资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛 B．守株待兔
C．明天是晴天 D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球.
2．若是方程的解，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
4．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，于点D，，，则AD的长是（ ）
A．1. B． C．2 D．4
6．如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
8．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( )
A． B． C． D．
9．如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图,在△ABC中,D,E分别是AC,BC边上的中点,则三角形CDE的面积与四边形ABED的面积比等于 ____________
12．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程________．
13．已知关于x的一元二次方程x2+px-3=0的一个根为-3，则它的另一根为________.
14．抛物线y=x2-2x+3，当-2≤x≤3时，y的取值范围是__________
15．如图，等腰直角的顶点在正方形的对角线上，所在的直线交于点，交于点，连接，. 下列结论中，正确的有_________ （填序号）.
①；②是的一个三等分点；③；④；⑤.
16．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____．
17．二次函数图象的开口向__________．
18．如图，是一个立体图形的三种视图，则这个立体图形的体积为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
20．（6分）如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交 于点.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
21．（6分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值．
（3）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，请求出点N的坐标．
22．（8分）已知抛物线的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；
（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标.
23．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：.
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
25．（10分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，1．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，2．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．
（2）求点A落在第三象限的概率．
26．（10分）先化简，再求值：,其中a=2.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，不符合题意；
守株待兔是随机事件，不符合题意；
明天是晴天是随机事件，不符合题意
在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件，D符合题意.
故选：D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、A
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解，把x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝1得，a＋b＋c＝1．
【详解】∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝1的解，
∴将x＝1代入方程得a＋b＋c＝1，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝1中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a＋b＋c＝1；x＝−1时，a−b＋c＝1．
3、A
【解析】∵⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故答案为：A．
4、C
【解析】在半径AO上运动时，s=OP1=t1；在弧BA上运动时，s=OP1=4；在BO上运动时，s=OP1=（4π+4-t）1，s也是t是二次函数；即可得出答案．
【详解】解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s=OP1=t1；
在弧AB上运动时，s=OP1=4；
在OB上运动时，s=OP1=（1π+4-t）1．
结合图像可知C选项正确
故选：C．
【点睛】
此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s与时间t之间的函数关系是解决问题的关键．
5、D
【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∵CD=2，BD=1，
∴ ，
∴AD=4.
故选D.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD∽△CBD.
6、A
【详解】是同弧所对的圆周角和圆心角，，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50°
【点睛】
本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答
7、B
【分析】把一元二次方程转换成一般式：（），再根据求根公式：，将相应的数字代入计算即可．
【详解】解：由题得：
∴一元二次方程有两个相等的实数根
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的一般式和求根公式，掌握一般式和求根公式是解题的关键．
8、D
【解析】试题分析：列表如下
黑
白1
白2
黑
（黑，黑）
（白1，黑）
（白2，黑）
白1
（黑，白1）
（白1，白1）
（白2，白1）
白2
（黑，白2）
（白1，白2）
（白2，白2）
由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是．故答案选D．
考点：用列表法求概率．
9、C
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是1．
故选：．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
10、A
【解析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴sinB=
故选A．
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1:3
【分析】根据中位线的定义可得：DE为△ABC的中位线，再根据中位线的性质可得DE∥AB，且，从而证出△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出三角形CDE的面积与四边形ABED的面积比.
【详解】解：∵D,E分别是AC,BC边上的中点,
∴DE为△ABC的中位线
∴DE∥AB，且
∴△CDE∽△CAB
∴
∴
故答案为：1:3.
【点睛】
此题考查的是中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握中位线的性质、用平行证相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.
12、25(1－x)²＝16
【解析】试题分析：对于增长率和降低率问题的一般公式为：增长前数量×=增长后的数量，降低前数量×=降低后的数量，故本题的答案为：
13、1
【分析】根据根与系数的关系得出−3x＝−6，求出即可．
【详解】设方程的另一个根为x，
则根据根与系数的关系得：−3x＝−3，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
14、
【分析】先把一般式化为顶点式，根据二次函数的最值，以及对称性，即可求出y的最大值和最小值，即可得到取值范围.
【详解】解：∵，
又∵，
∴当时，抛物线有最小值y=2；
∵抛物线的对称轴为：，
∴当时，抛物线取到最大值，
最大值为：；
∴y的取值范围是：；
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15、①②④
【分析】根据△CBE≌△CDF即可判断①；由△CBE≌△CDF得出∠EBC=∠FDC=45°进而得出△DEF为直角三角形结合即可判断②；判断△BEN是否相似于△BCE即可判断③；根据△BNE∽△DME即可判断④；作EH⊥BC于点H得出△EHC∽△FDE结合tan∠HEC=tan∠DFE=2，设出线段比即可判断⑤.
