四边形中旋转、折叠问题.doc

四边形中的旋转、折叠问题
例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．
（1）求B′ 点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式．
例题：（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F
求证：AE=CF。

（2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。
求证：EI=FG。

例题：（2012•德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

（2012•南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．
（2）连接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
∴点N是线段BC的中点．
（3）作OM⊥AD，

设DE=x，则MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
故AE为△AED的外接圆的直径．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD，
∵四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=4，
∴ON=MN﹣MO=4﹣x，
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径，
∴OE=ON=4﹣x，AE=8﹣x，
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，
∴22+x2=（8﹣x）2，
得x=DE=，OE=4﹣x=，
∵△FEO∽△AED，
∴=，
解得：FO=，
∴FG=2FO=．
故折痕FG的长是．
对应练习
1.（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）

2.（2012•泰安）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）

3.（2012•泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）
第17题

4.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，
将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD
于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为_______．
5.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（　　）(试题82页）
6.（2010山东潍坊）如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．(89页)
7.梯形中的对角线（88页）
8..如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】

(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
9如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NMD′等于
（A）144° （B）126° （C）108° （D）72°A
B
C
D
D′
C′
N
M
F
(第10题)

A
B
C
D
E
(F)
B
A
(F)
D
E
C
G
(第8题)
图2
图1
10.一副三角板按图1所示的位置摆放.将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为
(A) 75cm2
(B) cm2
(C) cm2
(D) cm2
例题：在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.

解（1）EG=CG EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)
（2）EG=CG EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°
∴四边形BEMC是矩形.
∴BE=CM，∠EMC=90°
又∵BE=EF
∴EF=CM
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG=FD=FG
∵BC=EM ，BC=CD
∴EM=CD
∵EF=CM
∴FM=DM
∴∠F=45°
又FG=DG
∵∠CMG=∠EMC=45°
∴∠F=∠GMC
∴△GFE≌△GMC
∴EG=CG ，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)
∵∠FMC=90° ，MF=MD， FG=DG
∴MG⊥FD
∴∠FGE+∠EGM=90°
∴∠MGC+∠EGM=90°
即∠EGC=90°
∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2分)
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