圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用.doc

圆锥曲线的统一焦半径公式
在解题中的应用
宜昌二中 黄群星
我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。
一．在椭圆中的运用：
例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为k（>0）的直线与C相交与A,B两点，若,求k的值。
解法一：∵ ∴
设椭圆的方程为右焦点为，
设直线的方程为，设

∵①
② ③
将①带入②得 ∴
k>0, ∴m>0, ∴
解法二;
由题意得 ∴
∴
评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么，在什么情况下可以用这个公式呢？
先看这个公式的结构：，其中，e是离心率，P为焦准距，是过焦点的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。
二．在双曲线中的运用：
例2：双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点F垂直于的直线分别交于A,B两点，已知成等差数列，且同向
① 求双曲线的离心率
② 设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。
解：① 如图 ∵FA=b,OF=c, ∴OA=,∵OF平分角∠AOB ∴
设FB=mb,OB=m,则有
即
② 设直线AB的倾斜角为, ∴
L1
L2
B
A
F
O
x
y
即
有∵
∴ 双曲线的方程为
评述：双曲线的焦半径公式=，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。
三．在抛物线中的使用：
例3：平面上一点P到点F（1,0）的距离与它到直线x=3的距离之和为4，
① 求点P的轨迹方程
② 过A的直线与轨迹C交与MN两点，求得最大值
解：①设P（x,y）,由题意得
当时，

当时，

点P的轨迹方程为 （P=2）
(P=6)
② 当时，
当时，
当时，
N
M
F
O
y
x

当时
当时
当时
综上，当时，
评述：这个题目涉及到两条抛物线，而要求的弦长不一定是来自于直线和同一条抛物线的交点，另外，开口向右的那条抛物线又不是标准方程，所以要用坐标形式的焦半径公式可谓困难重重，而统一焦半径公式用的参变量与位置无关，所以这个问题它同样迎刃而解。
有时候，一个问题能否解决，解决的速度，解决的水平往往取决于我们选择的工具，就如历史的发展过程中，生产力发展的标志是生产工具。而公式，是我们数学学习过程中的一个有力的工具，选择好了，就会所向披靡，事半功倍！