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解析几何的典型问题与分析

一．高考要求
1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了。
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0)，明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程:，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程(θ为参数）,明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法。
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线;掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
二主要内容
(一）直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用.
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6．掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。
（二）圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三．知识归纳
（Ⅰ)基础知识详析
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题， 1个填空题, 1个解答题）,共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。
（一)直线的方程
1。点斜式：；2。 截距式：；
3.两点式：;4. 截距式：;
5。一般式：，其中A、B不同时为0.
（二)两条直线的位置关系
两条直线，有三种位置关系：平行(没有公共点)；相交（有且只有一个公共点）;重合(有无数个公共点）。在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交.
设直线：=+，直线：=+，则
∥的充要条件是=,且=；⊥的充要条件是=—1.
（三）线性规划问题
1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数)达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数。
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
⑷满足线性约束条件的解（x，y)叫做可行解。
⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域。
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解。
2．线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到。
3.线性规划问题一般用图解法。
（四)圆的有关问题
1.圆的标准方程
（r＞0)，称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a,b),半径为r.
特别地，当圆心在原点（0,0），半径为r时，圆的方程为.
2。圆的一般方程
（＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为(，），半径为。
当=0时,方程表示一个点（，）；
当＜0时,方程不表示任何图形。
3。圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:
（θ为参数）
（θ为参数）
（五)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中,平面内动点与两定点、的距离的和大于｜|这个条件不可忽视。若这个距离之和小于||，则这样的点不存在;若距离之和等于|｜，则动点的轨迹是线段。
2.椭圆的标准方程:（＞＞0）,（＞＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上。
4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
（六）椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）。
⑴ 范围： —a≤x≤a，-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
⑶ 顶点:有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点。
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。它的值表示椭圆的扁平程度。0＜e＜1。e越接近于1时，椭圆越扁；反之,e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2。椭圆的第二定义
⑴ 定义:平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆。
⑵ 准线:根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为。对于椭圆（＞＞0）的准线方程,只要把x换成y就可以了，即。
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设（-c，0）,（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x,y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为,。
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便。
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件。
(七）椭圆的参数方程
椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）。
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角。椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换。
(八）双曲线及其标准方程
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于｜｜)的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜｜|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|｜,则动点的轨迹是两条射线；若2a＞｜|,则无轨迹.
若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支。而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值"。
2. 双曲线的标准方程：和(a＞0,b＞0）.这里，其中｜|=2c。要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同。
3。双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数,则焦点在x轴上；如果项的系数是正数,则焦点在y轴上。对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解。
(九)双曲线的简单几何性质
1。双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大,双曲线的开口越大.
2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
3。双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点)与到定直线（准线)距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.
在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
（十)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义:平面内到一定点（F）和一条定直线(l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
、、、.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0;
（2)对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
(3）顶点：O(0，0)，注:抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率:e=1,由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
(5）准线方程；
（6）焦半径公式:抛物线上一点P（x1，y1)，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1,y1）,B（x2,y2)，AB的倾斜角为α，则有①｜AB｜=x+x+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求.
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0,当a≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时，直线和抛物线相交,但只有一个公共点。
(十一）轨迹方程
⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.

