高等量子力学-理论方法-1表象理论.ppt

一、一、量子力学的建立量子力学的建立二、二、量子力学基本原理量子力学基本原理三、三、量子力学的理论方法量子力学的理论方法四、四、量子力学的应用量子力学的应用 高高 等等 量量 子子 力力 学学三、三、量子力学的理论方法量子力学的理论方法一、一、表象理论表象理论二、二、微扰理论微扰理论五、五、散射理论散射理论 六、六、多粒子体系理论多粒子体系理论 七、七、二次量子化二次量子化 八、八、相对论量子力学相对论量子力学 三、三、量子跃迁理论量子跃迁理论四、四、自旋与角动量理论自旋与角动量理论（一）（一）态的表象态的表象（二）（二）算符的矩阵表示算符的矩阵表示 （三）（三）量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述 （四）（四）幺正变换幺正变换（五）（五）Dirac符号符号 一、一、表象理论表象理论重重点点掌掌握握的的内内容容 二个表示：二个表示：态在任意表象中的表示；态在任意表象中的表示；算符在任意表象中的表示。算符在任意表象中的表示。三个公式：三个公式：在任意表象中在任意表象中的表示的表示平均值公式平均值公式本征值方程本征值方程薛定谔方程薛定谔方程 Dirac符号及应用符号及应用 幺正变换的基本性质幺正变换的基本性质表象的定义表象的定义 一个定义：一个定义：（一）（一）态的表象态的表象动动量量表表象象能能量量表表象象角角动动量量表表象象常常用用的的表表象象坐坐标标表表象象量子力学中态和力学量的具体表示方式量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象称为表象任意力学量表象任意力学量表象构成付构成付里叶变里叶变换与逆换与逆变换变换展开系数展开系数任一状态任一状态 可按其展开：可按其展开：从数学上从数学上讲，讲，知道其一知道其一,必可唯一地求出另一。必可唯一地求出另一。从物理角度从物理角度看看，描述粒子状态，那么描述粒子状态，那么 描述粒子描述粒子同一同一状态。状态。1 1态的动量表象态的动量表象 组成组成完备系完备系动量算符本征函数：动量算符本征函数：物理意物理意义？是在是在 所描写的状态中，测量所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果粒子的位置所得结果为为 的概率。的概率。是在是在 所描写的状态中，测量粒所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为子的动量所得结果为 的概率。的概率。两者从不同的侧面两者从不同的侧面描写粒子的状态描写粒子的状态,给出了粒子的给出了粒子的不同不同信息（力学量信息（力学量 和和 的信息）。的信息）。称为坐标表象中的称为坐标表象中的状态状态波函数，波函数，称称为为动量表象中的动量表象中的状态状态波函数。波函数。2 2Q Q 表象表象任一状态任一状态 可按其展开：可按其展开：展开系数：展开系数：力学量算符力学量算符 的正交归一的本征函数的正交归一的本征函数完备完备系：系：本征方程：本征方程：由由上上述述两两式式给给出出了了 与与 函函数数集集之之间间的相互变换关系，将的相互变换关系，将 写成矩阵写成矩阵 对对于于 与与 ，知知道道其其一一就就可可求求得得另另一一，因因而而 与与 描描述述粒粒子子同同一一状状态态。是是粒粒子状态波函数在子状态波函数在Q Q 表象中的表示，称为表象中的表示，称为Q Q 表象波函数表象波函数.给出在给出在 态中测量粒子的力学量态中测量粒子的力学量Q Q 取取值的概率值的概率.（归一化条件的矩阵（归一化条件的矩阵 表述形式）表述形式）归一化条件归一化条件注注以以上上讨讨论论可可推推广广到到 Q Q 有有连连续续谱谱的的情情况况粒子处于一维无限深势阱的基态：粒子处于一维无限深势阱的基态：求该态在动量和能量表象中的表示形式求该态在动量和能量表象中的表示形式。例例例例1 1动量本征函数动量本征函数展开系数展开系数：解解选择动量表象选择动量表象:能量表象能量表象：本征函数本征函数可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取符号形式。符号形式。