资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点P(－1，4)在反比例函数的图象上，则k的值是( )
A． B． C．4 D．－4
3．如图，中，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为则图中涂色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）．
A．-1 B．2 C．-1或2 D．-1或2或1
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是( )
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近
7．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，是弦，点是劣弧（含端点）上任意一点，若，则的长不可能是（ ）
A．4 B．5 C．12 D．13
9．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（ ）
A．点B在⊙A上 B．点B在⊙A外 C．点B在⊙A内 D．不能确定
10．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O，且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线的对称轴是________．
12．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A、A、…、A在y轴的正半轴上，点B、B、B、…、B在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都为等边三角形，则△ABA的边长＝____________．
13．若二次函数的图像与轴只有一个公共点，则实数_______．
14．像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+2＝x2，解得x1＝2，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝2时，＝2满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝2．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____．
15．一棵参天大树，树干周长为3米，地上有一根常春藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高，那么这根常春藤至少有____米．
16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．
17．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是____．（用“＜”连接）
18．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．
三、解答题(共66分)
19．（10分）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=1．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
20．（6分）如图,在小山的东侧处有一一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达处，这时气球上的人发现,在处的正西方向有一处着火点，5分钟后，在处测得着火点的俯角是15°，求热气球升空点与着火点的距离．(结果保留根号,参考数据: )
21．（6分）如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点F，使A、E、C、F为顶点的四边形面积为6？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
22．（8分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B,
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．
23．（8分）根据2019年莆田市初中毕业升学体育考试内容要求，甲、乙、丙在某节体育课他们各自随机分别到篮球场A处进行篮球运球绕杆往返训练或到足球场B处进行足球运球绕杆训练，三名学生随机选择其中的一场地进行训练．
（1）用列表法或树形图表示出的所用可能出现的结果；
（2）求甲、乙、丙三名学生在同一场地进行训练的概率；
（3）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处场地进行训练的概率．
24．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)过点M(-2，3)，顶点坐标为N(-1，4)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当PM+PB的值最小时，求点P的坐标；
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．
26．（10分）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图1，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交、于点、.求证：.
图1 图2
（1）本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程.
（2）如图2，若点和点在的两侧，、的延长线交于点，的延长线交于点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
2、D
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征，将P（﹣1，1）代入反比例函数的解析式(k≠0)，然后解关于k的方程，即可求得k=-1．
【详解】解: 将P（﹣1，1）代入反比例函数的解析式(k≠0)，
解得: k=-1．
故选D．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，掌握求解步骤正确计算是本题的解题关键.
3、A
【分析】先根据勾股定理得到AB，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是．
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴，
∴，
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．
4、D
【分析】当a-1＝0，即a＝1时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a﹣1≠0时，利用判别式的意义得到，再求解关于a的方程即可得到答案．
【详解】当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数y＝-4x+2，它与x轴有一个交点；
当a﹣1≠0时，根据题意得
解得a＝-1或a＝2
综上所述，a的值为-1或2或1．
故选：D．
【点睛】
本题考察了一次函数、二次函数图像、一元二次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的性质，从而完成求解．
5、B
【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．
故选B．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．
6、D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【详解】投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近．
故选：D．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
7、A
【解析】试题分析：根据∠ABD的度数可得：弧AD的度数为110°，则弧BD的度数为70°，则∠BCD的度数为35°.
