2018-2019学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试题解析版.doc

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江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

评卷人
得分

一、填空题
1．命题：，的否定是______．
【答案】
【解析】
试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.
考点：全称命题与特称命题.
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用抛物线的标准方程，可得p,进而可求解焦点坐标．
【详解】
抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.
3．在平面直角坐标系xOy中，三点，，共线，则实数a的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．
【详解】
由题意得：
，
解得：a，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题．
4．在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是____．
【答案】或
【解析】
【分析】
由双曲线方程的特点可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，解之可得k的范围．
【详解】
若方程表示的曲线为双曲线，
则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，
解得k＜1或k＞2，
故答案为：k＜1或k＞2．
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k）（k﹣1）＜0是解决问题的关键，属于基础题．
5．在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，则OP的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离．
【详解】
∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，
∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：
d2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．在平面直角坐标系xOy中，，，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出线段AB的中点为圆心，半径为|AB|，再写出圆的标准方程．
【详解】
A（﹣2，0），B（2，2），
则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），
半径为r|AB|，
∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．
【点睛】
本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题．
7．函数的单调递增区间为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．
【详解】
函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，
由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，
解得x＞0，
故答案为：（0，+∞）．
【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．
8．已知直线l，m及平面，，，则“”是“”的______条件请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥又m⊂，得：“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，得“l⊥m”时，可能直线l，所以不充分.
【详解】
由“l⊥ “则直线l垂直平面中的任意直线，又m⊂，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，
反之，当l时，内仍有直线与l垂直，
即“l⊥m”可能有l成立，所以“l⊥m”是“l⊥”的不充分条件，
即“l⊥m”是“l⊥”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题.
9．九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______．

【答案】30
【解析】
【分析】
连接A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解．
【详解】
如图，连接A1C，
根据等底等高，易得：
，
∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，
∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱锥是解题的关键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若，则该椭圆离心率为______．

【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件AB⊥CF，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．
【详解】
在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，
点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，
可得：•1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，
可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e．
故答案为：．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想以及计算能力．
11．设是两条不同的直线，，是两个不同的平面下列命题中：
若，，则；
若，，则；
若，，则．
正确命题的序号是______．
【答案】
【解析】
【分析】
在中，与相交、平行或异面；在中，或；在中，由面面平行的性质定理得．
【详解】
解：由是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：
在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；
在中，若，，则或，故错误；
在中，若，，则由面面平行的性质定理得，故正确．
故答案为：．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12．已知是函数的切线，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．
【详解】
根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），
函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，
又由切线的方程为y＝kx+b，
则k1，b＝lnm﹣1，
则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，
设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，
则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；
故答案为：ln2+2．
【点睛】
本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：和点，，若在圆C上存在点P，使得，则半径r的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
点A（0，），B（0，），求出点P的轨迹方程，使得∠APB＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解半径r的取值范围．
【详解】
在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，
可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线即x轴上，半径为：2，由垂径定理可得圆心到y轴的距离为1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0）
则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，
或：（x+1）2+y2＝22，
已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，
就是两个圆有公共点，可得：r+2，并且解得r∈[2，42]．
故答案为：[2，42]．
【点睛】
本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．
14．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】
求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．
【详解】
f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，
∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）
令f′（x）＝0，解得x＝a或x，
∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，
∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，
∴f（a）f（）＜0，
即（﹣a+1）[（1）（a）2﹣a+1]＜0，
整理可得（a﹣1）2（）＞0，
即4（a﹣1）2﹣27＞0且a,
解得a＜1或a＞1
故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）
【点睛】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题、解决问题的能力．

评卷人
得分

二、解答题
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，，，，以A，B为焦点的双曲线过C，D两点．

求双曲线的方程；
写出该双曲线的离心率和渐近线方程．
【答案】（1）（2）离心率,渐近线方程为
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A，B，C，D的坐标，可得CA，CB的距离，由双曲线的定义可得a，再由a，b，c的关系可得b，即可得到双曲线的方程；
（2）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．
【详解】
（1）因为等腰梯形，，，，.
所以，，，.
所以，.
因为，所以.
又因为，为双曲线（，）的焦点，所以，所以.
所以.
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，所以双曲线的离心率.
又双曲线的渐近线方程为.
【点睛】
本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．
16．如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且，．

证明：平面BCF；
证明：．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）取DC的三等分点P，通过平面MNP∥平面FCB可得线面平行；
（2）利用DC垂直平面FBC，得到CD⊥平面MNP，易证．
【详解】
(1)取DC的三等分点P，使DP，

