资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（ ）
A．S的值增大 B．S的值减小
C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变
2．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，，是线段上一动点（点不与点重合），当是等腰三角形时，（ ）
A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
4．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
…
0
1
2
…
…
…
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．已知抛物线（其中是常数，）的顶点坐标为．有下列结论：
①若，则；
②若点与在该抛物线上，当时，则；
③关于的一元二次方程有实数解．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．下图中反比例函数与一次函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．把二次函数，用配方法化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，已知点在上，点在上，，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图,AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点, ，弧AD=弧CD．则∠DAC等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则的坐标为__________．
12．如图，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝_____．
13．圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积为__________.
14．若如果x：y=3：1，那么x：（x-y）的值为_______.
15．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)
16．用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为_____．
17．如果二次函数的图象如图所示，那么____0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．
18．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②‒①得9x=7，解得，于是得．
同理可得，
根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)
（基础训练）
（1） ， ；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
（能力提升）
（3） ， ；(注：，2.01818…)
（探索发现）
（4）①试比较与1的大小： 1；(填“＞”、“＜”或“=”)
②若已知，则 ．(注：0.285714285714…)
20．（6分）如图，A(8，6)是反比例函数y＝(x＞0)在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，且AB＝OA(B在A右侧)，直线OB交反比例函数y＝的图象于点M
(1)求反比例函数y＝的表达式；
(2)求点M的坐标；
(3)设直线AM关系式为y＝nx+b，观察图象，请直接写出不等式nx+b﹣≤0的解集．
21．（6分）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=11，CD=1．求⊙O半径的长．
22．（8分）计算：
（1）tan60°-+(3.14-π)0;
（2）解方程：．
23．（8分）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是抛物线上的一个动点（不与点点重合），过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点坐标；
（3）如图所示，设抛物线与轴交于点，在抛物线的第一象限内，是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
24．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知的半径为5，圆心的坐标为，交轴于点，交轴于，两点，点是上的一点（不与点、、重合），连结并延长，连结，，.
（1）求点的坐标；
（2）当点在上时.
①求证：；
②如图2，在上取一点，使，连结.求证：；
（3）如图3，当点在上运动的过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由.
25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．
（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；
（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
26．（10分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，装载速度（吨/天）与装完货物所需时间（天）之间的函数关系如图．
（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=|k|，所以S=2k，为定值．
【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．
∵S△POB=|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
2、B
【详解】
解：连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD=AD=，
OC=AC=，
∠OCD=90°．
则cos∠AOB=．故选B．
3、C
【分析】根据是等腰三角形，进行分类讨论
【详解】是菱形，
，
不符合题意
所以选C
4、C
【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=-=；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，∴a；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4；故③错误
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
5、A
【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．
【详解】如图所示：
∵AB＝3，BC＝1，
∴cosB＝＝．
故选：A．
【点睛】
考核知识点:余弦.熟记余弦定义是关键.
6、C
【分析】利用二次函数的性质一一进行判断即可得出答案.
【详解】解：①抛物线（其中是常数，）顶点坐标为，
，
，
，
∴c＞＞0
．
故①小题结论正确；
②顶点坐标为，
点关于抛物线的对称轴的对称点为
点与在该抛物线上，
，
，
，
当时，随的增大而增大，
故此小题结论正确；
③把顶点坐标代入抛物线中，得，
一元二次方程中，
，
关于的一元二次方程无实数解．
故此小题错误．
故选：C．
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合性题目，具有一定的难度，需要学生熟练掌握二次函数的性质并能够熟练运用.
7、B
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．
【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：
（2）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．
8、B
【分析】先提取二次项系数，再根据完全平方公式整理即可．
【详解】解：；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的三种形式的转化，难点在于（3）判断出二次函数取最大值时的自变量x的值．
9、B
【分析】由，得∠CMN=∠CNM，从而得∠AMB=∠∠ANC，结合，即可得到结论.
【详解】∵，
∴∠CMN=∠CNM，
∴180°-∠CMN=180°-∠CNM，
即：∠AMB=∠∠ANC，
∵，
∴，
故选B.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定定理，掌握“对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键.
