资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在菱形中，，，则对角线等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，正方形的四个顶点在半径为 的大圆圆周上，四条边都与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数，下列描述错误的是（ ）．
A．其图像的对称轴是直线=1 B．其图像的顶点坐标是（1，-9）
C．当=1时，有最小值-8 D．当＞1时，随的增大而增大
5．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A．9 B．12π﹣9 C． D．6π﹣
8．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
10．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝，你认为最确切的判断是( )
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
⑤当x＞0时，y随x增大而减小．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．有四条线段，分别为3，4，5，6，从中任取三条，能够成直角三角形的概率是
14．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为________cm.
15．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．
16．关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____．
17．已知抛物线与轴交点的横坐标分别为3，1；与轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是____．
18．已知函数是反比例函数，则=________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）计算：2sin60°+|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
21．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，则的值是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．
22．（10分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．
（I）求此反比例函数的解析式；
（II）当y≥2时，求x的取值范围．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE．
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．
25．（12分）已知:二次函数为
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标;
（2）为何值时，顶点在轴上方;
（3）若抛物线与轴交于,过作轴交抛物线于另一点,当时，求此二次函数的解析式．
26．解方程:
（1）用公式法解方程：3x2﹣x﹣4=1
（2）用配方法解方程：x2﹣4x﹣5＝1．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】由菱形的性质可证得为等边三角形，则可求得答案．
【详解】四边形为菱形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
故选：．
【点睛】
主要考查菱形的性质，利用菱形的性质证得为等边三角形是解题的关键．
2、C
【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解．
【详解】解：由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一．
故阴影部分的面积=．
故选：C．
【点睛】
本题利用了圆是中心对称图形，圆面积公式及概率的计算公式求解，熟练掌握公式是本题的解题关键．
3、C
【分析】由2a＝5b，根据比例的性质，即可求得答案．
【详解】∵2a＝5b，∴或．故选：C．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知等式与分式的性质.
4、C
【分析】将解析式写成顶点式的形式，再依次进行判断即可得到答案.
【详解】=，
∴图象的对称轴是直线x=1，故A正确；
顶点坐标是（1，-9），故B正确；
当x=1时，y有最小值-9，故C错误；
∵开口向上，∴当＞1时，随的增大而增大，故D正确，
故选：C.
【点睛】
此题考查函数的性质，熟记每种函数解析式的性质是解题的关键.
5、B
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、B
【分析】根据锐角余弦函数值在0°到90°中，随角度的增大而减小进行对比即可；
【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，
∵cos30°=，cos45°=，
∴若锐角的余弦值为，且
则30°＜α ＜45°；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.
7、A
【分析】根据阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD计算即可．
【详解】由折叠可知，
S弓形AD=S弓形OD，DA=DO．
∵OA=OD，
∴AD=OD=OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD=60°．
∵∠AOB=120°，
∴∠DOB=60°．
∵AD=OD=OA=6，
∴AC=CO=3，
∴CD=3，
∴S弓形AD=S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣9，
∴S弓形OD=6π﹣9，
阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD(6π﹣9)=9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解答本题的关键．
8、D
【解析】如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选D．
9、A
【解析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．
【详解】已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
所以A1的坐标为（﹣1，2）.
故选A.
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.
10、B
【分析】试题分析：由tanA=1，sinB=结合特殊角的锐角三角函数值可得∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状.
【详解】∵tanA=1，sinB=
∴∠A=45°，∠B=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
故选B.
