解析几何典型题及方法复习讲解.doc

个人收集整理 勿做商业用途2011年解析几何典型题及方法复习讲解富源县第一中学高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题， 1个填空题, 1个解答题）， 共计30分左右， 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点， 全面考查. 选择题和填空题考查直线， 圆, 圆锥曲线， 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接， 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系， 求解有时还要用到平几的基本知识， 这点值得考生在复课时强化. 一、圆锥曲线的几类基本习题 一。 弦的中点问题 具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 例1 给定双曲线。过A（2，1)的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 . 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 。 又， 代入得。 当弦斜率不存在时,其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。 例2 已知椭圆，通过点（1，1）引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。 略解：有，代入得0，得。 从而直线方程是. 此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法.二。 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点、构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 例3 设P(x，y)为椭圆上任一点，,为焦点，。 （1)求证离心率； （2）求的值; （3）求的最值。 分析:（1）设，由正弦定理得. 得 ， . （2），采用合分比定理得 ， . （3）。 当时，最小值是； 当时，最大值是.三。 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内. 例4 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围,使得对于直线,椭圆C上有不同两点关于直线对称. 分析：椭圆上两点，代入方程，相减得. 又，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有 。 得。 例5 为了使抛物线上存在两点关于直线对称,求m的取值范围. 略解：两点所在直线与联立求出交点，代入抛物线内,有，解得。四。 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理。 例6 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图)。 （1）求的取值范围; （2）直线的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直. 分析：(1）直线代入抛物线方程得， 由，得. （2）由上面方程得， ，焦点为. 由,得，或 。 例7 经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。 分析：左焦点F(1，0）， 直线y=kx代入椭圆得, ， 。 由AF知。将上述三式代入得，或.二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题 基本知识点: （1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。 (2）注意韦达定理的应用。 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1），B（x2，y2)则 （3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用. (4）有关中点弦问题 有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。 (5）有关圆锥曲线的对称问题 这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称,关于直线y=x+b对称。 （6）圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 1若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 0）.过动点M（a，0)且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B （2)若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N,试求三角形MNQ的面积。 解： （2)设Q（x3，y3)由中点坐标公式得 又三角形MNQ为等腰直角三角形 例2. 线过C、D、E三点,且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。（2000年，全国高考) 解:以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴，因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。 h是梯形的高。 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为 由点C、E在双曲线上,得 小结:此题涉及解析几何的最根本问题:如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查,坐标系是一种工具，如果用得好,可以给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言,可从对称的角度去考虑。 例3。 (1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OAOB,求p关于t的函数f（t）的表达式。 值范围.（1997年上海高考） （1）证明：抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点(t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x1，y1),点B(x2，y2） （3）解： 例4。 (1）求椭圆方程； (2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分,若存在，求出l的倾斜角的范围;若不存在，请说明理由。 （1）解: 把（2）代入(1)式中得： 例5。 点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，1），且椭圆的离心率e与双曲线离心率e1之间满足ee1=1， (1）求椭圆E的离心率e; （2）求双曲线C的方程。 解：(1）因为点M(2，1)，点N（4，1) (2)因为ee1=1 设双曲线C上一点P（x，y） 化简得双曲线C的方程： 例6。 已知抛物线y2=x上有一条长为l的动弦AB,求AB的中点M到y轴的最短距离. 解:设中点M的坐标为(x，y），利用对称性可设A(x+u，y+v)，B(x-u，y-v），依题意有 将（4)（5)代入（3）得: 此即M点的方程 三、解析几何中减少计算量的常用方法 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明。一。 充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量. 例1。 已知直线及,求它们所围成的三角形的外接圆方程。 解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直,即此三角形为直角三角形。 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B(8，8）为直径端点的圆，其方程为 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。 例2。 已知点P（5，0）和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 解：点M是弦AB中点,点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为,半径为,所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，即,所以所求的轨迹方程为 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上,而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 例3. 求与轴相切，圆心在直线上,且被直线截得的弦长等于的圆的方程。 解：因圆心在直线上，故可设圆心 又圆与轴相切， 此时可设圆方程为 （运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少,这对简化计算很有帮助.） 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形,只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得. 弦心距 ，解得 当时，圆方程为 当时,，圆方程为 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。 例4。 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值. 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求。 评注：此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上,而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。二. 充分利用韦达定理及“设而不求的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 例5. 已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程. 