10、C
【分析】利用圆周角定理得到，则，再根据圆内接四边形的对角互补得到，又根据弧AD=弧CD得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得出的度数．
【详解】∵AB为⊙O的直径
∵弧AD=弧CD
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，利用圆内接四边形的性质求出的度数是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或
【解析】由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点即可．
【详解】解：由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2），
故答案为或．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C点．
12、67°
【分析】根据切线的性质定理可得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再根据四边形的内角和求出∠AOB，然后根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，
∴∠C＝∠AOB＝67°，
故答案为：67°．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和和圆周角定理，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
13、
【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】圆锥的侧面积＝×6×10＝60 cm1．
故答案为.
【点睛】
本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
14、
【分析】根据x：y=3：1，则可设x=3a，y=a，即可计算x：（x-y）的值．
【详解】解：设x=3a，y=a，
则x：（x-y）=3a：(3a-a)=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比的性质，解题的关键是根据已有比例关系，设出x、y的值．
15、<
【解析】由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
【详解】当时，，
当时，，
，
即，
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
16、（x﹣1）2＝1
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果．
【详解】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，
配方得：x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣1）2＝1．
【点睛】
本题考查了配方法求解方程,属于简单题,熟悉配方的方法是解题关键.
17、＜
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与Y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断abc的正负．
【详解】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0.
∵图象的对称轴在x轴的负半轴上，
∴ .
∵a＞0，
∴b>0.
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0.
∴abc<0.
故答案为<.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．
18、
【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠CDF＝90°，根据三角形的内角和得到∠COD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1），；（2），推导过程见解析；（3），；（4）①；②．
【分析】（1）根据阅读材料的方法即可得；
（2）参照阅读材料的方法，设，从而可得，由此即可得；
（3）参照阅读材料方法，设，从而可得，由此即可得；先将拆分为2与的之和，再参照阅读材料的方法即可得；
（4）①先参照阅读材料的方法将写成分数的形式，再比较大小即可得；
②先求出，再根据①的结论可得，然后根据即可得．
【详解】（1）设①，
则②，
②①得：，解得，
即，
设①，
则②，
②①得：，解得，
即，
故答案为：，；
（2）设①，
则②，
②①得：，解得，
即；
（3）设①，
则②，
②①得：，解得，
即；
，
设①，
则②，
②①得：，解得，
则，
故答案为：，；
（4）①设②，
则③，
③②得：，解得，
即，
故答案为：；
②因为，，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较、等式的性质、解一元一次方程，读懂阅读材料的方法并灵活运用是解题关键．
20、 (1)y＝；(2)M(1，4)；(3)0＜x≤8或x≥1．
【分析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)利用勾股定理求得AB＝OA＝10，由AB∥x轴即可得点B的坐标，即可求得直线OB的解析式，然后联立方程求得点M的坐标；
(3)根据A、M点的坐标，结合图象即可求得．
【详解】解：(1)∵A(8，6)在反比例函数图象上
∴6＝，即m＝48，
∴反比例函数y＝的表达式为y＝；
(2)∵A(8，6)，作AC⊥x轴，由勾股定理得OA＝10，
∵AB＝OA，
∴AB＝10，
∴B(18，6)，
设直线OB的关系式为y＝kx，
∴6＝18k，
∴k＝，
∴直线OB的关系式为y＝x，
由 ，解得x＝±1
又∵在第一象限
∴x＝1
故M(1，4)；
(3)∵A(8，6)，M(1，4)，
观察图象，不等式nx+b﹣≤0的解集为：0＜x≤8或x≥1．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标．
21、2
【解析】试题分析：连接OA，根据垂径定理求出AD=6，∠ADO=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
试题解析：连接AO，
∵点C是弧AB的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，
∵AB=11，
∴AD=BD=6，
设⊙O的半径为r，
∵CD=1，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD1=OD1+AD1，
即：r1=（r﹣1）1+61，
∴r=2，
答：⊙O的半径长为2．
22、（1）2；（2) x1=2，x2=1．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义和零指数幂的运算法则计算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：原式＝－+1+1＝2；
（2），
，
或，
∴x1=2，x2=1．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂的运算法则和因式分解法是解题的关键．
23、（1）；（2）点坐标为（2，9）或（6，-7）；（3）存在点Q（）使得四边形OFQC的面积最大，见解析.
