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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A． B．
C． D．不存在
2．如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x2﹣+2＝0
5．下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为;
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生；
D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
6．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△∽△，若，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．如图，点在反比例函数的图象上，过点的直线与轴，轴分别交于点，，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场．
12．菱形ABCD的周长为20，且有一个内角为120°，则它的较短的对角线长为______．
13．某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
14．已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____．
15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，BC＝6，则△ABC的面积是__________．
16．___________.
17．一支反比例函数，若，则y的取值范围是_____．
18．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则的值为_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是的直径，点C、D在上，且AD平分，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
证明EF是的切线；
求证：；
已知圆的半径，，求GH的长．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=4.以AB为直径画⊙O，交边AC于点D．AD的长为，求证：BC是⊙O的切线.
21．（6分）计算题：|﹣3|+tan30°﹣﹣（2017﹣π）0+（）-1．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D为线段AB延长线上一点，过C，D作射线DP，若∠D=2∠CAD=45º．
（1）证明：DP是⊙O的切线．
（2）若CD=3，求BD的长．
23．（8分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
24．（8分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点.
（1）求点，，的坐标；
（2）将绕的中点旋转，得到.
①求点的坐标；
②判断的形状，并说明理由.
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点，使与相似，若存在，请写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（10分）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为1．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】由题知：，解得，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用一元二次方程的定义求参数的值，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
2、C
【解析】由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，据此可进行解答.
【详解】解：由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，由AC⊥A’B’可得∠BAC=∠A’=90°-20°=70°，
故选择C.
【点睛】
本题考查了旋转的性质.
3、C
【分析】根据弦、弧、等弧的定义即可求解．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，真命题；
②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，假命题；
③半径相等的两个圆是等圆，真命题；
④半径是圆心与圆上一点之间的线段，不是弧，半圆包括它所对的直径，真命题．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
4、C
【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．逐一判断即可．
【详解】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意；
B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．
5、A
【分析】由题意根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查不可能事件、随机事件的概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6、B
【详解】根据二次根式的性质，由此可知2-a≥0，解得a≤2.
故选B
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质可求解.
7、C
【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
【详解】解：∵△∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解.
8、B
【解析】直接利用相似三角形的性质求解．
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′,
∴
又∵AB＝8，A’B’＝6，
∴= .
故选B.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，难度不大
9、D
【分析】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，得AO=OD，CD=2OB，进而得的面积为4，即可得到答案．
【详解】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，
∵，
∴AO=OD，
∴OB是∆ADC的中位线，
∴CD=2OB，
∵的面积为，
∴的面积为4，
∵点在反比例函数的图象上，
∴k=2×4=8，
故选D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，添加辅助线，求出的面积，是解题的关键．
10、B
【解析】解：∵∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠OAC=（180°-∠AOC）÷2=110°÷2=55°．
故选B．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】设共有x个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：，把相关数值代入求正数解即可．
【详解】设共有x个飞机场．
，
解得 ， （不合题意，舍去），
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12、1
【分析】根据菱形的性质可得菱形的边长为1，然后根据内角度数进而求出较短对角线的长．
【详解】
如图所示：菱形ABCD的周长为20，
AB=20÷4=1，
又，四边形ABCD是菱形，
，AB=AD，
是等边三角形，
BD=AB=1．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及等边三角形，关键是熟练掌握菱形的性质．
13、1人
【分析】根据频率分布直方图，求出在该次数学考试中成绩小于60分的频率，再求成绩小于60分的学生数．
【详解】根据频率分布直方图，得
在该次数学考试中成绩小于60分的频率是
（0.002+0.006+0.012）×10=0.20
∴在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是
3000×0.20=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图提供的数据，求出频率，再求出学生数，是基础题．
14、或
【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴对称轴为，且开口向下，
∵当时，函数有最大值，
①当时，抛物线在处取到最大值，
∴，
解得：或（舍去）；
②当时，函数有最大值为1；不符合题意；
③当时，抛物线在处取到最大值，
∴，
解得：或（舍去）；
∴m的值为：或；
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论.
