试卷、试题—--《高等数学ⅰ》学年历年期末考试题.doc

《高等数学Ⅰ》学年历年期末考试题
高等数学2002~2005学年历年期末考试题

2002级《高等数学》（I）期末考试试卷(A)
专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.1.21.

题
号
一
二
三
四
五
六
七
总 分
1
2
3
4
5
6
得分

说明：1. 本试卷共6页；
2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，
否则该题答案无效.
一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：
1． .
2. .
3. .
4. 曲线在处的切线斜率为 .
5. .
6. 已知向量，则 , .
7. 要使函数在处连续，则 .
8. 设，则 .
9. 设在上连续，且，则 .
10. 由曲线和直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体体积的定积分表达式是 .
二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：
1. 设，求
2. 求.
3. 计算.
4. 求.
5．设在处可导，求.
6．设，求.
三、（本题满分7分）
过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.
四、（本题满分7分）
求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.
五、（本题满分8分）
一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.
六、（本题满分6分）
已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.
七、（本题满分6分）
证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.

2002级《高等数学》（I）期末考试试卷(B)

专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.1.21.

题
号
一
二
三
四
五
六
七
总 分
1
2
3
4
5
6
得分

说明：1. 本试卷共6页；
2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，
否则该题答案无效.

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：
1. .
2. .
3. .
4. 曲线在处的切线斜率为 .
5. .
6. 已知向量，则 , .
7. 要使函数在处连续，则
8. 设，则 .
9. 设在上连续，且，则 .
10. 由曲线和直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体体积的定积分表达式是 .
二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：
1. 设，求
2. 求.
3. 计算.
4. 求.
5．设在处可导，求.
6．设，求.
三、（本题满分7分）
求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.
四、（本题满分8分）
一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.
五、（本题满分7分）
过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.
六、（本题满分6分）
证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.
七、（本题满分6分）
已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.

2002级《高等数学》（I）期末考试试卷(A)
答案及评分标准

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：
1．0； 2. ； 3. ； 4. 3； 5. ；
6. 2，（10，7，1）； 7. ；
8. 6！； 9. 1－； 10. .
二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：
1. 设，求
， （5分，前两项每项2分，后一项1分）
. （6分）

2． （2分）
（4分）
. （6分）

3． （2分）
（4分）
. （6分）

4. （1分）
（3分）
（4分）
（6分）
5． （3分）
（4分）
. （6分）

6． （2分）
（4分）
（5分）
（6分）
三、（本题满分7分）
过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.
解 设切点为，
切线方程为：， （2分）
因为过点，得
（4分）
（6分）
（7分）
四、（本题满分7分）
求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.
解 ，得， （2分）
， （4分）
为极小值， （5分）
又曲线在内无拐点. （7分）

五、（本题满分8分）
一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.
解 建立坐标系为：取三角形的顶为坐标原点，铅直向下为x轴，水平向右为y轴.
直线方程为 ， （2分）
（4分）
（6分）

（8分）

六、（本题满分6分）
已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.
证 ， （1分）
由条件具有二阶导数，且，
则在上连续，在内可导，且，由Rolle定理
使， （3分）
又， （5分）
则，对在上应用Rolle定理，有
，使. （6分）

七、（本题满分6分）
证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.
证 设，
则在上连续，又，由零点定理，
至少存在一点，使， （2分）
又
在上单调增加，故至多存在一点，使，
综上所述，存在唯一一点，使，
即方程在区间内必有唯一根. （3分）
,
即 数列单调有界，故必有极限，设. （5分）
而 ，
取极限，得
，
即
. （6分）

2002级《高等数学》（I）期末考试试卷(B)
答案及评分标准

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：
1. ； 2. 0； 3. ； 4. 6； 5. ；
6. 4；（5，6，8）； 7. ； 8. 7！；
9. ； 10. .
二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：
1. 设，求
， （5分，前两项每项2分，后一项1分）
. （6分）

2． （2分）
（4分）
. （6分）

3． （2分）
（4分）
. （6分）

4. （1分）
（3分）
（4分）
（6分）

5． （3分）
（4分）
. （6分）

6． （2分）
（4分）
（5分）
（6分）

三、（本题满分7分）
求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.
解 ，得， （2分）
， （4分）
为极小值， （5分）
又曲线在内无拐点. （7分）

四、（本题满分8分）
一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.
解 建立坐标系为：取三角形的顶为坐标原点，铅直向下为x轴，水平向右为y轴.
直线方程为 ， （2分）
（4分）
（6分）

（8分）

五、（本题满分7分）
过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.
解 设切点为，
切线方程为：， （2分）
因为过点，得
（4分）
（6分）
（7分）

