2020届广西柳州市高级中学高三上学期第二次统测数学(理)试题(解析版).doc

2020届广西柳州市高级中学高三上学期第二次统测数学（理）试题

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由，解得或，即，又，故选C.
【考点】1.解二次不等式；2.集合的运算.
2．已知为实数，若复数为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．
【详解】
＝，∵复数是纯虚数，∴且
得且≠，即，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．
3．的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解，得到答案．
【详解】
由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，
可得，故选B．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
4．若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由指数函数与对数函数的性质即可得出答案.
【详解】
由对数函数的性质可知，，
且，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查利用指数函数与对数函数的性质比较数的大小，属于基础题.
5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案.
【详解】
由题意，边长为2的正方形的孔的面积为，
又由半径为2的圆形纸板的面积为，
根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（ ）

A．5 B．4 C．3 D．9
【答案】B
【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.
【详解】
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，不满足进行循环的条件；
故选：B
【点睛】
本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题.
7．的展开式中，含的项的系数是（）
A．-40 B．-25 C．25 D．55
【答案】B
【解析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含的项有两种构成，一种是中的1与中的二次项相乘得到，一种是中的与中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。
【详解】
二项式的展开式中的通项，含的项的系数为，故选B.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8．函数的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断函数为奇函数，再求出即可判断
【详解】
，
则函数为奇函数，故排除，
当时，，故排除，
故选：．
【点睛】
本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.
9．等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，得到，再由裂项相消法即可求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，，可得，所以，因此，
所以，
所以 .
故选B
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.
10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先求出抛物线焦点坐标，可知双曲线；再由双曲线截抛物线的准线所得线段长为，由双曲线的对称性可知点在双曲线上，代入即可求解.
【详解】
由题易知抛物线的焦点坐标为，则双曲线的一个焦点坐标为，
因为抛物线的准线方程为，双曲线截抛物线的准线所得线段长为，
所以点在双曲线上，可得，可得 ，
所以，即
故选：A
【点睛】
本题主要考查抛物线与双曲线的定义和性质以及双曲线的对称性，需熟记并理解双曲线与抛物线的定义和性质，属于基础题.
11．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面互相垂直，,,,则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】证明，可得的外接圆的半径为，利用和所在平面互相垂直，球心在边的高上，
设球心到平面的距离为，
求出球的半径，即可求出球的体积.
【详解】

，，,
，
，
的外接圆的半径为
和所在平面互相垂直，
球心在边的高上，
设球心到平面的距离为，
则
，
球体积.
故选：D
【点睛】
本题主要考查立体几何外接球问题以及球的体积公式，属于中档题.
12．已知函数 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，时，，且 时， 画出的图象如图，由图知时，与有三个交点，此时有三个零点，所以实数取值范围是，故选A.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的图象以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

二、填空题
13．已知满足不等式组则的最大值为 __________．
【答案】
【解析】首先作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.
【详解】
由约束条件为：
则可行域为：

由表示的几何意义可知
为可行域中的点与原点的距离的平方，
从图中可以看出，点与原点距离最远，
故联立解得
故的最大值为：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数表示的几何意义，此题属于基础题.
14．曲线在处的切线的倾斜角为__________．
【答案】
【解析】首先求出，根据导数的几何意义即可求解.
【详解】
由，
所以
所以
即处的切线的斜率为
故切线的倾斜角为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义以及求导公式，需熟记基本初等函数的导数公式和运算法则，理解导数的几何意义.
15．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．
【答案】150
【解析】根据等比数列前项和的性质成等比数列，建立方程关系即可求解.
【详解】
在等比数列中，
，，
也成等比数列，
即成等比数列，

解得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等比数列前项和以及性质的应用，要熟练掌握等比数列项和公式和性质以及等比数列的基本运算，考查学生的运算能力.
16．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为_________．
【答案】16
【解析】首先根据圆和圆的标准方程，作差求出两圆的公共弦所在的直线方程，
结合点在该公共弦上得到，然后把变形为
，展开后利用基本不等式即可求解.
【详解】
根据题意，圆和圆，两圆作差可得
其公共弦所在的直线方程为，
又由点在两圆的公共弦上，则，

当且仅当且，即时等号成立，
的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查圆的公共弦所在的直线方程、基本不等式求最值，属于基础题.