【分析】（1）先由点在直线上求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）可设出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标；
（3）作轴于点，设，，知，，，根据四边形的面积建立关于的函数，再利用二次函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）点在直线上，
，，
把、、三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
抛物线解析式为；
（2）设，则，，
则，，
，
，
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
综上可知点坐标为或；
（3）存在这样的点，使得四边形的面积最大．
如图，过点作轴于点，
设，，
则，，，
四边形的面积
，
当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点的坐标为，．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．
24、（1）（0，4）；（2）①详见解析；②详见解析；（3）不变，为.
【分析】（1）连结，在中，为圆的半径5，，由勾股定理得
（2）①根据圆的基本性质及圆周角定理即可证明；
②根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角定理得到，由①证明得到，即可根据相似三角形的判定进行求解；
（3）分别求出点C在B点时和点C为直径AC时，的值，即可比较求解.
【详解】（1）连结，在中，=5，，
∴
∴A（0,4）.
（2）连结，
故，则
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，
∴
∵与是弧所对的圆周角
∴=
又
∴
即
②∵
∴
∵，且由（2）得
∴
∴
在与中
∴
（3）①点C在B点时，如图，
AC=2AO=8,BC=0,
CD=BD=
∴==；
当点C为直径AC与圆的交点时，如图
∴AC=2r=10
∵O,M分别是AB、AC中点，
∴BC=2OM=6，
∴C（6，-4）∵D（8,0）
∴CD=
∴==
故的值不变，为.
【点睛】
此题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟知圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定.
25、（1）点B坐标为（1，2），y＝﹣x2+x+；（2）S＝﹣m2+2m+，S最大值；（3）点Q的坐标为（﹣，）．
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，证△ABC是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD的长，即可写出点B的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；
（2）求出直线AB的解析式，点E的坐标，用含m的代数式表示出点P的坐标，如图1，连接EP，OP，CP，则由S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE即可求出S关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的最大值；
（3）先证△ODB∽△EBC，推出∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，求出直线CE的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵A（﹣1，0）、C（3，0），
∴AC＝4，抛物线对称轴为x＝＝1，
∵BD是抛物线的对称轴，
∴D（1，0），
∵由抛物线的对称性可知BD垂直平分AC，
∴BA＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴BD＝AC＝2，
∴顶点B坐标为（1，2），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
将A（﹣1，0）代入，
得0＝4a+2，
解得，a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+x+；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣1，0），B（1，2）代入，
得，
解得，k＝1，b＝1，
∴yAB＝x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴E（0，1），
∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为﹣m2+m+，
如图1，连接EP，OP，CP，
则S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE
＝×1×m+×3（﹣m2+m+）﹣×1×3
＝﹣m2+2m+，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，根据二次函数和图象及性质知，当m＝时，S有最大值；
（3）由（2）知E（0，1），
又∵A（﹣1，0），
∴OA＝OE＝1，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝，
又∵AB＝BC＝AB＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝，
∴，
又∵，
∴，
又∵∠ODB＝∠EBC＝90°，
∴△ODB∽△EBC，
∴∠OBD＝∠ECB，
延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，
设直线CE的解析式为y＝mx+1，
将点C（3，0）代入，
得，3m+1＝0，
∴m＝﹣，
∴yCE＝﹣x+1，
联立，
解得，或，
∴点Q的坐标为（﹣，）．
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，巧妙利用二次函数的性质是解题的关键，根据已知条件可得出抛物线的解析式是解题的基础，难点是利用数形结合作出合理的辅助线.
26、（1）；（2）80吨
【分析】（1））设y与x之间的函数表达式为y= ，然后根据待定系数法求出解析式，然后根据k确定x的取值范围；
（2）将x=5代入函数解析式求得y的值，即可解答．
【详解】解：（1）由图像可知与成反比例函数设
∵过点，
∴
∴与之间的函数表达式为；
∴自变量的取值范围：
（2）∵当时，
答：平均每天至少要卸80吨货物.
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，弄清题意、确定反比例函数的解析式是解答本题的关键．
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