15、6
【分析】作辅助线AD⊥BC构造直角三角形ABD，利用锐角∠B的正弦函数的定义求出三角形ABC底边BC上的高AD的长度，然后根据三角形的面积公式来求△ABC的面积即可．
【详解】过A作AD垂直BC于D，
在Rt△ABD中，∵sinB＝，
∴AD＝AB•sinB＝4•sin45°＝4×＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝，
故答案为：
【点睛】
本题考查了解直角三角形．解答该题时，通过作辅助线△ABC底边BC上的高线AD构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义在直角三角形中求得AD的长度的．
16、
【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】原式．
故答数为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17、y＜-1
【分析】根据函数解析式可知当x＞0时，y随x的增大而增大，求出当x=1时对应的y值即可求出y的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数，
-4＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y=-1，
∴当，则y的取值范围是y＜-1，
故答案为：y＜-1．
【点睛】
本题考查了根据反比例函数自变量的取值范围，确定函数值的取值范围，解题的关键是熟知反比例函数的增减性．
18、1
【分析】本题中小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80−2x）（60−2x）＝×80×60，解方程从而求解．
【详解】因为小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，则其面积为（80−2x）（60−2x）cm2
根据题意得：（80−2x）（60−2x）＝×80×60
整理得：x2−70x＋600＝0
解之得：x1＝1，x2＝60
因x＝60不合题意，应舍去
所以x＝1．
故答案为：1.
【点睛】
此题解答时应结合图形，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（1）详见解析；（3）.
【解析】（1）由题意可证OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切线；（1）由同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性质可得∠DGB＝∠BDF；（3）由题意可得∠BOG＝90°，根据勾股定理可求GH的长．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝1．
∴GH＝＝.
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
20、证明见解析.
【分析】连接OD，根据弧长公式求出AOD的度数，再证明AB⊥BC即可；
【详解】证明：如图，连接,
是直径且 ，
.
设，
的长为，
解得.
即
在☉O中，
.
．
，
，
即
又为直径，
是☉O的切线.
【点睛】
本题考查切线的判定，圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21、4
【分析】根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂及三角函数值解答即可．
【详解】解：原式＝3+﹣2﹣1+3＝4
【点睛】
本题考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，证得∠OCD=90°，即可证得DP是⊙O的切线；
（2）根据等腰直角三角形的性质得OB=OC=CD=3，而∠OCD=90º ，最后利用勾股定理进行计算即可.
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∴∠COD=2∠CAD=45°，
∵∠D=2∠CAD=45º,
∴∠OCD=180°-45°-45°=90°，
∴OC⊥CD，
∴DP是⊙O的切线；
（2）由（1）可知∠CDO=∠COD=45º
∴OB=OC=CD=3
∵∠OCD=90º
∴，
∴BD=OD－OB=
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
23、（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.
【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．
考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
24、（1），，；（2）①；②是直角三角形；（3），，，
【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合A，B，C的坐标得出D点坐标；
②利用勾股定理的逆定理判断的形状即可；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
【详解】解：（1）令，则，
解得：，，
∴，.
令，则，∴；
（2）①过作轴于点，
∵绕点旋转得到，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，.
∵，，，
∴，，，，
∴，
∵点在第四象限，
∴；
②是直角三角形，
在中，
，
在中
，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）存在
∵，∴，
∵，∴，
作出抛物线的对称轴，
∵M是AB的中点，，，
∴M(,0)，
∴点M在对称轴上.
∵点在对称轴上，
∴设，
当时，
则，∴，
，∴，
∴，.
当时，
则，∴，
，∴，
∴，，
∴，，，.
【点睛】
此题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的图像与性质，以及相似三角形的判定与性质等知识，正确分类讨论是解题关键．
25、（1）k=-1； （2）x＜﹣2或0＜x＜2．
【解析】试题分析：(1)过点A作AD垂直于OC,由,得到,确定出△ADO与△ACO面积,即可求出k的值; (2)根据函数图象,找出满足题意x的范围即可.
解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，
∵AC=AO，
∴CD=DO，
∴S△ADO=S△ACD=6，
∴k=-1；
（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
26、反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【分析】(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【详解】点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
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