基态的表示基态的表示 能级态的表示能级态的表示 一般结论一般结论:力学量算符属于分立本征值的本征函数力学量算符属于分立本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一在该力学量自身表象中为一符号符号,其矩阵为单位元其矩阵为单位元矩阵。矩阵。第第n n行行解解自由粒子自由粒子动动量量算符的算符的本本征函数征函数 动量算符动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数的本征函数:可见，动量算符具有确定本征动量值可见，动量算符具有确定本征动量值 的本征函数的本征函数在动量自身表象中是以动量在动量自身表象中是以动量 为变量的为变量的函数。函数。求自由粒子动量算符求自由粒子动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数在动量自身表象中的形式的本征函数在动量自身表象中的形式例例例例2 2 2 2动量算符的本征方程动量算符的本征方程一般结论一般结论:力学量算符属于连续本征值的本征函数在力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一该力学量自身表象中为一函数函数。本征值方程本征值方程:在坐标表象中，坐标算符在坐标表象中，坐标算符 的本征函数的本征函数同样同样以以上上讨讨论论与与三三维维矢矢量量空空间矢量的表示很类似间矢量的表示很类似。在在三三维维矢矢量量空空间间选选一一组组正正交交归一完备基归一完备基正交归一条件正交归一条件 力学量力学量算符算符 的正交归一完备函数系的正交归一完备函数系 构成构成HilbertHilbert空间中的一组正交空间中的一组正交归一归一完备基矢。完备基矢。任一态矢任一态矢注意：注意：由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，不同的态矢只是方向不同。定，不同的态矢只是方向不同。HilbertHilbert空间：空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复满足态迭加原理的状态全体构成的复 线性空间线性空间 态矢量：态矢量：HilbertHilbert空间中的矢量，即体系的状态波空间中的矢量，即体系的状态波 函数视为一个矢量称为函数视为一个矢量称为态矢量态矢量（简称（简称态矢态矢）H Hi il lb be er rt tH Hi il lb be er rt t空空 间间 与与 态态 矢矢 量量空空 间间 与与 态态 矢矢 量量表象与表象与几何空间坐标系几何空间坐标系的比较的比较量子力学表象量子力学表象几何空间坐标系几何空间坐标系某某一表象一表象本征本征态态矢量矢量某某一坐标系的一组一坐标系的一组基矢基矢 正交正交归一归一正交正交归一归一矢量矢量:量子态量子态矢量：矢量：结结论论选定一个特定选定一个特定 表象，就相当于在表象，就相当于在HilbertHilbert空间空间中中选选定一个特定的坐标系定一个特定的坐标系,力学量力学量算符算符 的正交归一的正交归一完备函数系完备函数系 构成构成HilbertHilbert空间中的一组正交空间中的一组正交归归一一完备基矢。完备基矢。.任意态矢量任意态矢量 在在 表象中的表示表象中的表示是是一一列矩阵，列矩阵，矩阵元矩阵元 是态矢量是态矢量 在在 算符的本征矢算符的本征矢 上的投影。上的投影。3 3选取不同力学量选取不同力学量表象表象，就是选取不同完备正交基，就是选取不同完备正交基矢，态矢矢，态矢的的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表象波函数。表象波函数。希尔伯特希尔伯特(D.Hilbert)(18621943)德国数学家德国数学家,格廷根格廷根(哥廷根哥廷根)大学教授大学教授.希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派一。他领导了著名的哥廷根学派,使哥廷根大学成为使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。数学发展做出重大贡献的杰出数学家。