∵，
∴MP∥AD，
∴MP∥BC，
∴MP∥平面FBC，
∵，
∴NP∥FC，
∴NP∥平面FBC，
∴平面MNP∥平面FBC，
∴MN∥平面FBC；
（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，
∴CD⊥平面FBC，
∴CD⊥平面MNP，
∴CD⊥MN，
即MN⊥DC
【点睛】
本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，考查了面面平行及线面垂直的性质定理，属于基础题．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：．
若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；
已知点为直线上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若，求点P的坐标．
【答案】（1）或；（2）点的坐标为或.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；
（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得PM2＝PC2﹣MC2，又由PMPO，则2PO2＝PC2﹣MC2，代入点的坐标变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，又由点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，则y1＝2x1﹣6，②，联立①②，解可得x1的值，进而计算可得y1的值，即可得答案．
【详解】
（1）将圆化标准方程为，
所以圆心，半径.
又因为圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，
所以设切线的方程为.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即.
解得：或.
所以切线的方程为或.
（2）因为为切线且为切点，所以.
又因为，所以.
又因为，，
所以，
化简可得：①；
因为点在直线上，所以②.
联立①②可得：，
消去可得：，解得或.
将代入②可得：，所以点的坐标为.
将代入②可得，所以点的坐标为.
综上可知，点的坐标为或.
【点睛】
本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题．
18．光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为，与光源距离的平方成反比，比例系数为均为正常数如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上不含A，若物体P到光源A的距离为x．

试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；
当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？
【答案】（1），；（2）在连接两光源的线段上，距光源为处.
【解析】
【分析】
（1）求出P点受A光源的照度，P点受B光源的照度，求和即可；
（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
【详解】
（1）因为物体到光源的距离为，所以物体到光源的距离为.
因为在线段上且不与，重合，所以.
因为光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比.
所以点受光源的照度为：，
点受光源的照度为：，
所以物体受到，两光源的总照度，.
（2）因为，.
所以.
令，解得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
因此，当时，取得极小值，且是最小值.
所以在连接两光源的线段上，距光源为处，物体受到光源，的总照度最小.
【点睛】
本题考查了函数模型中求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为．
求椭圆C的标准方程；
已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为，．
若直线l经过原点，且，求点A的坐标；
若直线l过点，试探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②为定值1.
【解析】
【分析】
（1）由已知列关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆C的标准方程可求；
（2）①设A（x1，y1），M（0，1），由椭圆对称性可知B（﹣x1，﹣y1），由点A（x1，y1）在椭圆上，得到，求出k1•k2，结合k1﹣k2，可得k1＝1，则直线MA的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A的坐标；
②直线l过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到k1+k2是定值．
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为，右准线方程为，
所以，
解得.
又因为.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，为椭圆的上顶点，则.
①因为直线经过原点，由椭圆对称性可知.
因为点在椭圆上，所以，即.
因为，.
所以.
所以，解得或.
因为点在第三象限内，所以，所以，则直线的方程为.
联结方程组，解得或，所以.
（解出，，也可根据，，求出点的坐标）
②直线过点，设其方程为.
联列方程组，消去可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．
当时，由韦达定理可知，.
又因为
.
所以为定值1.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，其中第二问关键是体现椭圆的对称性并能用坐标表示，考查计算能力，是中档题．
20．已知函数，其中a，．
当时，若在处取得极小值，求a的值；
当时．
若函数在区间上单调递增，求b的取值范围；
若存在实数，使得，求b的取值范围．
【答案】（1）-2；（2）①；②.
【解析】
【分析】
(1）代入b的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a的值即可；
（2）代入a的值，①求出函数的导数，通过讨论b的范围求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可；
②通过讨论b的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b的范围即可．
【详解】
（1）当时，因为，所以.
因为在处取得极小值，所以，解得：.
此时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以在处取得极小值.
所以符合题意.
（2）当时，因为，
所以.
令.
①因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，则，满足题意.
当时，因为的对称轴为，
所以，解得或.
综上，实数的取值范围为.
②当时，，与题意不符.
当时，取，则.
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即.
所以，
所以符合题意.
当时，
因为在递增且
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以恒成立，与题意不符.
当时，
因为，，
由零点存在性原理可知，存在，使得，
所以当时，，单调递减，
取，则，符合题意.
综上可知，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查了不等式有解问题，关键是转化为求解最小值，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，属于较难题型.

20