考点：特殊角的锐角三角函数值
点评：本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
11、B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】函数图象与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
函数的对称轴是x＝1，则与x轴的另一个交点是（3，0），
则方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
函数的对称轴是x＝﹣＝1，则2a+b＝0成立，故③正确；
函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④正确；
当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12、B
【解析】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-1），
可设新抛物线的解析式为：y=（x-h）1+k，
代入得：y=（x+1）1-1．
∴所得图象的解析式为：y=（x+1）1-1；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【解析】试题分析： 能构成三角形的情况为：3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6这四种情况．直角三角形只有3，4，5一种情况．故能够成直角三角形的概率是．故答案为．
考点：1．勾股定理的逆定理；2．概率公式．
14、1
【详解】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，
解得：AO=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，掌握解直角三角形的计算是解题关键．
15、1
【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，
=2（m+n）2-6，
=2×9-6，
=1．
16、﹣1
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
【详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，
∴，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
17、．
【分析】先设所求抛物线是，根据题意可知此线通过，，，把此三组数代入解析式，得到关于、、的方程组，求解即可．
【详解】解：设所求抛物线是，根据抛物线与轴交点的横坐标分别为3，1；与轴交点的纵坐标为6，
得：，
解得，
∴函数解析式是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式，方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键．
18、1
【分析】根据反比例函数的定义可得|m|-2=-1，m+1≠0，求出m的值即可得答案．
【详解】∵函数是反比例函数，
∴|m|-2=-1，m+1≠0，
解得：m=1．
故答案为：1
【点睛】
考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
三、解答题（共78分）
19、1
【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．
【详解】原式=1×+3﹣+1﹣1=1．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20、（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【分析】（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，
故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，
所以 ，解得；
（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
【详解】解：（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
21、（1）；（2）的值不变化，值为，理由见解析；（3）
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（2）证明△ABD∽△ACE，得出＝＝
（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则DM＝CN，DN＝MC，由三角函数定义得出＝，＝，得出＝，求出AE＝AD＝，DE＝AE＝，得出CE＝CD﹣DE＝，由勾股定理得出AC＝＝，得出BC＝AC＝
，由面积法求出CN＝DM＝，得出BN＝BC+CN＝，由勾股定理得出AM＝＝，得出DN＝MC＝AM+AC＝，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴＝＝＝；
故答案为：；
（2）的值不变化，值为；理由如下：
由（1）得：DE∥B，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝＝；
（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图3所示：
则四边形DMCN是矩形，
∴DM＝CN，DN＝MC，
∵∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，
∴＝，＝，
∴＝，
∴AE＝AD＝×3＝，DE＝AE＝，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣＝，
∴AC＝＝＝
∴BC＝AC＝，
∵△ACD的面积＝AC×DM＝CD×AE，
∴CN＝DM＝＝，
∴BN＝BC+CN＝，AM＝＝＝，
∴DN＝MC＝AM+AC＝，
∴BD＝＝＝．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、三角形面积等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
22、 (I) y＝﹣；(II) 当y≥2时，﹣2≤x＜1
【分析】（I）利用待定系数法可得反比例函数解析式；
（II）利用反比例函数的解析式不求出的点，利用函数图象即可求得答案.
【详解】（I）设解析式为y＝，
把点（2，﹣2）代入解析式得，
﹣2＝，
解得：k＝﹣4
∴反比例函数的解析式y＝﹣；
（II）当y＝2时，x＝﹣2，
如图，
所以当y≥2时，﹣2≤x＜1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．
23、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据两个角对应相等判定两个三角形相似即可；
（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
．
（2）．
，
，，，
，
，
．
答：线段的长为1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质．
24、（1）见解析；（2）2
【分析】(1)欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题．
【详解】(1)∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠PCB=∠A，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)∵CP=CA，
∴∠P=∠A，
∴∠COB=2∠A=2∠P，
∵∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∵OC=OA=2，
∴OP=2OC=4，
∴PC==2．
【点睛】
本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
25、（1）抛物线开口方向向上，对称轴为直线，；（2）；（3）或
【分析】（1）根据二次函数的性质，即可判定其开口方向、对称轴以及顶点坐标；
（2）令顶点坐标大于0即可；
（3）首先得出点A坐标，然后利用对称性得出AB，再根据面积列出等式，即可得出的值，即可得出二次函数解析式.
【详解】
抛物线开口方向向上；
对称轴为直线
顶点坐标为
（2）顶点在轴上方时，
解得
令，则，
所以，点,
轴，
点关于对称轴直线对称，
，
解得
∴二次函数解析式为或.
【点睛】
此题主要考查二次函数的性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.
26、（1）x1=，x2=-1；（2）x1＝5，x2＝-1.
【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式得出a、b、c的值，利用公式法x=即可得答案；
（2）先把常数项移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得完全平方式，直接开平方即可得答案.
【详解】（1）3x2﹣x﹣4=1
∵a=3，b=－1，c=－4，
∴
∴x1=，x1=－1.
(2)x2﹣4x﹣5＝1
x2﹣4x+4＝5+4
（x﹣2）2＝9
∴x－2＝3或x－2＝－3
∴x1＝5，x2＝－1.
【点睛】
本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.
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