在在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为为数学问题数学问题的著名讲演。的著名讲演。（二）（二）算符的矩阵表示算符的矩阵表示 力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示坐坐 标标 表表 象象动动 量量 表表 象象问问题题力学量算符力学量算符在在 表象中如表象中如何表示？何表示？在在坐坐标标表表象象中中，力力学学量量 F F 用用算算符符 表表示，设示，设 作用于作用于 得到得到 。（1）即即 选定力学量选定力学量 表象，表象，算符的算符的正交归一的本征函正交归一的本征函数数完备完备系记为系记为将将 和和 分别按函数系分别按函数系 展开展开代入坐标表象表达式（代入坐标表象表达式（1 1）以以 乘该式，对乘该式，对 全部范围积分全部范围积分Q Q表象的表表象的表达方式达方式记为记为矩阵矩阵 和和 分别是分别是波函数波函数 和和 在在Q Q 表象中表象中的形式。的形式。记为记为可可见见，算算符符 在在Q Q表表象象中中是是一一个个矩矩阵阵 ，其其矩矩阵元为阵元为讨讨 论论讨讨 论论1 1 是厄米矩阵是厄米矩阵证证即即 是厄米矩阵。是厄米矩阵。显而易见，对角矩阵元为实数显而易见，对角矩阵元为实数2 2力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵3 3当当 具具有有连连续续本本征征值值谱谱 时时，力力学学量量算算符符的的表表示示 在在Q Q 表象中仍是一个矩阵，不过其行列不再表象中仍是一个矩阵，不过其行列不再是可数的，故用连续变化的下脚标表示。是可数的，故用连续变化的下脚标表示。1 1归一化条件归一化条件（三）（三）量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述2 2、平平均均值值公公式式其中其中为算符为算符 的矩阵元的矩阵元在在 表象中：表象中：3 3、本征值方程、本征值方程（1 1）移项得移项得：（2 2）此式即为线性齐次方程组：此式即为线性齐次方程组：（m=1m=1，2 2，3 3）非零解的条件是系数行列式等于非零解的条件是系数行列式等于0 0，即久期方程：，即久期方程：求出本征值求出本征值将每个将每个 值分别代入矩阵方程（值分别代入矩阵方程（1 1）或（）或（2 2），求出），求出,即得本征函数即得本征函数 这样变解微分方程这样变解微分方程为解代数方程。为解代数方程。例例 已知在已知在 和和 的共同表象中，算符的共同表象中，算符 和和 的矩阵分别为的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数求它们的本征值和归一化的本征函数.解解设设 的本征值为的本征值为 ,本征波函数为本征波函数为 本征方程为本征方程为（1 1）要使本征波函数不为零，亦即要求要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,ca,b,c不全为零，不全为零，其条件是（其条件是（1 1）中的系数矩阵的行列式为零。）中的系数矩阵的行列式为零。久期方程久期方程本征值本征值 当当 时，时，由（由（2 2）有）有由归一化条件由归一化条件:归一化常数归一化常数归一化的波函数归一化的波函数当当 时时,由（由（2 2）有）有归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：当当 ,由（由（2 2）有：）有：归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：构成一个构成一个正交归一正交归一本征函数本征函数完备系完备系正交归一化条件：正交归一化条件：类似地类似地,可求出可求出 的本征值、归一化的本征函数的本征值、归一化的本征函数系。系。本征值本征值 本征波函数：本征波函数：正交归一化条件：正交归一化条件：4 4、薛定谔方程、薛定谔方程在在Q Q表象中，其矩阵形式为：表象中，其矩阵形式为：简写为：简写为：其中其中（四）（四）幺正变换幺正变换 讨论波函数和力学量从讨论波函数和力学量从一个表象一个表象变换到变换到另一个另一个表象表象的一般情况的一般情况1 1、幺正变换、幺正变换设算符设算符 的正交归一的正交归一本征函数系为本征函数系为 算符算符 的正交归一本的正交归一本征函数系为征函数系为为了找到为了找到 和和 的联系，将的联系，将 按按 展开展开：（1 1）（2 2）其展开系数为：其展开系数为：（3 3）（4 4）由由 为为矩矩阵阵元元所所构构成成的的矩矩阵阵称称为为变变换换矩矩阵阵。