【详解】∵△CEF为等腰直角三角形
∴CE=CF，∠ECF=90°
又ABCD为正方形
∴∠BCD=90°，BC=DC
又∠BCD=∠BCE+∠ECD
∠ECF=∠ECD+∠DCF
∴∠DCF=∠BCE
∴△CBE≌△CDF(SAS)
∴BE=DF，故①正确；
∴∠EBC=∠FDC=45°
故∠EDF=∠EDC+∠FDC=90°
又
∴E是BD的一个三等分点，故②正确；
∵
∴
即判定△BEN∽△BCE
∵△ECF为等腰直角三角形，BD为正方形对角线
∴∠CFE=45°=∠EDC
∴∠CFE+∠MCF=∠EDC+∠DEM
∴∠MCF=∠DEM
然而题目并没有告诉M是EF的中点
∴∠ECM≠∠MCF
∴∠ECM≠∠DEM≠∠BNE
∴不能判定△BEN∽△BCE
∴不能得出进而不能得出，故③错误；
由题意可知△BNE∽△DME
又BE=2DE
∴BN=2DM，故④正确；
作EH⊥BC于点H
∵∠MCF=∠DEM
又∠HCE=∠DCF
∴∠HCE=∠DEM
又∠EHC=∠FDE=90°
∴△EHC∽△FDE
∴tan∠HEC=tan∠DFE=2
可设EH=x，则CH=2x
EC=
∴sin∠BCE=，故⑤错误；
故答案为①②④.
【点睛】
本题考查的是正方形综合，难度系数较大，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质以及方程的思想等，需要熟练掌握相关基础知识.
16、1或﹣1
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣1)(x+2)=0，
解得：x1=1，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+1)(x﹣2)=0，
解得：x1=﹣1，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点睛】
考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
17、下
【分析】根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向．
【详解】解：∵，二次项系数a=-6，
∴抛物线开口向下，
故答案为：下．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
18、
【分析】根据该立体图形的三视图可判断该立体图形为圆柱，且底面直径为8，高为8，根据圆柱的体积公式即可得答案．
【详解】∵该立体图形的三视图为两个正方形和一个圆，
∴该立体图形为圆柱，且底面直径为8，高为8，
∴这个立体图形的体积为×42×8=128，
故答案为：128
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体；利用该几何体的三视图得到该几何体底面半径、高是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（2）；（2）t=2或2；（3）（）．
【分析】（2）由等边三角形OAB得出∠ABC=92°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，AC=6，求出BC即可；
（2）需要分类讨论：△PHQ∽△ABC和△QHP∽△ABC两种情况；
（3）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及，表示出OE的长，利用m=BE=OB﹣OE求出即可．
【详解】（2）如图l，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC=∠AOB=62，∵BC⊥AB，∴∠ABC=92°，∴∠ACB=32°，∠OBC=32°，∴∠ACB=∠OBC，∴CO=OB=AB=OA=3，∴AC=6，∴BC=AC=；
（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH=AQ•sin62°=．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，，即：，解得，t=2．
同理，当△QHP∽△ABC时，t=2．
综上所述，t=2或t=2；
（3）如图2，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，∴∠QNA=∠BOA=62°=∠QAN，∴QN=QA，∴△AQN为等边三角形，∴NQ=NA=AQ=3﹣t，∴ON=3﹣（3﹣t）=t，∴PN=t+t=2t，∴OE∥QN，∴△POE∽△PNQ，∴，∴，∴，∵EF∥x轴，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=32°，∴EF=BE，∴m=BE=OB﹣OE=（2＜t＜3）．
考点：相似形综合题．
20、（1）详见解析；（2）36°
【分析】（1）连接OP，由已知条件证明，可推出；（2）设，因为OD=DC推出，由OP=OC推出，根据三角形内角和解关于x的方程即可；
【详解】（1）证明：连接OP.
∵，
∴PA=PC，
在中，
∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
【点睛】
本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键.