六、（本题满分6分）
证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.
证 设，
则在上连续，又，由零点定理，
至少存在一点，使， （2分）
又
在上单调增加，故至多存在一点，使，
综上所述，存在唯一一点，使，
即方程在区间内必有唯一根. （3分）
,
即 数列单调有界，故必有极限，设. （5分）
而 ，
取极限，得
，
即
. （6分）

七、（本题满分6分）
已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.
证 ， （1分）
由条件具有二阶导数，且，
则在上连续，在内可导，且，由Rolle定理
使， （3分）
又， （5分）
则，对在上应用Rolle定理，有
，使. （6分）
2002级《高等数学》（I）期末考试试卷(A)

专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.1.21.

题
号
一
二
三
四
五
六
七
总 分
1
2
3
4
5
6
得分

说明：1. 本试卷共6页；
2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，
否则该题答案无效.

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：
1． .
2. .
3. .
4. 曲线在处的切线斜率为 .
5. .
6. 已知向量，则 , .
7. 要使函数在处连续，则 .
8. 设，则 .
9. 设在上连续，且，则 .
10. 由曲线和直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体体积的定积分表达式是 .
二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：
1. 设，求
2. 求.
3. 计算.
4. 求.
5．设在处可导，求.
6．设，求.
三、（本题满分7分）
过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.
四、（本题满分7分）
求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.
五、（本题满分8分）
一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.
六、（本题满分6分）
已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.
七、（本题满分6分）
证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.
2002级《高等数学》（I）期末考试试卷(A)
答案及评分标准

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：
1．0； 2. ； 3. ； 4. 3； 5. ；
6. 2，（10，7，1）； 7. ；
8. 6！； 9. 1－； 10. .
二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：
2. 设，求
， （5分，前两项每项2分，后一项1分）
. （6分）

2． （2分）
（4分）
. （6分）

3． （2分）
（4分）
. （6分）

4. （1分）
（3分）
（4分）
（6分）
5． （3分）
（4分）
. （6分）

6． （2分）
（4分）
（5分）
（6分）
三、（本题满分7分）
过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.
解 设切点为，
切线方程为：， （2分）
因为过点，得
（4分）
（6分）
（7分）
四、（本题满分7分）
求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.
解 ，得， （2分）
， （4分）
为极小值， （5分）
又曲线在内无拐点. （7分）

五、（本题满分8分）
一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.
解 建立坐标系为：取三角形的顶为坐标原点，铅直向下为x轴，水平向右为y轴.
直线方程为 ， （2分）
（4分）
（6分）

（8分）

六、（本题满分6分）
已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.
证 ， （1分）
由条件具有二阶导数，且，
则在上连续，在内可导，且，由Rolle定理
使， （3分）
又， （5分）
则，对在上应用Rolle定理，有
，使. （6分）

七、（本题满分6分）
证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.
证 设，
则在上连续，又，由零点定理，
至少存在一点，使， （2分）
又
在上单调增加，故至多存在一点，使，
综上所述，存在唯一一点，使，
即方程在区间内必有唯一根. （3分）
,
即 数列单调有界，故必有极限，设. （5分）
而 ，
取极限，得
，
即
. （6分）

2004级《高等数学》（I）期末考试试卷(A)

专业： 姓名： 学号： 考试日期：2005.1.21.

题
号
一
二
三
四
五
总 分
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
得分

说明：1. 本试卷共6页；
2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，
否则该题答案无效.
一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：
1． .
2. .
3. 设在处连续，则 .
4. 曲线在点处的切线方程是 .
5. 设为的一个原函数，则 .
6. .
7. .
8. 若向量与向量平行，且满足，则 .
二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1. 求极限.
2. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数.
3. 设，求.
4. 求由方程所确定的隐函数的导数.
三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1. 求.
2. 求.
3. 设 ,求.
4. 证明方程在区间内有唯一实根.
四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1．试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.
2．求抛物线与所围图形的面积，及该图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.
3．求过点且与直线垂直相交的直线方程.
4．已知，证明：(1) ；
(2) 当时，； (3) 收敛，并求其极限.
五、（本题满分4分）
设在区间上连续，在区间内，证明对一切，都有
.

2004级《高等数学》（I）期末考试试卷(B)

专业： 姓名： 学号： 考试日期：2005.1.21.