通通过过（1 1）和（）和（2 2）就把）就把 表象的基矢表象的基矢 变换为变换为 表象的基矢表象的基矢 。（1 1）（2 2）用矩阵表示为用矩阵表示为:可以证明从一组正交归一基到另一组正可以证明从一组正交归一基到另一组正交归一基的变换矩阵是幺正矩阵交归一基的变换矩阵是幺正矩阵结论结论:一个表象到另一个表象的变换是幺正一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。变换。2 2 力学量的表象变换力学量的表象变换力学量力学量 在表象在表象A A中的表示矩阵：中的表示矩阵：在表象在表象B B中的表示矩阵中的表示矩阵：此为力学量此为力学量 从表象从表象A A变换到表象变换到表象B B的变换公式的变换公式具体地可以写成具体地可以写成:3.3.态的表象变换态的表象变换 任意态矢量任意态矢量在在A A表象中：表象中：在在B B表象中：表象中：?如何变换如何变换两边左乘两边左乘 ,并对并对 积分积分 写成写成矩阵形式矩阵形式:简写为简写为从从B B表象变换到表象变换到A A表象表象 反之，反之，从从A A表象变换到表象变换到B B表象表象 其中其中方法方法 I：由由 S S 矩阵元的定义式：矩阵元的定义式：计算出全部矩阵元即可得到计算出全部矩阵元即可得到 S S 矩阵。矩阵。方法方法 II：如果我们已经知道了某一力学量基矢在另如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，那末我们就可以一力学量表象中的表示，那末我们就可以直接把直接把 S S 变换矩阵写出来。变换矩阵写出来。例例如如：A A 和和B B的的本本征征矢矢各各只只有有3 3个个，分分别别为为:1 1,2 2,3 3 和和 1 1,2 2,3 3 。1 1=S=S1 11 11 1+S+S2 12 12 2+S+S3 13 13 3 2 2=S=S1 21 21 1+S+S2 22 22 2+S+S3 23 23 3 3 3=S=S1 31 31 1+S+S2 32 32 2+S+S3 33 33 3如果如果 ,(=1,2,3)在在A表象中的表示表象中的表示 已知：已知：4.4.如何求么正如何求么正变换矩矩阵在在 A A 表象中，表象中，B B 的本征基矢可表示为：的本征基矢可表示为：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：就是由就是由 A A 表象到表象到 B B 表象的么正变换矩阵。表象的么正变换矩阵。1 1=S=S1 11 11 1+S+S2 12 12 2+S+S3 13 13 3 2 2=S=S1 21 21 1+S+S2 22 22 2+S+S3 23 23 3 3 3=S=S1 31 31 1+S+S2 32 32 2+S+S3 33 33 3（1 1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换不改变算符的本征值算符算符 在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为本征方程本征方程（1）在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为本征方程本征方程（2）比较比较(1)(1)、(2)(2)式式,可知可知本征值不变本征值不变4 4.幺幺正正变变换换的的几几个个重重要要性性质质（2 2）幺正变换不改变矩阵的迹）幺正变换不改变矩阵的迹 矩阵矩阵A A的对角元素之和称为矩阵的对角元素之和称为矩阵A A的迹，以的迹，以 表表示，则示，则 由此定义有由此定义有:故故 迹迹 不不 变变，的的 迹迹 等等 于于 的的 迹迹 设在在 A 表象中表象中对易关系：易关系：在在B表象表象对易关系在么正变换下保持不变对易关系在么正变换下保持不变4 4 幺正变换不改变厄密矩阵的厄密性幺正变换不改变厄密矩阵的厄密性设：A 表象表象B表象：表象：F=S-1 F S=S-1-1 F SF+=(=(S-1-1F S)+=S+F+(S-1-1)+=F3.