解:设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上, 把(1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2)代入，得，解得或 代入(4)后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算. 例6。 若双曲线方程为,AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为,则 解：设A（),B（）则M（） 又A、B分别在上，则有 由得， 即， 评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算. 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 例7。 求经过两已知圆和0的交点,且圆心在直线：上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为: 即， 其圆心为C（） 又C在直线上，解得，代入所设圆的方程得为所求。 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。四、线段长的几种简便计算方法 近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长.若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索,找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。一。 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是： 把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程,方程的两根设为,判别式为，则。记住了结果 ，在计算中，直接代,就能减少配方、开方等运算过程。 例1 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 解：把代入椭圆方程得到。 ， 则。二. 结合图形的特殊位置关系,减少运算 1. 求直线与圆的相交弦 因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一,可用下面的方法，使运算简单。 设直线方程为，圆的方程为，圆心为，直线与圆相交于A、B，圆心到直线的距离为，则. 例2 求圆截得直线的线段长. 解:由原方程得，圆心为（-1，-2），则,从而截得线段长。 2。 求过圆锥曲线焦点的弦 圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例3 如图1，、是椭圆的两个焦点,AB是经过的弦，若，则_。 解：由定义可知， ， 则。 又由图可知， 因此。 注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果. 3。 运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算 例4 已知圆F的方程，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，设的倾斜角为，当为何值时,线段，成等差数列。 解：依题意知圆心F(0，1），半径为1，抛物线的方程：， （如图2）。 成等差数列, ， 即，。 设的方程为：,代入得. 由， 解得， 故或。 注：如果此题直接计算三段,的长，而不结合图形得关系式,会加大运算量.三。 将二元运算转化为一元运算，可简化运算 1。 用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间的距离 例5 直线与轴不垂直，与抛物线交于A、B两点,与椭圆交于C、D两点，与轴交于点，若,求的范围。 解:设直线的方程为，又设、. 由, 得到。 当 ， （1） 由韦达定理得 , 由 得到。 （2） 有。 要使，只需AB的中点与CD的中点坐标相同即可。由，得 （3） 把（3）分别代入（1）、(2）可求得的范围为（2，1）。 注:此题如果不转化，就找不到关系,花费再多时间都难以解出. 2。 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例6 点A（3，2）为定点,点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动,若取得最小值，求点P的坐标。 解:抛物线的准线方程为，设P到准线的距离为，则=。要使取得最小值,由图3可知过A点的直线与准线垂直时，取得最小值，把代入，得P（1，2)。四. 利用直线参数方程的几何意义，简便运算 利用直线参数方程的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长. 例7 过点A（2，4)引倾斜角为的直线交抛物线于两点，若成等比数列，求P的值。 解：设直线的参数方程为 代入得 ， , 。 由参数的几何意义，得，,. 根据题意得, ， ，于是,即，又，得。五. 利用极坐标，简便运算 在过原点的几条线段成一定角的关系中,用极坐标会使运算简便。 例8 P、Q是双曲线上的两点，若，求证:为定值。 解：将代入 , 有。 设，为定值。 上面五种方法及例证充分说明，灵活掌握求线段长的简便算法,会加快你的解题速度，从而提高数学成绩，以利高考。五、典型例题 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.（1）写出直线的方程; （2)计算出点P、Q的坐标; (3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 显然, 于是 直线的方程为; （2）由方程组解出 、； （3）, . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.需要注意的是， Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗？例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程， 由已知,直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后，得关于的一元二次方程 于是其判别式由已知，得=0即 在直线方程中,分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为(x，y）, 由已知，得 代入式并整理，得 ， 即为所求顶点P的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗？ 例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 讲解：（1）原点到直线AB：的距离。 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则 即故所求k=。为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，ABF2的面积最大值为12 (1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程 讲解：（1)设, 对 由余弦定理， 得 ,解出 （2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况: i） 当k存在时,设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 。则x1、x2是上述方程的两根且，也可这样求解: ，AB边上的高 ii) 当k不存在时,把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出本题的另一解法，请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：(这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思。)椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得：于是是上述方程的两根。,AB边上的高,从而 当且仅当m=0取等号，即 由题意知, 于是 . 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 例5 已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上。（）求此椭圆的离心率;（2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.讲解：（1)设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理，得 线段AB的中点坐标为（). 由已知得 故椭圆的离心率为 . （2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 故所求的椭圆方程为 .例6 已知M：轴上的动点，QA,QB分别切M于A,B两点，（1)如果，求直线MQ的方程;（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解：(1)由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中, ， 故, 所以直线AB方程是(2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（）及（*）消去a，并注意到，可得适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙。 例7 如图，在RtABC中，CBA=90，AB=2，AC=。DOAB于O点，OA=OB,DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持 PA |+| PB |的值不变.（1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;(2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设, 试确定实数的取值范围讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 。 | PA |+| PB =| CA + CB | y C =A O B动点P的轨迹是椭圆 。 曲线E的方程是 . (2)设直线L的方程为 ， 代入曲线E的方程，得 设M1（, 则 i) L与y轴重合时， ii） L与y轴不重合时， 由得 又, 或 01 ， 。 