题
号
一
二
三
四
五
总 分
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
得分

说明：1. 本试卷共6页；
2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，
否则该题答案无效.
一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：
1. 设在处连续，则 .
2. 曲线在点处的切线方程是 .
3． .
4. 设为的一个原函数，则 .
5. .
6. 若向量与向量平行，且满足，则 .
7. .
8. .
二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
5. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数.
6. 求极限.
7. 求由方程所确定的隐函数的导数.
8. 设，求.
三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
5. 设 ,求.
6. 求.
7. 证明方程在区间内有唯一实根.
8. 求.
四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1．求抛物线与所围图形的面积，及该图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.
2．试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.
3．已知，证明：(1) ；
(2) 当时，； (3) 收敛，并求其极限.
4．求过点且与直线垂直相交的直线方程.
五、（本题满分4分）
设在区间上连续，在区间内，证明对一切，都有
.

2004级《高等数学》（I）期末考试试卷(A)
答案及评分标准

一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：
1．.
2. .
3. 设在处连续，则.
4. 曲线在点处的切线方程是.
5. 设为的一个原函数，则.
6. .
7. .
8. 若向量与向量平行，且满足，则.

二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
9. 求极限.
解 (2分)
（4分）
（5分）
（6分）

10. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数.
（3分）
（6分）
11. 设，求.
解 （2分）
（5分）
（6分）
12. 求由方程所确定的隐函数的导数.
解 方程两边对求导得
（4分）
（6分）
三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
9. 求. （或令）
解 （3分）
（6分）
10. 求.
解 （3分）
（4分）
（6分）
11. 设 ,求.
解 （3分）
（6分）

12. 证明方程在区间内有唯一实根.
解 ， （1分）
则在上连续，且，由零点定理，
至少使. （3分）
又，故至多有一个零点， （5分）
综上所述，方程在区间内有唯一实根. （6分）

四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1．试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.
解 （1分）
， (3分)
又，， （5分）
为极大值. （6分）

2．求抛物线与所围图形的面积，及该图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.
解 由得交点， （2分）
， （4分）
. （6分）

3．求过点且与直线垂直相交的直线方程.
解 过点且与直线垂直的平面方程为
，
即 ， （2分）
令 ，得，
代入平面方程得，求得平面与直线的交点为， （4分）
， 取，
所求直线方程为 （6分）
4．已知，证明：(1) ；
(2) 当时，； (3) 收敛，并求其极限.
证明 （1）， （1分）
（2分）
（2）
（3分）

（4分）
（3），
即单调减少有下界，故收敛， （5分）
设，则由两边取极限得
，即 （6分）
五、（本题满分4分）
设在区间上连续，在区间内，证明对一切，都有
.
证明 设，
， （2分）
又设，则，
于是单调减少，则时，，
从而，则单调减少，故时，，
即有
（4分）

2004级《高等数学》（I）期末考试试卷(B)
答案及评分标准

一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：
1. 设在处连续，则.
2. 曲线在点处的切线方程是.
3．.
4. 设为的一个原函数，则.
5. .
6. 若向量与向量平行，且满足，则.
7. .
8. .

二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
13. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数.
（3分）
（6分）
14. 求极限.
解 (2分)
（4分）
（5分）
（6分）

15. 求由方程所确定的隐函数的导数.
解 方程两边对求导得
（4分）
（6分）
16. 设，求.
解 （2分）
（5分）
（6分）
三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
13. 设 ,求.
解 （3分）
（6分）
14. 求. （或令）
解 （3分）
（6分）

15. 证明方程在区间内有唯一实根.
解 ， （1分）
则在上连续，且，由零点定理，
至少使. （3分）
又，故至多有一个零点， （5分）
综上所述，方程在区间内有唯一实根. （6分）
16. 求.
解 （3分）
（4分）
（6分）
四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1．求抛物线与所围图形的面积，及该图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.
解 由得交点， （2分）
， （4分）
. （6分）
2．试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.
解 （1分）
， (3分)
又，， （5分）
为极大值. （6分）
3．已知，证明：(1) ；
(2) 当时，； (3) 收敛，并求其极限.
证明 （1）， （1分）
（2分）
（2）
（3分）

（4分）
（3），
即单调减少有下界，故收敛， （5分）
设，则由两边取极限得
，即 （6分）
4．求过点且与直线垂直相交的直线方程.
解 过点且与直线垂直的平面方程为
，
即 ， （2分）
令 ，得，
代入平面方程得，求得平面与直线的交点为， （4分）
， 取，
所求直线方程为 （6分）
五、（本题满分4分）
设在区间上连续，在区间内，证明对一切，都有
.
证明 设，
， （2分）
又设，则，
于是单调减少，则时，，
从而，则单调减少，故时，，
即有
（4分）

2003级《高等数学》（I）期末考试试卷

专业： 姓名： 学号： 考试日期：2004.1.7.

题
号
一
二
三
四
五
六
七
总 分
1