资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，，、，…是分别以、、，…为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数（）的图象上.则的值为（ ）
A． B．6 C． D．
2．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（ ）
A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
3．一组数据1，2，3，3，4，1．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
5．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =" 4" cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
6．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为( )
A．5sinA B．5cosA C． D．
8．如图，直线////，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
9．如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，EH∥BC，则四边形的面积是的面积的：( )
A． B． C． D．
10．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A．； B．； C．； D．．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
12．如图，已知等边的边长为，顶点在轴正半轴上，将折叠，使点落在轴上的点处，折痕为.当是直角三角形时，点的坐标为__________．
13．如果二次根式有意义，那么的取值范围是_________．
14．如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC，若AD2＝AB•DC，则OD＝__．
15．一元二次方程的解是 ．
16．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____．
17．若关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为__________.
18．方程（x+5）2＝4的两个根分别为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．
（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
20．（6分）（1）计算
（2）解方程.
21．（6分）已知点M(2，a)在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点M关于原点中心对称的点N在一次函数y＝﹣2x+8的图象上，求此反比例函数的解析式．
22．（8分）如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点、，与交于点．
备用图
⑴求抛物线的函数解析式；
⑵点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．求关于的函数表达式；
⑶抛物线的顶点为，对称轴为直线，当最大时，在直线上，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）其中A代表湘江源，B代表百叠岭，C代表塔下寺，D代表三分石．
（1）请你设计一种较好的方式（统计图），表示以上数据；
（2）同学们最喜欢去的地点是哪里？
24．（8分）温州某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产件甲或件乙，甲产品每件可获利元.根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于件，当每天生产件时，每件可获利元， 每增加件，当天平均每件利润减少元.设每天安排人生产乙产品.
根据信息填表：
产品种类
每天工人数(人)
每天产量(件)
每件产品可获利润(元)
甲
__________
_____________
乙
_____________
若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润.
25．（10分）为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，1，1．
（1）填写下表：
平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华
8
小亮
8
3
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
26．（10分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2 ＝____；
同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3 ＝__________；
如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4 ＝___________；
……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n ＝_________．
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =_________．
（理论推导）
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①
将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②
由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．
即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1
根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n 的表达式，写出推导过程．
（规律应用）
（3）比较＋＋＋…… __________1（填“”、“”或“=”）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】过点分别作x轴的垂线，垂足分别为，得出△为等腰直角三角形，进而求出，再逐一求出，…的值，即可得出答案.
【详解】如图，过点分别作x轴的垂线，垂足分别为
∵△为等腰直角三角形，斜边的中点在反比例函数的图像上
∴(2,2)，即
∴
设，则
此时(4+a,a)
将(4+a,a)代入得a(4+a)=4
解得或(负值舍去)
即
同理，，…，
∴
故答案选择A.
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上求出y的值.
2、A
【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得，化简得b＝a＋c，故选A.
【详解】请在此输入详解！
3、D
【解析】A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+1) ÷6=3;
添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3) ÷7=3;
∴平均数不发生变化.
B. ∵原众数是：3；
添加一个数据3后的众数是：3；
∴众数不发生变化；
C. ∵原中位数是：3；
添加一个数据3后的中位数是：3；
∴中位数不发生变化；
D. ∵原方差是：；
添加一个数据3后的方差是：；
∴方差发生了变化.
故选D.
点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
4、B
【解析】试题分析：A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
考点：三角形外心
5、B
【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．
【详解】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故选：B．
6、A
【分析】根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．
【详解】图1中阴影部分的面积为：，
图2中的面积为：，
则
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．
7、C
【解析】根据三角函数即可解答.
【详解】解：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，
故＝sinA ,
故AB＝ ，选C.
【点睛】
本题考查正弦函数，掌握公式是解题关键.
8、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
【详解】解：∵////,
∴ ,
∵AB=6，BC=9，EF=6,
∴,
∴DE=4
故选：A
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.
9、B
【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG与S△ABC的面积比，从而表示出S△AEH、S△AFG，再求出四边形EFGH的面积即可．
【详解】∵在矩形中FG∥EH，且EH∥BC，
∴FG∥EH∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∵AB被截成三等分，
∴，，
∴S△AEH：S△ABC=1：9，S△AFG：S△ABC=4：9，
∴S△AEH=S△ABC，S△AFG=S△ABC，
∴S四边形EFGH= S△AFG－S△AEH=S△ABC－S△ABC=S△ABC.
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，明确面积比等于相似比的平方是解题的关键.
10、B
【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误；
、符合向量的长度及方向，正确；
、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了向量的性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
12、，
【解析】当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E＝AE，且A′E＋OE＝OA＝，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长,据此可求出A′的坐标；当∠A’EO=90°时，△A′EO是直角三角形，设OE=x,则AE=A’E=-x,根据三角函数的关系列出方程即可求解x,从而求出A’的坐标.
【详解】当A′E∥x轴时，△OA′E是直角三角形，
故∠A′OE＝60°，A′E＝AE，
设A′的坐标为（0，b），
∴AE＝A′E＝A’Otan60°=b，OE＝2b，
b＋2b＝2＋，
∴b＝1，A′的坐标是（0，1）；
当∠A’EO=90°时，△A′EO是直角三角形，
设OE=x,则AE=A’E=-x,
∵∠AOB=60°，∴A’E=OEtan60°=x=-x
解得x=
∴A’O=2OE=
∴A’（0，）
综上，A’的坐标为，.
【点睛】
此题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟知等边三角形的性质、三角函数的应用.
