资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点;将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点.···如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的布袋中有红色、黑色的球共10个，它们除颜色外其余完全相同．小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，则口袋中黑球的个数很可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
4．如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A(3，0)，顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线y=－x2－5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
6．如图是二次函数y =ax2+bx + c(a≠0)图象如图所示，则下列结论，①c<0，②2a + b=0；③a+b+c=0，④b2–4ac<0，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
7．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图,已知双曲线上有一点,过作垂直轴于点,连接,则的面积为( )
A． B． C． D．
9．下列几何体的左视图为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
10．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ▲ ．
12．某中学去年举办竞赛，颁发一二三等奖各若干名，获奖人数依次增加，各获奖学生获得的奖品价值依次减少（奖品单价都是整数元），其中有3人获得一等奖，每人获得的奖品价值34元，二等奖的奖品单价是5的倍数，获得三等奖的人数不超过10人，并且获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同.今年又举办了竞赛，获得一二三等奖的人数比去年分别增加了1人、2人、3人，购买对应奖品时发现单价分别上涨了6元、3元、2元.这样，今年购买奖品的总费用比去年增加了159元.那么去年购买奖品一共花了__________元.
13．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共______人.
14．二次函数向左、下各平移个单位，所得的函数解析式_______．
15．一元二次方程的根是_____．
16．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.
17．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______．
18．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知二次函数（是常数）.
（1）当时，求二次函数的最小值；
（2）当，函数值时，以之对应的自变量的值只有一个，求的值；
（3）当，自变量时，函数有最小值为-10，求此时二次函数的表达式．
20．（6分）如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5）、B（﹣2，0）、C（﹣4，3）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1：
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴的左侧画出△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
22．（8分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
23．（8分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为40米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为102平方米，求x；
(2)若使这个苗圃园的面积最大，求出x和面积最大值.
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝1．
（1）求⊙O半径；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
25．（10分）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°
26．（10分）如图，在等腰中，，以为直径的，分别与和相交于点和，连接.
（1）求证：；
（2）求证：.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．
【详解】∵一段抛物线：，
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（6，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得Cn．
∴Cn的与x轴的交点横坐标为（6n，0），（6n+3，0），
∴在C337，且图象在x轴上方，
∴C337的解析式为：，
当时，．
即，
故答案为D.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
2、C
【分析】根据题意得出摸出黑球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．
【详解】∵小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，
∴口袋中黑球的个数可能是10×60%＝6个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3、B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】由题意知：，，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，．
4、C
【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数．
【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图：
∵，
∴
∴
∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心
∴，
∵
∴
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单．
5、B
【分析】根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、C，即可得出点C的横坐标，由菱形的性质可得出AD=AB=BC=1，再根据勾股定理可求出OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵抛物线y=-x2-1x+c经过点B、C，且点B在y轴上，BC∥x轴，
∴点C的横坐标为-1．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=1，
∴点D的坐标为（-2，0），OA=2．
在Rt△ABC中，AB=1，OA=2，
∴OB=，
∴S菱形ABCD=AD•OB=1×4=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二次函数的性质、菱形的性质结合勾股定理求出AD=1、OB=4是解题的关键．
6、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①抛物线与y轴交于负半轴，则c＜1，故①正确；
②对称轴x1，则2a+b=1．故②正确；
③由图可知：当x=1时，y=a+b+c＜1．故③错误；
④由图可知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞1．故④错误．
综上所述：正确的结论有2个．
故选B．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7、C
【分析】根据排列组合，求出最后两位数字共存在多少种情况，即可求解一次解锁该手机密码的概率．
【详解】根据题意，我们只需解锁后两位密码即可，两位数字的排列有 种可能
∴一次解锁该手机密码的概率是
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了排列组合的问题，掌握排列组合的公式是解题的关键．
8、B
【分析】根据已知双曲线上有一点,点纵和横坐标的积是4，的面积是它的二分之一，即为所求.
【详解】解：∵双曲线上有一点，设A的坐标为(a,b),
∴b=
∴ab=4
∴的面积==2
故选：B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质和三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9、C
【解析】分析：找到每个几何体从左边看所得到的图形即可得出结论．
详解：A．球的左视图是圆；
B．圆台的左视图是梯形；
C．圆柱的左视图是长方形；
D．圆锥的左视图是三角形．
故选C．
点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握每个几何体从左边看所得到的图形.
10、A
【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：1，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)
∴它们的周长之比为1：1．
故选A．
【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】利用垂径定理和中位线的性质即可求解.
【详解】∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，
∴CD是△APB的中位线，
∴CD=AB=×8=1．
故答案为1
12、257
【分析】根据获奖人数依次增加，获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同，以及二等奖奖品单价为5的倍数，可知二等奖的单价为10或15，分别讨论即可得出答案.