对易关系在么正变换下保持不变对易关系在么正变换下保持不变（1 1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换不改变算符的本征值（2 2）幺正变换不改变矩阵的迹）幺正变换不改变矩阵的迹(3)对易关系在么正变换下保持不变对易关系在么正变换下保持不变(4)(4)幺正变换不改变厄密矩阵的厄密性幺正变换不改变厄密矩阵的厄密性幺正变换性质幺正变换性质（五）（五）Dirac符号符号在经典力学中，物理规律在经典力学中，物理规律与选择什么样的坐标系无与选择什么样的坐标系无关；关；同样在量子力学中，运动同样在量子力学中，运动规律与选择的表象无关。规律与选择的表象无关。Dirac引入一套不涉及具引入一套不涉及具体表象的符号系统来体表象的符号系统来表示波函数和力学量，称表示波函数和力学量，称为为Dirac符号。符号。一一、Dirac符符号号的的引引入入态矢量态矢量 微观体系的状态用一种矢量来表示，这种微观体系的状态用一种矢量来表示，这种矢量称为态矢量矢量称为态矢量 （一般是复矢量）（一般是复矢量）态态矢矢量量空空间间 由由一一切切可可能能的的态态矢矢量量所所构构成成的的一一种种抽抽象的线性空间，称为态矢量空间象的线性空间，称为态矢量空间 (希尔伯特空间希尔伯特空间)。表示态矢量空间中一个态矢量表示态矢量空间中一个态矢量,又称为又称为 右矢右矢(刃矢刃矢)表示对偶态矢量空间中一个态矢量表示对偶态矢量空间中一个态矢量,又又 称为称为左矢左矢(刁矢刁矢)在在右矢右矢、左矢左矢中加入符号，可用于表示某具体的态中加入符号，可用于表示某具体的态在在Q Q表象中的表示表象中的表示在在Q Q表象中的表示表象中的表示 表示波函数表示波函数 所描述的共轭状态所描述的共轭状态即即 表示波函数表示波函数 所描述的状态所描述的状态力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：坐标算符的本征态坐标算符的本征态 （为为 的本征值）的本征值）动量算符的本征态动量算符的本征态 （为为 的本征值）的本征值）能量算符的本征态能量算符的本征态 或或 （为为 本征值）本征值）角动量平方算符角动量平方算符 和分量算符和分量算符 的共同本征态的共同本征态 ，和和 为为 和和 本征值。本征值。二、标积二、标积二、标积二、标积 和和 是两类不同性质的矢量，不能相加，可以是两类不同性质的矢量，不能相加，可以 相乘相乘定义标积定义标积:和和 互为共轭复数：互为共轭复数：若若 ，则，则 与与 正交正交 若若 ，则则 是归一化的。是归一化的。若力学量算符若力学量算符 的本征矢记为的本征矢记为 ，本征值为本征值为则其正交归一化条件为则其正交归一化条件为 对连续分布的值谱，对连续分布的值谱，正交归一化条件为：正交归一化条件为：例例 坐标坐标算符算符的本征函数正交归一化条件：的本征函数正交归一化条件：动量动量算符算符的本征函数正交归一化条件：的本征函数正交归一化条件：和和 的共同本征函数正交归一化条件：的共同本征函数正交归一化条件：三三、态态矢矢量量在在具具体体表表象象中中的的表表示示分立谱情况分立谱情况：考虑考虑 表象，表象，的正交归一本征矢为的正交归一本征矢为 任意态矢任意态矢 按按 展开展开 是是 在基矢在基矢 上的分量，上的分量，构成构成 在在Q Q表象中的表示。表象中的表示。由由(1)(1)由于态矢由于态矢 是任意的，由上式给出。是任意的，由上式给出。基矢的封闭性关系基矢的封闭性关系 连续连续谱谱情况：情况：基矢用基矢用 表示表示利用利用 可得可得封闭性关系：封闭性关系：Ex.坐标本征函数坐标本征函数 的封闭性的封闭性Ex.动量本征函数动量本征函数 的封闭性的封闭性有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：标标 积积 关关 系系分立谱情况：分立谱情况：连续谱情况连续谱情况例如坐标表象例如坐标表象 总结总结（1 1）X X 表象描述与表象描述与 DiracDirac 符号符号DiracDirac 符号符号 项目目X X 表象表象