（十二）注意事项
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0,b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程,而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式。
⑷当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算。
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上,还是两种都存在.
⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆。
⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解。
⑷双曲线的渐近线方程为或表示为。若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
⑸双曲线的标准方程有两个和（a＞0，b＞0）。这里，其中｜｜=2c。要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.
（Ⅱ）2006年高考题例
1．（2006年福建卷）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 （ C )
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
2．（2006年安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：椭圆的右焦点为(2，0）,所以抛物线的焦点为(2,0）,则,故选D。
3．(2006年广东卷）已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于
A. B。 C. 2 D.4
3．依题意可知 ，，故选C.
4．（2006年陕西卷）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 （D)
(A）　　　　(B）　　　　（C）　　　　（D)2
5．(2006年上海春卷）抛物线的焦点坐标为（ B )
（A）. （B）. （C）. （D）。
6．（2006年上海春卷）若，则“”是“方程表示双曲线"的( A ）
(A）充分不必要条件。 （B）必要不充分条件。
（C）充要条件。 （D）既不充分也不必要条件。
7．（2006年全国卷II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 (C ）
（A）2 (B）6 （C)4 (D）12
8．(2006年全国卷II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为 （A )
（A) (B） （C) (D）
9．（2006年四川卷）已知两定点，如果动点满足,则点的轨迹所包围的图形的面积等于（B）
(A） （B） （C） （D）
10．(2006年四川卷）直线与抛物线交于两点,过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（A）
（A) （B） （C) (D)
11．（2006年四川卷）如图，把椭圆的长轴
分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部
分于七个点，是椭圆的一个焦点，
则________________；
12．（2006年天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为、,一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ C )
A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D．
13．（2006年湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点,点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是(D）
A。 B。
C. D。
14．解选D.由及分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知，
，,由点与点关于轴对称知，,=，则.
15．(2006年全国卷I)双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
A． B． C． D．
15．一看带参,马上戒备：有没有说哪个轴是实轴?没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+"，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+"，所以这个双曲线是“立”着的.接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线,“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是或（)，题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变成.由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4。即,所以.选A。当然,我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来
这个题的形式我们见的真是太多了，总结起来八个字：“没有坡度，只有陷阱”.也就是说，题目本身并不很难，但是它总在视觉上（不是知识上，是视觉上）给人挖“坑儿”。一般情况下，“坑儿”有三种：⑴ 不声明曲线是站着的还是躺着的；⑵ 该写在分母上的不往分母上写；⑶ 该写成平方形式的不写成平方。
仔细品味这个题,选择支的选项并没有出现“"或“”这样的支项，也就是说第⑶点并没有考察；第⑴点有所涉及,但似乎故意做了淡化，C、D选项几乎是用眼睛扫一下就排除了；主要考察的还是第⑵点。如果题目干项中将“”改成“（t为非零常数）”，同时支项中出现“2”、“"这样的干扰项，那就三点兼顾了。
值得一提的是，在二次曲线中，还有一个“坑儿”需要引起注意：那就是“轴和半轴"、“距和半距”。例如：椭圆中，是半长轴而非长轴，是半焦距而非焦距。
这些问题虽然很小，但同时也是眼高手低者们（包括我在内）比较爱犯的通病.我个人认为，这个题其实是用来考察非智力因素的：就看细心不细心。
16．（2006年全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是
A． B． C． D．
16．抛物线上任意一点（,）到直线的距离。因为，所以恒成立。从而有，。选A。
17．（2006年全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接,但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为
A． B． C． D．
17．我们普遍了解这样一个事实：在周长一定的n边形中，正n边形面积最大.或许这个东西有点超纲，但是请原谅，我一时半会想不出用教材上的办法来解决此题.
当n = 3时，这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释：
设三角形△ABC的周长l为定值,角A、B、C分别对应三边a、b、c。
先固定B、C两点，则b + c 是定值，这意味这点A在B、C为焦点的椭圆上（去除俩长轴端点），当A为椭圆的短轴端点时，A到线段BC的距离最远，此时△ABC为等腰三角形，满足b = c。①
假若，我们再固定A、C两点，再次调整点B的位置。由 ① 我们知道,时，△ABC面积最大。所以:，即（a，b）.或者换句话说,在数轴上，点对应的点被a、b分别对应的两个点“夹逼”着.无论是用代数语言还是几何语言,我们都能得到结论:再次调整后.②
只要类似于①、② 的调整我们可以一直进行，每进行一次,三角形的三边就“接近一次”，直到三边长最接近。最接近的情况当然是正三角形。
（以上只是感性理解，并不代表证明。）
按照我们所普遍了解的事实，调整3个边尽可能的相等:7，7，6
此时三角形面积为：。选B。
18．（2006年江西卷）设O为坐标原点,F为抛物线y2＝4x的焦点,A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是(B ）
A．（2，±2） B。 （1，±2） C.（1，2）D。(2,2)
解:F(1,0）设A（，y0）则＝（ ,y0），＝（1－，－y0)，由
· ＝－4Þy0＝±2，故选B
19．（2006年江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5)2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN|的最大值为( D ）
A. 6 B.7 C.8 D。9
解:设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时
|PM｜－｜PN｜＝(｜PF1｜－2）－（｜PF2|－1）＝10－1＝9故选B
20．（2006年辽宁卷)曲线与曲线的
（A)焦距相等 (B) 离心率相等 （C)焦点相同 （D）准线相同
【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆,由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响.
21．（2006年辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【解析】将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个,故选择答案D.
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
22．（2006年上海卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
23．（2006年上海卷）若曲线＝|｜＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是 =0，—1〈〈1 ．
24．（ 2006年浙江卷）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的,则= （ C)
（A) (B) (C) （D)
25. （ 2006年湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且｜AB｜=｜BC｜，则双曲线M的离心率是 （ A )
A. B. C。 D。
26．(2006年山东卷)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (B)
(A) （B) (C） （D)
27．（2006年山东卷）某公司招收男职员x名，女职员y名,x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是 （C）
(A）80 （B） 85 (C） 90 （D）95
28．(2006年山东卷)已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 .
29．(2006年山东卷）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线。
（1） 求双曲线C的方程;
（2） 过点P(0，4）的直线，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当,且时,求Q点的坐标。
29。（1) ;（2） 。
30．(2006年福建卷) 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

30．本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分12分。
解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上。
设则圆半径

由得
解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点
则
的垂直平分线NG的方程为
令得

点G横坐标的取值范围为
31．(2006年安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方,M为左准线上一点，为坐标原点.已知四边形为平行四边形,.
O
F
x
y
P
M
第22题图
H
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程.
解：∵四边形是，∴,作双曲线的右准线交PM于H,则，又，。
（Ⅱ）当时,，，，双曲线为四边形是菱形,所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：,
又，由得：，解得，则,所以为所求。
32． （ 2006年重庆卷）已知一列椭圆Cn:x2+=1。 0＜bn＜1,n=1,2。。若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是|PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点。
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1）;
（Ⅱ)取bn＝,并用SA表示PnFnGn的面积，试证:S1＜S1且Sn＜Sn+3 （n≥3）。
图(２２）图
证：（1)由题设及椭圆的几何性质有

设

因此，由题意应满足

即
即,
从而对任意
（Ⅱ）设点

得两极，从而易知f(c）在（，）内是增函数,而在（，1)内是减函数.
　　　现在由题设取是增数列。又易知

故由前已证,知
33．（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为。 观测点同时跟踪航天器.
(1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
（2）试问:当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令?

