……………….………2分
…………….………….………2分
…………….………………2分
…………….………………...…………1分
…………….…………..………………1分
五、（10分）令为二阶单位矩阵。求解Lyapunov方程判断以下系统的稳定性

解 令………….…………..…………………..……………1分
得
……………….………………2分
……………….……………………………..………2分
……………….…………………………..…………2分
由 ……………….…………..………………2分
可知正定，所以系统渐近稳定………….……………..………………1分
六、设和是两个能控且能观的系统

（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；
解：（1）和串联
当的输出是的输入时，
，

则rank M=2<3，所以系统不完全能控。

当得输出是的输入时
，
因为
rank M=3 则系统能控
因为
rank N=2<3 则系统不能观

七、（15分）已知系统 试将其化为能控标准型。（10分）
解 ， （2分）
（2分）
（2分）
（2分）
能控标准型为 （2分）

八、（10分）已知系统，求形如
的全维状态观测器，且极点为。其中分别为原系统得系统、控制和输出矩阵。
解： 令
..…………………………………..…………..…………1分
则
……2分
计算知理想特征多项式为
…………………………………..…………2分
列方程得
………………………………..…………2分
解方程得
..………………………………………...…………..………2分
从而状态观测器为
………..………..…………1分