考点：圆周角的性质
8、A
【分析】连接AC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用勾股定理得到AC=5，则5≤AP≤1，然后对各选项进行判断．
【详解】解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴,
∵点P是劣弧（含端点）上任意一点，
∴AC≤AP≤AB，
即5≤AP≤1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
9、C
【分析】根据题意确定AC＞AB，从而确定点与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵点C为线段AB延长线上的一点，
∴AC＞AB，
∴以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为点B在⊙A内，
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是点与圆的位置关系，根据题意确定出AC＞AB是解此题的关键．
10、C
【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．
【详解】∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E'F'O，∴点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选C．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝−计算．
【详解】抛物线y＝2x2＋24x−7的对称轴是：x＝−＝−1，
故答案为：x＝−1．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝−是解题的关键．
12、1
【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=x2中，求a、b、c的值，得出规律．
【详解】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c,
在正△A0B1A1中，B1（a，），
代入y=x2中，得=×a2，解得a=1，即A0A1=1，
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入y=x2中，得1+=×b2，解得b=2，即A1A2=2，
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入y=x2中，得3+=×c2，解得c=3，即A2A3=3，
…
依此类推由此可得△A2017B1A1的边长=1，
故答案为： 1．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
13、1
【分析】二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则，据此即可求得．
【详解】解：中，，，，
，
解得：.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与x轴的交点个数．＞0时，抛物线与x轴有2个交点；＝0时，抛物线与x轴有1个交点；＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14、x＝﹣1
【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x，
两边平方，得
x+5＝1﹣2x+x2，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
检验：x＝4时，4+＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解，
当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．
15、25
【分析】如下图，先分析常春藤一圈展开图，求得常春藤一圈的长度后，再求总长度．
【详解】如下图，是常春藤恰好绕树的图形
∵绕5圈，藤尖离地面20米
∴常春藤每绕1圈，对应的高度为20÷5=4米
我们将绕树干1圈的图形展开如下，其中，AB表示树干一圈的长度，AC表示常春藤绕树干1圈的高度，BC表示常春藤绕树干一圈的长度
∴在Rt△ABC中，BC=5
∴常春藤总长度为：5×5=25米
故答案为：25
【点睛】
本题考查侧面展开图的运算，解题关键是将题干中的树干展开为如上图△ABC的形式．
16、．
【解析】试题分析：根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
试题解析：连接AB，
由画图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
考点：1．特殊角的三角函数值；2．等边三角形的判定与性质．
17、r3 ＜r2 ＜r1
【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.
【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径
∴r3 ＜r2 ＜r1
故答案为：r3 ＜r2 ＜r1
【点睛】
本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.
18、1
【解析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．
【详解】由图可得，
第1个图象中〇的个数为：，
第2个图象中〇的个数为：，
第3个图象中〇的个数为：，
第4个图象中〇的个数为：，
……
∴第2019个图形中共有：个〇，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）99或2．
【解析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【详解】（1）证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除；
（2）设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=2．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或2．
【点睛】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
20、．
【分析】过D作DH⊥BA于H，在Rt△DAH中根据三角函数即可求得AH的长，然后在Rt△DBH中，求得BH的长，进而求得BA的长．
【详解】解：由题意可知AD=（30+5）×28=980，
过D作DH⊥BA于H．
在Rt△DAH中，DH=AD•sin60°=980×=490，
AH=AD×cos60°=980×=490，
在Rt△DBH中，BH==490×（2+）=1470+980，
∴BA=BH-AH=（1470+980）-490=980（1+）（米）．
答：热气球升空点A与着火点B的距离为980（1+）（米）．
【点睛】
本题主要考查了仰角和俯角的定义，一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算．
21、（1）抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点坐标（-1，4）；（2）存在点F（-1-，-1）
【分析】（1）要求抛物线y=-x2+bx+c的解析式，由于b与c待定，为此要找抛物线上两点坐标，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，且直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，让x=0，求y值，让 y=0，求x的值A、B两点坐标代入解析式，利用配方变顶点式即可，
（2）使A、E、C、F为顶点的四边形面积为1，AC把四边形分为两个三角形，△ACE，△ACF，由抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点A、C两点，y=0，可求A、C两点坐标，则AC长可求，点E在直线y=x+3上，由在对称轴上，可求，设第三象限抛物线上的点纵坐标为-m，S四边形AECF=，可求F点的纵坐标-m，把y=-m代入抛物线解析式，求出x即可．
【详解】（1）已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴当x=0时，y=3，B（0，3），
