资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校800名学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
下面有四个推断：
①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A支付的概率为0.3；
②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.45；
③估计全校仅使用B支付的学生人数为200人；
④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为800元．
其中合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
3．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
5．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
9．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是（ ）边形
A．6 B．7 C．8 D．9
10．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．等边三角形 B．圆 C．等腰梯形 D．直角三角形
11．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC
C．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是_________．
14．函数y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥3）的最大值是_____．
15．抛物线（a>0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，则a的取值范围是____．
16．如图，正方形的顶点、在圆上，若，圆的半径为2，则阴影部分的面积是__________．（结果保留根号和）
17．如图，是等腰直角三角形，，以BC为边向外作等边三角形BCD，，连接AD交CE于点F，交BC于点G，过点C作交AB于点下列结论：；∽；；则正确的结论是______填序号
18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=1．
21．（8分）如图，是平行四边形的对角线，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
22．（10分） “渝黔高速铁路”即将在2017年底通车，通车后，重庆到贵阳、广州等地的时间将大大缩短.9月初，铁路局组织甲、乙两种列车在该铁路上进行试验运行，现两种列车同时从重庆出发，以各自速度匀速向A地行驶，乙列车到达A地后停止，甲列车到达A地停留20分钟后，再按原路以另一速度匀速返回重庆，已知两种列车分别距A地的路程y(km)与时间x(h)之间的函数图象如图所示.当乙列车到达A地时，则甲列车距离重庆_____km.
23．（10分）如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC绕点B逆时针旋转后与△BEA重合
（1）求△BEF的形状
（2）若∠BFC=90°，说明AE∥BF
24．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点 的坐标为．
（1）画出关于 轴对称的；写出顶点的坐标（ ， ），（ ， ）．
（2）画出将绕原点 按顺时针旋转 所得的；写出顶点的坐标（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
（3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标．
25．（12分）（8分）向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
26．如图，为⊙的直径，为⊙上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）与⊙有怎样的位置关系？请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2、B
【分析】先把样本中的仅使用A支付的概率，A，B两种支付方式都使用的概率分别算出，再来估计总体该项的概率逐一进行判断即可.
【详解】解：∵样本中仅使用A支付的概率= ，
∴总体中仅使用A支付的概率为0.3.
故①正确.
∵样本中两种支付都使用的概率= 0.4
∴从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.4；
故②错误.
估计全校仅使用B支付的学生人数为：800 =200（人）
故③正确.
根据中位数的定义可知，仅用A支付和仅用B支付的中位数应在0至500之间，故④错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了用样本来估计总体的统计思想，理解样本中各项所占百分比与总体中各项所占百分比相同是解题的关键.
3、C
【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．
【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点，
把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0，因此①正确；
对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②不正确；
由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；
由图可得，抛物线有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故④正确；
故选C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴，y轴的交点，以及增减性上寻找其性质．
4、D
【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．
【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF=10°, ∵OA=OF, ∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=1.
所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．
故选D．
【点睛】
本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.
5、C
【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
6、C
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．
【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：
（2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．
7、B
【解析】由旋转的性质和正方形的性质可得∠FOC＝40°，AO＝OD＝OC＝OF，∠AOC＝90°，再根据等腰三角形的性质可求∠OFA的度数．
【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠FOC＝40°，AO＝OD＝OC＝OF，∠AOC＝90°
∴∠AOF＝130°，且AO＝OF，
∴∠OFA＝25°
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
8、D
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选D．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9、C
【分析】根据多边形的对角线的条数公式列式进行计算即可求解．
【详解】解：设该多边形的边数为n，由题意得：
，
解得：（舍去）
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的对角线公式，熟记公式是解题的关键．
10、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形与中心对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 沿对称轴折叠后可重合，识别中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
11、C
【解析】只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程.
【详解】解：A选项，缺少a≠0条件，不是一元二次方程；
B选项，分母上有未知数，是分式方程，不是一元二次方程；
C选项，经整理后得x2+x=0，是关于x的一元二次方程；
D选项，经整理后是一元一次方程，不是一元二次方程；
故选择C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义.
12、D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴∽ ，故A不符合题意；
∵∽ ，∴AO：OD=OB：OC，∵∠AOB=∠DOC，∴∽，故B不符合题意；
∵∽，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；
没有条件可以证明，
故选D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、110°
【解析】试题解析：∵AB是半圆O的直径
故答案为
点睛：圆内接四边形的对角互补.
14、-1
【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．
【详解】解：∵函数y＝-（x-1）2+1，
∴对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵当x＝1时，y＝-1，
∴函数y＝-（x-1）2+1（x≥1）的最大值是-1．
故答案为-1．
【点睛】
此题考查的是求二次函数的最值，掌握二次函数对称轴两侧的增减性是解决此题的关键．
15、0＜a＜3.