21、（1）y＝﹣x2+﹣x+2；（2）；（3）N点的坐标为：或（）或（﹣）或（﹣）或（﹣）或或（﹣）
【分析】(1)根据对称轴公式列出等式,带点到抛物线列出等式,解出即可;
(2)先求出A、B、C的坐标,从而求出D的坐标算出BD的解析式,根据题意画出图形,设出P、G的坐标代入三角形的面积公式得出一元二次方程,联立方程组解出即可;
(3)分类讨论①当AM是正方形的边时，(ⅰ)当点M在y轴左侧时(N在下方), (ⅱ)当点M在y轴右侧时,②当AM是正方形的对角线时,分别求出结果综合即可．
【详解】(1)抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，与x轴交于点B(1，0)．
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+﹣x+2；
(2)抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
∴A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，2)．
∵点D为线段AC的中点，
∴D(﹣2，1)，
∴直线BD的解析式为：，
过点P作y轴的平行线交直线EF于点G，如图1，
设点P(x，)，则点G(x，)．
∴，
当x＝﹣时，S最大，即点P(﹣，)，
过点E作x轴的平行线交PG于点H，
则tan∠EBA＝tan∠HEG＝，
∴，故为最小值，即点G为所求．
联立 解得，(舍去)，
故点E(﹣,)，
则PG﹣的最小值为PH＝．
(3)①当AM是正方形的边时，
(ⅰ)当点M在y轴左侧时(N在下方)，如图2，
当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH于点G，过点N作HN⊥GH于点H，
∴∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，
∴∠GMA＝∠HAN，
∵∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，
∴△AGM≌△NHA(AAS)，
∴GA＝NH＝1﹣，AH＝GM，
即y＝﹣，
解得x＝，
当x＝时，GM＝x﹣(﹣1)＝，yN＝﹣AH＝﹣GM＝，
∴N(,)．
当x＝时，同理可得N(,)，
当点M在第三象限时，同理可得N(,)．
(ⅱ)当点M在y轴右侧时，如图3，
点M在第一象限时，过点M作MH⊥x轴于点H
设AH＝b，同理△AHM≌△MGN(AAS)，
则点M(﹣1+b，b﹣)．
将点M的坐标代入抛物线解析式可得：b＝(负值舍去)
yN＝yM+GM＝yM+AH＝，
∴N(﹣,)．
当点M在第四象限时，同理可得N(﹣,-)．
②当AM是正方形的对角线时，
当点M在y轴左侧时，过点M作MG⊥对称轴于点G，
设对称轴与x轴交于点H，如图1．
∵∠AHN＝∠MGN＝90°，∠NAH＝∠MNG，MN＝AN，
∴△AHN≌△NGN(AAS)，
设点N(﹣,π)，则点M(﹣,)，
将点M的坐标代入抛物线解析式可得, (舍去)，
∴N(,)，
当点M在y轴右侧时，同理可得N(,)．
综上所述：N点的坐标为：或()或(﹣)或(﹣)或(﹣)或或(﹣)．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合题型,关键在于熟练掌握设数法,合理利用相似全等等基础知识．
22、 (1)y=x2﹣2x﹣3；(2)(1，－4)
【分析】（1）将两点代入列出关于b和c的二元一次方程组，然后进行求解；
（2）根据二次函数的顶点坐标的求法进行求解．
【详解】解：（1）把（﹣1，0），（3，0）代入y=x2+bx+c（a≠0）得
，解得
∴所求函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴=﹣=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
考点：待定系数法求函数解析式、二次函数顶点坐标的求法．
23、 (1)0；(2) ，.
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【详解】解：（1）原式
.
（2），
在这里，，.
，
∴，
∴，.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−公式法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24、（1）；（2）或．
【分析】（1）把已知的两点代入解析式即可求出二次函数的解析式；（2）由抛物线的对称性与图形即可得出时的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线 与轴、轴的交点分别为和，
∴．
解得： ．
∴抛物线的表达式为：．
（2）二次函数图像如下，由图像可知，当时，的取值范围是或．
【点睛】
此题主要考察二次函数的应用.
25、（1）（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2），（1，﹣2），（﹣7，1），（﹣1，1），（1，1），（﹣7，2），（﹣1，2），（1，2）；（2）.
【分析】列表法或树状图法，平面直角坐标系中各象限点的特征，概率．
（1）直接利用表格或树状图列举即可解答．
（2）利用（1）中的表格，根据第三象限点（－，－）的特征求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．
【详解】解：（1）列表如下：
﹣7
﹣1
1
﹣2
（﹣7，﹣2）
（﹣1，﹣2）
（1，﹣2）
1
（﹣7，1）
（﹣1，1）
（1，1）
2
（﹣7，2）
（﹣1，2）
（1，2）
点A（x，y）共9种情况．
（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2）两种情况，
∴点A落在第三象限的概率是．
26、，2
【分析】先根据分式的运算顺序和运算法则化简原式，再将a=2代入计算即可；
【详解】解：原式=
；
当a=2时，原式值=；
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键.
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