三、解答题
17．已知，设．
（1）求的解析式并求出它的周期．
（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．
【答案】（1），周期为；（2）．
【解析】（1）先根据向量的运算规则求解，然后化简可求；
（2）先求角，结合余弦定理求出，可得面积.
【详解】
（1）由，
则＝，
即函数的周期，
故，周期为．
（2）因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
由余弦定理得：
，
所以，
所以，
即.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和利用余弦定理求解三角形，侧重考查数学运算的核心素养.
18．如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，//,,.

（1）证明：平面；
（2）当点为半圆的中点时，求二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）首先证出，再由，，
根据线面垂直的判定定理可得平面，由即可得证.
（2），建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，
平面的法向量，求出法向量的夹角余弦值即可求出二面角的正弦值.
【详解】
证明：（1）因为是半圆的直径， 所以
因为平面，所以，
又，所以平面，
∵,，∴四边形为平行四边形
∴，
∴平面
（2）依题意，,
如图所示，建立空间直角坐标系,
则,，，,

所以,,
设平面的法向量为 则，
得
设平面的法向量为 则 ，
得
所以
所以二面角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理以及空间直角坐标系在立体几何中的应用，属于中档题.
19．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

（1)假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？
（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）220元；（2）分布列见解析，
【解析】（1）根据题意计算出调起征点整前应纳税和调整起征点后应纳税，作差即可求值.
（2）根据分层抽样原理求出中占4人，中占3人，随机变量的取值可能值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值.
【详解】
（1）按调起征点整前应纳税为：；
按调整起征点后应纳税为：； 元
所以小明实际收入增加了元.
（2）由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人
的取值可能值
；；
；；
所以的分布列为:

【点睛】
本题主要考查随机变量的分布列、数学期望，解题的关键理解题意，求出随机变量的可能取值，列出分布列，属于中档题.
20．已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.
（1）求该椭圆的方程.
（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）的面积为定值1.
【解析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，求，点到直线的距离，写出三角形面积，化简即可求证.
【详解】
由，又由于，一个长轴顶点在直线上，
可得：，，.
（1）故此椭圆的方程为.
（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立椭圆的方程得：，
由，可得，
则，，
，
又点到直线的距离，
，
由于，
可得：，
故，
当直线的斜率不存在时，可算得：，
故的面积为定值1.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.
21．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.
【答案】（1）当时， 的递增区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
（2）见解析
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可.
（2）问题转化为，令 ，根据函数的单调性证明即可.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为,

当时，恒成立，故的递增区间为；
当时，在区间，时，时，
所以的递增区间为，，递减区间为；
当时，在区间，时，时，
所以的递增区间为，，递减区间为；
综上所述，当时， 的递增区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
（2）当时，由,只需证明.
令 ，.
设，则.
当时，，单调递减;
当时，，单调递增,
∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.
的最小值是 成立.
故成立.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，导函数在证明不等式中的应用，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.
22．已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，
【解析】（1）消去参数可求出直线的普通方程，利用极坐标公式可求出曲线的直角坐标方程.
（2）求出圆心到直线的距离，根据垂径定理即可求解.
【详解】
（1）消由
直线的普通方程为
由，
曲线的直角坐标方程为
（2）由于曲线的直角坐标方程为，则圆心，，
所以圆心到直线的距离 ，
根据垂径定理可得，即，
可求得，
实数.
【点睛】
本题主要了参数方程、极坐标方程化为普通方程以及直线与圆相交的弦长问题，考查了学生的运算能力，属于中档题.
23．已知，，，函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值．
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）当时,不等式化为即解．
对与的大小关系分类讨论即可得出.
（2）由绝对值三角不等式与柯西不等式即可求解.
【详解】
（1）当时,不等式即，化为．
当时，化为：，解得；
当时，化为：，化为：，解得；
当时，化为：，解得．
综上可得：不等式的解集为：；
（2）由绝对值三角不等式得
，
由柯西不等式得

，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式、柯西不等式，考查学生的灵活分析问题的能力、运算能力.

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