13、x≤1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：二次根式有意义，则1-x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14、．
【分析】
可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO=∠ABD，OA=OC，∠OAC=∠ACO=∠ABD，∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；依据对应边成比例，设OD=x，表示出AB、AD，根据AD2=AB•DC，列方程求解即可．
【详解】
在△AOB和△AOC中，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OA＝OA，
∴∠ACO＝∠OAD，
∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
∴，
设OD＝x，则BD＝1+x，
∴，
∴OD，AB，
∵DC＝AC﹣AD＝AB﹣AD，AD2＝AB•DC，
（）2═（），
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x或x（舍去），
因此AD，
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法．
15、±1．
【解析】试题分析：∵x1-4=0
∴x=±1．
考点：解一元二次方程-直接开平方法．
16、2:1
【解析】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．
故答案为2：1.
点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
17、0
【解析】把x＝1代入方程得，，
即，
解得.
此方程为一元二次方程，
，
即，
故答案为0.
18、x1＝﹣7，x2＝﹣3
【分析】直接开平方法解一元二次方程即可.
【详解】解：∵（x+5）2＝4，
∴x+5＝±2，
∴x＝﹣3或x＝﹣7，
故答案为：x1＝﹣7，x2＝﹣3
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法中的直接开平方法，要求理解直接开平方法的适用类型，以及能够针对不同类型的题选用合适的方法进行计算.
三、解答题(共66分)
19、（1）①105°，②见解析；（2）
【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，
②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．
②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．
∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，
∴∠CEA′＝120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴＝，
∴＝，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′CF是等边三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM是等边三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．
由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称，
∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝CB′＝1，CM＝，
∴AB′＝＝＝．
∴PA+PF的最小值为．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大．
20、（1）-6；（2）
【分析】（1）首先分别利用负指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，然后计算加减法即可；
（2）直接分解因式即可解方程．
【详解】（1）解：原式
（2）解：
或
【点睛】
本题分别考查了实数的混合运算及利用因式分解法解一元二次方程，实数的混合运算的关键是熟练掌握实数混合运算的法则，解方程的关键是会进行因式分解．
21、y＝﹣
【分析】由点M与点N关于原点中心对称，可表示出点N的坐标，代入一次函数的关系式，可求得a的值，确定点M的坐标，再代入反比例函数的关系式求出k的值即可．
【详解】∵点M(2，a)，点M与点N关于原点中心对称，
∴N(﹣2，﹣a)代入y=﹣2x+8得：
﹣a=4+8，
∴a=﹣12，
∴M(2，﹣12)代入反比例函数y=得，
k=﹣24，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入相应的函数关系式是常用的方法．
22、（1）；（2）；（3）点的坐标为，
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）根据特殊角的三角函数值，得到，过点作与点，则，然后根据面积公式，即可得到答案；
（3）由（2）可知，当时，取最大值，得到点Q的坐标，然后求出点D和点F的坐标，再根据平行四边形的性质，有，然后列出等式，即可求出点M的坐标.
【详解】解：（1）经过、两点
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2），，
，
∴，
，
过点作于点，则
∴，
；
（3）存在符合条件的点，理由如下：
由⑵得，，
∴当时，取最大值，此时，，
又∵点在抛物线上；
当时，，
的坐标为，的坐标为.
设的坐标为，则
∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形.
由，
解得：或；
∴符合条件的点的坐标为：，.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，求二次函数的解析式，平行四边形的性质，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练运用数形结合的思想进行解题.
23、（1）条形图，见解析；（2）A湘江源头
【分析】（1）根据统计表中的数据绘制条形统计图即可；
（2）根据统计表中的信息即可得到结论．
【详解】（1）利用条形图表示：
（2）由统计表知同学们最喜欢的地点是：A湘江源头．
【点睛】
本题考查了统计的问题，掌握统计的定义以及应用、条形图的绘制方法是解题的关键．
24、 (1)65-x，130-2x，130-2x；(2)每件乙产品可获得的利润是元.
【分析】（1）根据题意即可列出代数式；
（2）根据题意列出方程即可求解.
【详解】解:由己知，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品
件.在乙每件元获利的基础上，增加人，利润减少元每件，则乙产品的每件利润为.
故答案为:
由题意
解得(不合题意，舍去)
(元)
答:每件乙产品可获得的利润是元
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.
25、（1）8，8，；（2）选择小华参赛．（3）变小
【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:=8,
小华射击命中的方差:,
小亮射击命中的中位数:；
（2）解：∵小华＝小亮，S2小华＜S2小亮
∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．
（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．
26、（1）；；；()n；1 - ()n ；（2）+()2+()3+…+()n = 1-()n，推导过程见解析；（3）=
【分析】（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解
（2）根据材料中的计算求和的方法即可求解；
（3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小．
【详解】解：（1）S阴影2＝1－－()2=1-==，
S阴影3＝1－－()2－()3=1-==，
S阴影4＝1－－()2－()3－()4==，
⋯
S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n=()n，
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =1 - ()n
故答案为：；；；()n；1 - ()n
（2）解：设S = +()2+()3+…+()n， ①
将①×得：S = ()2+()3 +)4 …+()n + ()n+1 ，②
①－②得：S = - ()n+1 ，③
将③×2得：S = 1-()n
即得+()2+()3+…+()n = 1-()n
（3）=，理由如下：
∵＋＋＋……=1-()n ，当n越来越大时，()n越来越小，越来越接近零，由极限的思想可知：当n趋于无穷时，()n就等于0，故1-()n就等于1，
故答案为：=
【点睛】
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．
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