【详解】设二等奖人数为m，三等奖人数为n，二等奖单价为a，三等奖单价为b，根据题意列表分析如下：
一等奖
二等奖
三等奖
去年
获奖人数
3
m
n
奖品单价
34
a
b
今年
获奖人数
3+1=4
m+2
n+3
奖品单价
34+6=40
a+3
b+2
∵今年购买奖品的总费用比去年增加了159元
∴
整理得
∵，，为5的倍数
∴的值为10或15
当时，，
代入得，
解得
不符合题意，舍去；
当时，有3种情况：
①，，代入得
，解得，符合题意
此时去年购买奖品一共花费元
②，，代入得
，解得，不符合题意，舍去
③，，代入得
，解得，不符合题意，舍去
综上可得，去年购买奖品一共花费257元
故答案为：257.
【点睛】
本题考查了方程与不等式的综合应用，难度较大，根据题意推出的取值，然后分类讨论是解题的关键.
13、1
【解析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．
【详解】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=1，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有1人．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．
14、
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】二次函数向左平移2个单位所得的函数解析式为，再向下平移2个单位所得的函数解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移规律，掌握理解二次函数图象的平移规律是解题关键．
15、
【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：或，
所以．
故答案为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
16、
【解析】分析：设勾为2k，则股为3k，弦为k，由此求出大正方形面积和阴影区域面积，由此能求出针尖落在阴影区域的概率．
详解：设勾为2k，则股为3k，弦为k，
∴大正方形面积S=k×k=13k2，
中间小正方形的面积S′=（3−2）k•（3−2）k=k2，
故阴影部分的面积为：13 k2-k2=12 k2
∴针尖落在阴影区域的概率为:．
故答案为．
点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
17、50°
【解析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，
∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查圆周角定理，题目比较简单．
18、
【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得b2-4ac=0，方程化为一般形式后代入求解即可.
【详解】原方程化为一般形式为：mx2+(2m+1)x=0，
∵方程有两个相等的实数根
∴（2m+1）2-4m×0=0
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
三、解答题(共66分)
19、 (1)当x=2时，；(2) b=±3； (3)或
【分析】（1）将代入并化简，从而求出二次函数的最小值；
（2）根据自变量的值只有一个，得出根的判别式 ，从而求出的值；
（3）当，对称轴为x=b，分b<1、、三种情况进行讨论，从而得出二次函数的表达式．
【详解】（1）当b=2，c=5时，
∴ 当x=2时，
（2） 当c=3，函数值时，
∴
∵对应的自变量的值只有一个，
∴ ，
∴ b=±3
（3） 当c=3b时，
∴ 抛物线对称轴为：x=b
① b<1时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增大，
∴ 当x=1时，y最小.
∴
∴ b=﹣11
② ，当x=b时， y最小.
∴
∴ ， （舍去）
③ 时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而 减小，
∴当x=5时， y最小.
∴ ，
∴ b=5（舍去）
综上可得： b=﹣11或b=5
∴二次函数的表达式：或
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和应用，掌握根的判别式、二次函数的性质和解二次函数的方法是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
【详解】（1）连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵DC=BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB=AC．
（2）连接OD；
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
考点：切线的判定
21、（1）详见解析；（2）图详见解析，．
【分析】（1）利用关于y轴的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以得到A2、B2、C2的坐标，再描点得到△A2B2C2，然后计算△ABC的面积，再把△ABC的面积乘以得到△A2B2C2的面积．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
△ABC的面积＝3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝，
所以△A2B2C2的面积＝×＝
【点睛】
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22、（1）y＝﹣x+150（0＜x≤90）；（2）70
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得
，解得．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（0＜x≤90）；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）＝4000，
解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）．
答：该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出方程．
23、 (1)x=17；(2)当x=11米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为198平方米.
【分析】（1）根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设苗圃园的面积为y平方米，用x表达出y,得到二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积的最大值，注意考虑是否符合实际情况．
【详解】(1)解：根据题意得：，
解得： 或，
∵，
∴，
∴
(2)解：设苗圃园的面积为y平方米，则y=x(40﹣2x)=﹣2x2+40x =
∵二次项系数为负，∴苗圃园的面积y有最大值.
∴当x=10时，即平行于墙的一边长是20米， 20＞18，不符题意舍去；
∴当x=11时，y最大=198平方米；
答：当x=11米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为198平方米.
【点睛】
本题主要考察一元二次方程的实际问题及二次函数的实际问题，解题的关键是能够列出方程或函数表达式，熟练运用二次函数的性质解决实际问题．
24、（1）半径为6；（2）见解析
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，证明AD⊥BC，结合DC＝BD可得AB=AC=1，则半径可求出；
（2）连接OD，先证得∠AED＝90°，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，由平行线的性质，得出OD⊥DE，则结论得证．
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AB＝AC＝1，
∴⊙O半径为6；
（2）证明：连接OD，
∵∠CDE＝∠DAC，
∴∠CDE+∠ADE＝∠DAC+∠ADE，
∴∠AED＝∠ADB，
由（1）知∠ADB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵DC＝BD，OA＝OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴半径OD⊥EF．
∴DE为⊙O的切线．
【点睛】
本题考查切线的判定，圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
25、3﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°
＝2×+4××﹣
＝1+2﹣
＝3﹣．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
26、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，从而得出，最后根据平行线的判定即可证出结论；
（2）连接半径，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而得出，最后根据在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等即可证出结论．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
连接半径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质和平行线的判定及性质，掌握在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等、等边对等角和平行线的判定及性质是解决此题的关键．
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