33。 ［解]（1）设曲线方程为，
由题意可知，.
。 ……4分
曲线方程为. ……6分
（2）设变轨点为，根据题意可知
得 ，
或(不合题意,舍去）。

。 ……9分
得 或(不合题意，舍去). 点的坐标为， ……11分
.
答：当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出变轨指令。 ……14分
34．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点,且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
(Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ)的表达式,并求S的最小值．
21．解：(Ⅰ)由已知条件，得F（0，1），λ＞0．
设A(x1，y1）,B（x2，y2）．由＝λ，
即得　　(－x1，1－y)＝λ（x2，y2－1）,

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ,y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4,
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1）＋y1，y＝x2(x－x2）＋y2，
即y＝x1x－x12,y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为（，)＝（,－1）． ……4分
所以·＝（，－2)·（x2－x1，y2－y1）＝(x22－x12）－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0．　　　……7分
（Ⅱ)由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB,因而S＝|AB|｜FM｜．
|FM｜＝＝
＝
＝＝＋．
因为｜AF｜、｜BF｜分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB｜＝|AF|＋|BF｜＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋）2．
于是　　S＝|AB｜|FM|＝(＋）3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
35．（2006年四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力.满分12分。
解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知
故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点,有
解得
又∵

依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设,由已知，得
∴，
又，
∴点
将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为
∴的面积
36．(2006年全国卷I）在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量.求：
（Ⅰ)点M的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值。
36．解：(I）根据题意，椭圆半焦距长为,半长轴长为，半短轴长,即椭圆的方程为。
设点P坐标为（，）（其中)，则
切线C的方程为：
点A坐标为：（,0）,点B坐标为（0，）
点M坐标为：（,)
所以点M的轨迹方程为：(且）
（II）等价于求函数 (其中)的最小值

当时等号成立，此时即.
因此，点M坐标为（,）时，所求最小值为。

37．（2006年江苏卷）已知三点P（5，2)、（－6，0）、（6，0）。
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ)设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：（I)由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
， ∴,
，故所求椭圆的标准方程为+;
（II）点P（5,2)、（－6,0)、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为:
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为—，由题意知半焦距,
， ∴，
,故所求双曲线的标准方程为-。
点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力
38。 （2006年湖北卷）设、分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线.
（Ⅰ)求椭圆的方程;
（Ⅱ)设为右准线上不同于点（4，0)的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、,证明点在以为直径的圆内。
（此题不要求在答题卡上画图）
38．点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解:(Ⅰ）依题意得 a＝2c,＝4,解得a＝2，c＝1，从而b＝。故椭圆的方程为 .
(Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2,0).设M(x0，y0）.
∵M点在椭圆上,∴y0＝(4－x02）。
又点M异于顶点A、B，∴－2〈x0<2，由P、A、M三点共线可以得
P(4,）. 从而＝（x0－2，y0)，＝（2,)。
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.
将代入,化简得·＝（2－x0).
∵2－x0>0，∴·〉0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内.
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0）,B（2，0）。设M(x1,y1)，N（x2，y2）,
则－2<x1<2，－2<x2<2,又MN的中点Q的坐标为（，），
依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
－＝（－2）2＋()2－[（x1－x2）2＋（y1－y2)2]
＝（x1－2） （x2－2)＋y1y1
又直线AP的方程为y＝,直线BP的方程为y＝,
而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，
∴，即y2＝
又点M在椭圆上,则，即
于是将、代入，化简后可得－＝。
从而,点B在以MN为直径的圆内。
39．（2006年江西卷)如图，椭圆Q:(a>b>0）的右焦点F(c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点
（1） 求点P的轨迹H的方程
（2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q£ ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远,此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大?
39．解：如图,（1）设椭圆Q：(a>b>0）
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y),则

1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2,
由（1）－（2）得
b2(x1－x2)2x＋a2（y1－y2）2y＝0

\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………(3)
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l
的距离为，由于c2＝a2－b2,a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q£）
则＝＝2sin（＋）
当q＝时,上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1,D(2，0），|DF｜＝1
设椭圆Q：上的点 A（x1,y1）、B（x2，y2),三角形ABD的面积
S＝|y1｜＋｜y2｜＝｜y1－y2｜
设直线m的方程为x＝ky＋1,代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0
由韦达定理得y1＋y2＝,y1y2＝，
4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝
令t＝k2＋1³1，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。
因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大.
40．（2006年天津卷）
如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
(1)证明,并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
40．；略．
41．（2006年辽宁卷）已知点，是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量，满足.设圆的方程为

（I) 证明线段是圆的直径；