2019届江苏省南通市高三适应性考试数学试题(解析版).doc

2019届江苏省南通市高三适应性考试数学试题一、填空题1已知集合，则集合_.【答案】【解析】根据交集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合，所以.故答案为【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2若，其中为虚数单位，则的值为_.【答案】-2【解析】先由复数的除法运算化简，再由复数相等的充要条件，即可求出结果.【详解】因为，又，所以，所以有，解得，因此.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，以及由复数相等求参数，熟记复数运算法则以及复数相等的充要条件即可，属于基础题型.3已知一组数据7，8，11，14，15，则该组数据的方差为_.【答案】10【解析】先求出该组数据的平均数，再由方差计算公式，即可求出结果.【详解】因为7，8，11，14，15的平均数为，所以其方差为.故答案为10【点睛】本题主要考查几个数的方差，熟记方差的计算公式即可，属于基础题型.4一个算法的流程图如图所示，则输出的的值为_.【答案】9【解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】初始值，第一步：，继续循环；第二步：，继续循环；第三步：，结束循环，输出.故答案为9【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行，即可得出结果.5函数的定义域为_.【答案】(2，2)【解析】根据对数真数大于零，解一元二次不等式求得函数的定义域.【详解】由于对数的真数要大于零，故，解得，即函数的定义域为.【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.考查函数的定义域往往通过以下几个方面来考虑：一个是对数的真数大于零，一个是分母不能为零，一个是偶次方根被开方数要为非负数，一个是零次方的底数不能为零.定义域要写成集合或者区间的形式.6一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为_.【答案】【解析】根据与长度有关的几何概型的概率计算公式，可直接得出结果.【详解】由题意，将5米长的绳子剪为两段，有一段大于3米的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.7在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为_.【答案】4【解析】先由离心率求出，进而可求出焦距.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，即，解得，所以该双曲线的焦距为.故答案为4【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.8某长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为_.【答案】【解析】根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径，得到外接球体积，即可求出体积之比.【详解】因为长方体的长、宽、高分别为，所以其体积为；其外接球直径为，故；所以其外接球体积为，因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为.故答案为【点睛】本题主要考查棱柱的体积及其外接球的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.9已知等差数列满足，且，成等比数列，则的所有值为_.【答案】3，4【解析】先设等差数列公差为，根据题意求出公差，进而可求出结果.【详解】设等差数列公差为，因为，且，成等比数列，所以，即，解得或.所以或.故答案为3，4【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.10若函数存在零点，且与函数的零点完全相同，则实数的值为_.【答案】1【解析】不妨先令为函数零点，得到，根据函数与函数的零点完全相同，得到，进而可求出结果.【详解】因为函数存在零点，不妨令为函数零点，则，又函数与函数的零点完全相同，所以，即，所以.故答案为1【点睛】本题主要考查根据函数零点相同求参数的问题，熟记复合函数的相关知识即可，属于常考题型.11如图，在边长为2的正三角形中，、分别为边、上的动点，且满足（为定常数，且），若的最大值为，则_.【答案】【解析】以中点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设，其中，根据题中条件，表示出，结合二次函数最值，即可求出结果.【详解】以中点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形边长为2，所以，则，因为为边上的动点，所以设，其中，则，所以；又，所以，因此，所以，故，因为，所以，又，所以当且仅当时，取得最大值，即，整理得，解得或（舍）故答案为【点睛】本题主要考查由向量数量积求出参数，熟记向量数量积的坐标运算，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.12在中，已知边上的中线，且，成等差数列，则的长为_.【答案】【解析】先由，成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到，再由边上的中线，得到，进而可求出结果.【详解】因为，成等差数列，所以，即，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理可得，所以，故，又因为边上的中线，所以，因为，所以，即，解.即的长为.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的应用，熟记正弦定理与余弦定理，以及向量数量积的运算即可，属于常考题型.13已知函数，若存在实数使得，则的最大值为_.【答案】【解析】先作出函数图像，由题意，令为方程的两个根，结合函数图像，求出的范围，根据，求出，将化为，令，用导数方法求出其最大值，即可得出结果.【详解】作出函数图像如下：由题意，令为方程的两个根，由图像易得；由得，解得或，因为，所以，因此，令，则，因为，所以由得；由得，即函数在上单调递增；在上单调递减；所以，因此的最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用，由转化与化归的思想，先将问题转化为求函数最值的问题，利用导数的方法研究函数的单调性与最值即可，属于常考题型.14在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是_.【答案】【解析】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，由，可得，进而可得出结果.【详解】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，则有，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以线段长度的最大值为.故答案为6【点睛】本题主要考查点线面间的距离计算，以及立体几何中的轨迹问题，常用坐标系的方法处理，属于常考题型.二、解答题15如图，在三棱锥中，点是的中点，.（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）根据线面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；【详解】（1）在中，因为，所以为的中点.又因为点是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）在中，因为，所以.又因为，所以.又因为，所以，即.又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的证明，熟记判定定理即可，属于常考题型.16在中，已知，.（1）求的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先由，求出，再由求出，根据正弦定理，即可求出结果；（2）同（1）由求出，由二倍角公式求出与，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为，所以.在中，所以，于是.在中，由正弦定理知，所以.（2）在中，所以，于是，于是，.因此，.【点睛】本题主要考查解三角形与三角恒等变换，熟记公式即可，属于常考题型.17如图所示，现有一张边长为的正三角形纸片，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形，（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩形，折起，构成一个以为底面的无盖正三棱柱.（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；（2）求所折成的正三棱柱的体积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先设，得到，根据，即可求出结果；（2）先由（1）得到，表示出三棱柱的体积，用导数的方法求出其最值即可.