【解析】试题解析：∵二次函数的图象与坐标轴分别交于点(0,−3)、(−1,0)，
∴c=−3，a−b+c=0，
即b=a−3，
∵顶点在第四象限，
又∵a>0，
∴b<0，
∴b=a−3<0，即a<3，
故
故答案为
点睛：二次函数的顶点坐标为：
16、
【分析】设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF为圆的直径，从而求出AF，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF计算即可．
【详解】解：设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABF=90°，AD∥BC，BC=CD=AD=cm
∴AF为圆的直径
∵，圆的半径为2，
∴AF=4cm
在Rt△ABF中sin∠AFB=，BF=
∴∠AFB=60°，FC=BC－BF=
∴∠EAF=∠AFB=60°
∴∠EOF=2∠EAF=120°
在Rt△AOG中，OG=sin∠EAF·AO=，AG= cos∠EAF·AO=1cm
根据垂径定理，AE=2AG=2cm
∴S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键．
17、②③④
【分析】根据题意证明∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC即可证明②正确, ①错误,在△AEF中利用特殊三角函数即可证明③正确,在Rt△AOC中,利用即可证明④正确.
【详解】解：由题可知,∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC,
∴∠ACD=150°,
∴∠CDA=∠CAD=15°,
∴∠FCG=∠BDG=45°,
∴, ②正确, ①错误,
∵易证∠FAE=30°,设EF=x,则AE=CE=,
∴, ③正确,
设CH与AD交点为O,易证∠FCO=30°,
设OF=y,则CF=2y,由③可知,
EF=（）y,
∴AF=（）y,
在Rt△AOC中,.
故②③④正确.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,特殊的直角三角形,三角函数的简单应用,难度较大,熟知特殊三角函数值是解题关键.
18、1， ，
【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，
∴,∴,∴DP=1;
②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．
∴,∴,∴DP=;
③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，
∴,∴,∴DP=;
④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。
综上所述，满足条件的DP的值为1， ，.
【点睛】
本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．
三、解答题（共78分）
19、（1）y=-，y=-2x-4（2）1
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【详解】（1）将A（﹣3，m+1）代入反比例函数y=得，
=m+1，
解得m=﹣6，
m+1=﹣6+1=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
所以，点C的坐标为（﹣2，0），
所以，OC=2，
S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×2×2+×2×6，
=2+6，
=1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
20、2．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x2=x+2代入即可.
【详解】解：原式=×
=×
=，
∵x2﹣x﹣2=2，
∴x2=x+2，
∴==2．
21、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC，进而证明是菱形即可；
（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，得出BD，▱ABCD的面积=AC•BD，即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，与交于
由（1）四边形，是菱形，
∴，，
在中，，
∴，
∴菱形的面积为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
22、300
【分析】先设乙列车的速度为，甲列车以的速度向地行驶，到达地停留20分钟后，以的速度返回重庆，依据题意列方程，求得未知数的值，进而得到重庆到地的路程，以及乙列车到达地的时间，最后得出当乙列车到达地时，甲列车距离重庆的路程.
【详解】解：设乙列车的速度为，甲列车以的速度向地行驶，到达地停留20分钟后，以的速度返回重庆，则
根据3小时后，乙列车距离A地的路程为240，而甲列车到达地，可得，①
根据甲列车到达地停留20分钟后，再返回重庆并与乙列车相遇的时刻为4小时，可得，②
根据甲列车往返两地的路程相等，可得，③
由①②③，可得，，，
∴重庆到地的路程为（），
∴乙列车到达地的时间为（），
∴当乙列车到达地时，甲列车距离重庆的路程为（），
故答案为：300.
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用，解决问题的关键是依据等量关系，列方程求解．
23、（1）等腰直角三角形（2）见解析
【分析】（1）利用正方形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，然后根据旋转的定义可判断旋转中心为点B，旋转角为90°，根据旋转的性质得∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，则可判断△BEF为等腰直角三角形；
（2）根据旋转的性质得∠BEA＝∠BFC＝90°，从而根据平行线的判定方法可判断AE∥BF．
【详解】（1）△BEF为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴旋转中心为点B，∠CBA为旋转角，即旋转角为90°；
∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形；
（2）∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
∴∠BEA＋∠EBF＝180°，
∴AE∥BF．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
24、（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）成中心对称，对称中心坐标是
【分析】（1）根据关于轴对称的点的特征找到A, C的对应点，然后顺次连接即可，再根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可写出的坐标；
（2）将绕原点O顺时针旋转90°得到三点的对应点，然后顺次连接即可，再根据直角坐标系即可得到的坐标；
（3）利用成中心对称的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称判断即可，然后根据一组对应点相连，其中点就是对称中心即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，根据关于y轴对称的点的特点可知：；
（2）如图，由图可知，；
（3）根据中心对称图形的定义可知与成中心对称，对称中心为线段的中点，坐标是.
【点睛】
本题主要考查作轴对称图形、中心对称和作旋转图形，掌握关于y轴对称的点的特点和对称中心的求法是解题的关键．
25、10%．
【解析】试题分析：设这两年的平均增长率为x，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可．
试题解析：设这两年的平均增长率为x，由题意得：，解得：（不合题意舍去），．
答：这两年的平均增长率为10%．
考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．
26、（1）见解析；（2）与⊙相切，理由见解析.
【分析】(1)连接，由为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论；
(2)根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到于是得到结论．
【详解】(1)连接，
为的中点，
∴，
，
，
；
(2)与⊙相切，理由如下：
，
，
∴∠ODE+∠E=180°，
，
∴∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
，
又∵OD是半径，
与⊙相切．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
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