∴当y=0时，x+3=0，x=-3，A（-3，0），
抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，
A、B两点坐标代入解析式，
解得，
抛物线y=-x2-2x+3，
抛物线y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
抛物线顶点坐标（-1，4），
（2）使A、E、C、F为顶点的四边形面积为1，
抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点A、C两点，
y=0，-x2-2x+3=0，解得x=1或x=-3，A（-3，0），C（1，0），
点E在直线y=x+3上，当x=-1时，y=-1+3=2，
设第三象限抛物线上的点纵坐标为-m，
S四边形AECF= S四边形AECF=，AC=4，
2+m=3，m=1，
当y=-1时，-1=-x2-2x+3，
x=-1±，
由x<0，
x=-1-，
点F（-1-，-1），
故存在第三象限内的抛物线上点F（-1-，-1），使A、E、C、F为顶点的四边形面积为1．
【点睛】
本题考查抛物线解析式，顶点以及四边形面积问题，确定抛物线上两点确保，会利用一次函数求两轴交点坐标，会利用配方法把抛物线解析式变为顶点式，会利用AC把四边形分成两个三角形求面积来解决问题．
22、（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）4.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可
【详解】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°，
又∵∠EDF=∠B，
∴∠BFD=∠CDE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴△BDF∽△CED．
∴．
∵BD=CD，
∴，即．
又∵∠C=∠EDF，
∴△CED∽△DEF．
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=1．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣3，
∴AD=2．
∴S△ABC=•BC•AD=×3×2=42，
S△DEF=S△ABC=×42=3．
又∵•AD•BD=•AB•DH，
∴．
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD．
∵DH⊥BF，DG⊥EF，
∴∠DHF=∠DGF．
又∵DF=DF，
∴△DHF≌△DGF（AAS）．
∴DH=DG=．
∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=3，
∴EF=4．
【点睛】
本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．
23、（1）共有8种可能；（2）；（3）
【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况即可；
（2）看3人在同一场地进行训练的情况数占总情况数的多少即可；
（3）看至少有两人在处场地进行训练的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
（1） 由上树状图可知甲、乙、丙三名学生进行体育训练共有8种可能，
（2）所有出现情况等可能，其中甲、乙、丙三名学生在同一场地进行训练有2种可能并把它记为事件A，则P(A)=
(3) 其中甲、乙、1丙三名学生中至少有两人在B处场地进行训练有4种可能并把它记为事件B，则P（B）=
【点睛】
此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）二次函数的解析式为：；（2）点P的坐标为(-1，2)
【分析】（1）把顶点N的坐标和点M的坐标代入计算，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出点A、B的坐标，连接AM，与对称轴相交于点P，求出直线AM的解析式，即可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图象过点M(-2，3)，顶点坐标为N(-1，4)，得到关于a、b、c的方程组：
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴二次函数的解析式为：.
（2）如图：连接AM，与对称轴相交于点P，连接BP，
∵抛物线与x轴相交于点A、B，则点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA=PB，
∴PM+PB的最小值为PA+PM=AM的长度；
∵，令y=0，则
∴，
∴，，
∴点A的坐标为：（1，0），
∵点M的坐标为（2，3），
∴直线AM的解析式为：，
当x=时，y=2，
∴点P的坐标为（1，2）；
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，一次函数的性质，待定系数法求解析式，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到点P的坐标．
25、（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣）；（3）点P（2，﹣3），最大值为12
【分析】（1）用交点式设出抛物线的表达式，化为一般形式，根据系数之间的对应关系即可求解；
（2）根据（1）中的表达式求出点C（0，-3），函数对称轴为：x=1，则点D（2，-3），点E（4，-3），当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，点P在线段DE的中垂线上，据此即可求解；
（3）求出直线BC的表达式，设出P、H点的坐标，根据四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP进行计算，化为顶点式即可求解．
【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
即﹣2a＝﹣，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）当x=0时，y=-3，故点C的坐标为（0，﹣3），
函数对称轴为：x＝=1，
∵CE∥AB
∴点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），
则DE的中垂线为：x＝＝3，
当x＝3时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，
故点P（3，﹣）；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：
解得：
∴直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
故点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3）；
四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝3×6+HP×OB＝9+×4×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9= ，
∵﹣＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，掌握中点坐标公式及作辅助线的方法是关键．
26、（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）如图1中，延长CD交⊙O于H．想办法证明∠3=∠4即可解决问题．
（2）成立，证明方法类似（1）．
（3）构建方程组求出BD，DF即可解决问题．
【详解】（1）延长交于；
∵为直径，
∴.
∵
∴
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
∴
（2）成立；
∵为直径，
∴.
∵
∴
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
∴
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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