【详解】（1）设，则，.因为，所以.答：该三棱柱的高为.（2）因为，所以.三棱柱的体积，所以.因为当时，单调递增，当时，单调递减，所以时，.答：该三棱柱的体积为.【点睛】本题主要考查函数的模型，以及导数的应用，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.18如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：经过点.设椭圆的左顶点为，右焦点为，右准线与轴交于点，且为线段的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于另一点（在轴上方），直线与椭圆相交于另一点，且直线与垂直，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意先得，由为的中点，椭圆过点，列出关系式，求出，即可得出椭圆方程；（2）先由题意确定直线的斜率必存在且大于0，设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与题中条件，即可求出结果.【详解】（1）因为，且为的中点，所以，则.即，所以，.因为点在椭圆上，所以，又因为，所以，则，.所以椭圆的标准方程为.（2）由题意直线的斜率必存在且大于0，设直线的方程为：.代入椭圆方程并化简得：，因为，得，当时，的斜率不存在，此时不符合题意.当时，直线的方程为：，因为，所以直线的方程为：，两直线联立解得：，因为在椭圆上，所以，化简得：，即，因为，所以，此时.直线的斜率为.【点睛】本题主要考查求椭圆方程，以及直线与椭圆的应用，熟记椭圆标准方程的求法以及椭圆的简单性质，结合韦达定理等求解即可，属于常考题型.19设函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若直线是函数的切线，求实数的值；（3）当时，证明：.【答案】（1）在区间上单调递增.（2）（3）见证明【解析】（1）先由解析式，得到函数定义域，对函数求导，根据，即可得出结果；（2）先设切点为，根据切线方程为，得到，再对函数求导，得到，设，用导数方法研究其单调性，得到最值，即可求出结果；（3）先对函数求导，设，用导数方法研究单调性，进而可判断出单调性，即可得出结论成立.【详解】解：（1）函数的定义域为.因为，所以，所以在区间上单调递增.（2）设切点为，则，因为，所以，得，所以.设，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以.因为方程仅有一解，所以.（3）因为，设，则，所以在单调递增.因为，所以存在，使得.当时，单调递减，当时，单调递增，所以.因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.20定义：从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列，则称为的子数列；若成等差（或等比），则称为的等差（或等比）子数列.（1）记数列的前项和为，已知.求数列的通项公式；数列是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由.（2）已知数列的通项公式为，证明：存在等比子数列.【答案】（1）；见解析；（2）见证明【解析】（1）先由得到，再由得到通项公式，进而可得出结果；假设从数列中抽3项成等差，则，根据等差子数列的概念，即可得出结论；（2）先假设数列中存在3项，成等比.设，则，故可设（与是互质的正整数）.根据题意，得到需要，再由题中等比子数列的概念，即可得出结论.【详解】解：（1）因为，所以当时，当时，所以.综上可知：.假设从数列中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为，所以，且，都是整数，所以为偶数，为奇数，所以不成立.因此，数列不存在三项等差子数列.若从数列中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列不存在等差子数列.（2）假设数列中存在3项，成等比.设，则，故可设（与是互质的正整数）.则需满足，即需满足，则需满足.取，则.此时，.故此时成立.因此数列中存在3项，成等比，所以数列存在等比子数列.【点睛】本题主要考查数列的综合应用，灵活运用等差数列与等比数列的通项公式和性质即可，属于常考题型.21选修4-2：矩阵与变换已知1是矩阵的一个特征值，求点在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标.【答案】【解析】先由题意，得到矩阵的特征多项式为，根据1是矩阵的一个特征值，求出，得到，进而可求出结果.【详解】因为矩阵的特征多项式为，因为1是矩阵的一个特征值，所以，解得，所以矩阵.因此.所以点在矩阵对应的变换作用下得到的点为.【点睛】本题主要考查特征值与特征向量的计算，熟记公式即可，属于常考题型.22选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）求直线被曲线所截得的弦长.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为.直线的普通方程为.（2）【解析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出圆的直角坐标方程；根据直线的参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；（2）用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，根据几何法求出弦长即可.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程可化为.且，所以曲线的直角坐标方程为.直线：（为参数）的普通方程为.（2）圆心到直线：的距离为，又因为半径为1，所以弦长为.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可求解，属于常考题型.23选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为，其中.求证：.【答案】见证明【解析】先由不等式解集求出参数，再根据柯西不等式，即可证明结论成立.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，.所以，由柯西不等式可得，当且仅当，即时取等号.所以，.【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，以及柯西不等式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.24已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.（1）求概率的值；（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意，分别得出“从5个顶点中随机选取3个点构成三角形”和“”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）先由题意得到的可能取值，求出对应的概率，进而可得到分布列，求出期望.【详解】解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法.其中的三角形如，这类三角形共有个.因此.（2）由题意，的可能取值为，2，.其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；其中的三角形有两个，和.因此，.所以随机变量的概率分布列为：2所求数学期望.【点睛】本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及随机变量的分布列与期望的概念即可，属于常考题型.25已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，且点的横坐标为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）设点为抛物线上异于，的点，直线与分别交抛物线的准线于，两点，轴与准线的交点为，求证：为定值，并求出定值.【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）先由题意得到，根据的斜率为，求出，即可得出抛物线方程；（2）先由（1）的结果，得到点坐标，设点，结合题意，求出与，计算其乘积，即可得出结论成立.【详解】（1）由题意得：，因为点的横坐标为4，且在轴的上方，所以，因为的斜率为，所以，整理得：，即，得，抛物线的方程为：.（2）由（1）得：，淮线方程，直线的方程：，由解得或，于是得.设点，又题意且,所以直线：，令，得，即，同理可得：，.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线的应用，熟记抛物线的标准方程与抛物线的简单性质即可，属于常考题型.第 23 页 共 23 页