而 , ，的取值范围是 . 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕。 例8 直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点。 （1）求证：； （2）求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线。 讲解： (1）易求得抛物线的焦点。 若lx轴,则l的方程为。若l不垂直于x轴，可设，代入抛物线方程整理得 。 综上可知 .（2)设，则CD的垂直平分线的方程为假设过F，则整理得 ，。 这时的方程为y=0,从而与抛物线只相交于原点。 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合,l不是CD的垂直平分线。此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例9 某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,PB=150m，APB=60，试说明怎样运土石最省工？讲解： 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M,则 MA|+|AP=MB+|BP|,即 |MA|MB|=BP|AP|=50,，M在双曲线的右支上。故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工。相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？解析几何解答题在历年的高考中常考常新， 体现在重视能力立意, 强调思维空间， 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合， 分类讨论, 函数与方程等数学思想， 以及定义法， 配方法, 待定系数法， 参数法, 判别式法等数学通法。六、高考解析几何解答题的类型与解决策略.求曲线的方程1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决.例1 （1994年全国）已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（1，0)和点B（0，8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法.设出它们的方程，L:y=kx(k0)，C:y2=2px（p0）。设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p,得：k2k1=0。解得：k=，p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x。例2 （1993年全国）在面积为1的PMN中，tanM=,tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。分析:此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给M O N xPy定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系.为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。2曲线的形状未知-求轨迹方程 例3 （1994年全国）MNQO已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1， 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析:如图,设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是:P=M|MN|=MQ|,由平面几何知识可知：MN2=MO|2|ON|2=MO|2-1，将M点坐标代入，可得：（2-1)(x2+y2）-42x+（1+42)=0。当=1时它表示一条直线；当1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。O A xBC例4 （1999年全国）给出定点A（a,0）（a0）和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。分析：设C(x，y）,B(-1,b)。则直线OB的方程为：y=bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以 y2(1-a）x2-2ax+(1+a）y2=0若，y0，则（1a)x2-2ax+（1+a)y2=0（0xa);若y=0,则b=0，AOB=180,点C的坐标为(0，0），也满足上式.所以，点C的轨迹方程为（1-a)x2-2ax+（1+a）y2=0(0xa)。当a=1时,方程表示抛物线弧；当0a1时，方程表示双曲线一支的弧。一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。例5 （1995年全国）已知椭圆和直线L：，P是直线L上一点,射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足OQ OP|=|OR|2,当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。分析:设Q（x,y)，P（xP,yP）,R（xR,yR), 则，代入，得：(x-1)2+（y-1）2=1.注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子可用|x| xP=xR2代替，这样就简单多了。研究圆锥曲线有关的问题1有关最值问题例6 （1990年全国)设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上,离心率,已知点P(0,）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。分析：最值问题，函数思想.关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数,然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为,则由e=得:a2=4b2，所以x2=4b2-4y2。设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则：PQ|=(-byb）.若b,则-b,当y=b时|PQ|max=.解得：b=-与b矛盾；若b，则当y=时|PQmax=，解得:b=1，a=2.2有关范围问题例7 （2001春季高考题）已知抛物线y2=2px（p0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，AB2p.（1）求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围，即：“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想。解：（1）直线L的方程为:y=x-a,将y=xa 代入抛物线方程y2=2px，得:设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2，y2)，则,又y1=x1-a，y2=x2a， 解得:（2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：,所以|QM2=(a+pa)2+（p-0）2=2p2。又MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=QN|=，所以SNAB=,即NAB面积的最大值为2。例8 （1992年高考题）已知椭圆，A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0)，证明：。分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-axa，因此问题转化为寻求x0与x的关系.由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP=|BP，若设A（x1,y1）,B(x2,y2），则有：（x1x0)2-y12=(x2x0)2y22,因为点A、B在椭圆上，所以，,从而由ax1a，-ax2a,可得：例9 （2000年高考题)已知梯形ABCD中，|AB=2CD，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时,求双曲线离心率e的取值范围。A O B xDCyE分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。解：如图建立坐标系，这时CDy轴，因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A（C,0),C（h），E（x0，y0),其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高.由，即（x0+c，y0)= (x0，h-y0）得:x0=.设双曲线的方程为，则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得将(1)式代入(2）式,整理得(44)=1+2,故=1。依题设得,解得.所以双曲线的离心率的取值范围是.例10 已知抛物线y2=2px (p0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。分析:解决本题的关键是找到关于p的不等式。设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M（x1，y1）、N（x2，y2)，设直线MN的方程为y=x+b。代入抛物线方程，得：x2+（2b-2p)x+b2=0。则x1+x2=2p2b,y1+y2=（ x1+x2)+2b=2p。则MN的中点P的坐标为 （pb，p)。因为点P在直线x+y=1上,所以2p b=1,即b=2p1。又=(2b2p）2-4b2=4p28bp0,将b=2p-1代入得：4p28p(2p1)0,3p22p0。解得:0p。是否存在常数a、b、c，使函数f（x）=满足下列条件:（1)函数f(x)是奇函数;（2）；f(1)f（3） ；(3）不等式0f(x）的解集是-2,12，4?若存在,则求出不等式f(-2+sin) m对任意R恒成立的实数m的取值范围；若不存在，说明理由。解:由函数f（x）是奇函数得:b=0.又不等式0f(x）的解集是2,-12，4，所以2、1、2、4是程f（x)=0与f(x）=的根，从而：，解得:a=2，c=-4，故: