直线与平面、平面与平面垂直的性质.doc

(完整word)直线与平面、平面与平面垂直的性质
直线与平面、平面与平面垂直的性质
[学习目标]　1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题。3。理解“平行”与“垂直”之间的相互转化。

知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言

作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线

思考　(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
(2）过一点有几条直线与已知平面垂直？
答　(1)共面。由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面。
（2）有且仅有一条。假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,即无公共点,这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.
知识点二　平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
⇒a⊥β
图形语言

作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
思考　（1）如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？
(2）如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？
答　(1）正确。若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l,则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线。
（2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.

题型一　直线与平面垂直的性质及应用
例1　如图，正方体A1B1C1D1—ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.
求证：EF∥BD1。
证明　如图所示，
连接AB1、B1D1、B1C、BD，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D,
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1⊂平面BDD1B1,
∴AC⊥BD1。
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C。
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

跟踪训练1　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.
求证:QR⊥AB。
证明　如图，因为α∩β＝AB，
PO⊥β于点O，所以PO⊥AB。
因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.
因为PO∩PQ＝P，
所以AB⊥平面PQO.
因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.
因为PQ与OR确定平面PQRO，
QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，
所以AB⊥QR。
题型二　平面与平面垂直的性质及应用
例2　如图,在三棱锥V－ABC中,平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点。
(1）求证：VB∥平面MOC;
（2）求证:平面MOC⊥平面VAB；
(3）求三棱锥V－ABC的体积。

(1）证明　∵O，M分别为AB，VA的中点,
∴OM∥VB。
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC.
(2)证明　∵AC＝BC，O为AB的中点,∴OC⊥AB。
又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB,OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.
∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.
（3)解　在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，
∴AB＝2，OC＝1，
∴S△VAB＝AB2＝.
∵OC⊥平面VAB，
∴VC－VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝,
∴VV－ABC＝VC－VAB＝。

跟踪训练2　如图，在三棱锥S－ABC中,平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F。求证：BC⊥SA。
证明　因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB,
AF⊂平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC。
又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB.
又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
题型三　线线、线面、面面垂直的综合应用
例3　如图,直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2,AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3。

（1）证明:BE⊥平面BB1C1C；
(2）求点B1到平面EA1C1的距离。
（1）证明　过B作CD的垂线交CD于F,
则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2。
在Rt△BFE中，BE＝.
在Rt△CFB中，BC＝.
在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，
又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C。
（2)解　三棱锥E－A1B1C1的体积
V＝AA1·＝.
在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3.
同理，EC1＝＝3，
A1E＝＝2。
故＝3。
设点B1到平面A1C1E的距离为d,
则三棱锥B1－A1C1E的体积
V＝·d·＝d,
从而d＝，d＝.
即点B1到平面EA1C1的距离为.

跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。
(1）求证：AD⊥PB；
（2)若E为BC边上的中点,能否在PC棱上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论。
（1)证明　设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.
因为△PAD为等边三角形，
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.
(2）解　当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB。
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由（1)，得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD.
所以平面DEF⊥平面ABCD.

条件开放型

例4　如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中,当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1?(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)

分析　→→
解　因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD.
又因为A1A⊥平面ABCD，A1A⊥BD，A1A∩A1C＝A1，
所以BD⊥平面A1AC。
因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD。
由以上分析,知要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等。

1。在空间中，下列命题正确的是(　　)
A。垂直于同一条直线的两直线平行 B。平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β,且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α,n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是(　　)
A.①② B。③④ C.①④ D。②③
3。若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ,则（　　)
A.α∥γ B。α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D。以上都有可能
4.已知a、b为直线,α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________。
①若a⊥α，b⊥α,则a∥b；
②若a∥α,b∥α，则a∥b；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
④若α∥b，β∥b，则α∥β。
5.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________。

一、选择题
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是（　　）
A。平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直 D。相交且垂直
2.如图所示,三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　　)

A。PD⊂平面ABC B。PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC
3.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的投影H必在(　　)

A。直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D。△ABC内部
4。如图，正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG。其中成立的有（　　)
A.①与② B.①与③ C.②与③ D.③与④

5.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是（　　)

A。PA⊥BC B。BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB D.PC⊥BC
6。三棱锥P－ABC的三条侧棱PA,PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则(　　)
A。S△ABC＝S△PBC＋S△OBC B.S＝S△OBC·S△ABC
C。2S△PBC＝S△OBC＋S△ABC D。2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC
7。如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1,BD＝，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)

A.A′C⊥BD B。∠BA′C＝90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30° D.四面体A′－BCD的体积为

二、填空题
8。设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β;③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题,这三个命题中，正确命题的个数为_______。
9。如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.

10.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________。

11。如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M,N分别为AB,DF的中点。若CD＝2,平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.

三、解答题
12.如图所示,四棱锥P－ABCD中,AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD,E,F分别为线段AD,PC的中点。
(1）求证：AP∥平面BEF；
（2）求证：BE⊥平面PAC。

13.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形。
（1)若AC⊥BC,证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.

当堂检测答案
1。答案　D
解析　A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交;C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确。
2.答案　D
解析　①m，n可能异面、相交或平行，④m,n可能平行、异面或相交，所以①④错误.
3.答案　D
解析　两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故选D.
4.答案　①③
解析　由“垂直于同一平面的两直线平行"知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行"知③真；易知④假。
5.答案　
解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC),
∴PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝。

课时精练答案
一、选择题
1。答案　D
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确。
2.答案　B
解析　∵PA＝PB，AD＝DB，
∴PD⊥AB。
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，
∴PD⊥平面ABC.
3.答案　A
解析　连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB,又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1。又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线,因此，点C1在平面ABC上的投影必在直线AB上，故选A.
4。答案　B
解析　由SG⊥GE,SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE＝S矛盾,排除A，故选B。
5.答案　C
解析　∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC，A选项正确；∵BC⊥AC,∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，∴B,D选项均正确。故选C.
6.答案　B
解析　如图，由题设，知O是垂心,且有AP⊥PD,所以PD2＝OD·AD,即S＝S△OBC·S△ABC.
7。答案　B
解析　取BD的中点O，连接A′O，CO.
∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD。
∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD。
假设A′C⊥BD,∵A′O∩A′C＝A′，∴BD⊥平面A′OC，
∴OC⊥BD，出现矛盾，即A′C不垂直于BD，A选项错误；
∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B。
∵A′B＝A′D＝1，BD＝,∴A′B⊥A′D，
∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，B选项正确；
∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C选项错误；
VA′－BCD＝S△A′BD·CD＝，D选项错误。
二、填空题
8。答案　1
解析　①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β;①③作为前提条件,②作为结论构成的命题错，这时可能有l⊂β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在.
9.答案　
解析　取BC的中点F，连接EF，DF，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tan∠EDF＝＝.
10.答案　8
解析　如图。
因为矩形ABCD的四个顶点都在球面上，所以过A，B，C,D四点的截面圆的圆心为矩形ABCD的中心O′.连接OO′，在△AOC中，因为OA＝OC，且O′为AC的中点，所以OO′⊥AC.同理，OO′⊥BD。又因为AC∩BD＝O′,所以OO′⊥平面ABCD,即OO′为棱锥O－ABCD的高.
AO′＝＝＝＝2，
OO′＝＝＝2,
所以VO－ABCD＝×6×2×2＝8。
11。答案　
解析　取CD的中点G，连接MG，NG.

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝。
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG,
所以MN＝＝。
三、解答题
12.证明　(1）如图所示，设AC∩BE＝O,连接OF，EC。

由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD,AD∥BC，
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
因此,四边形ABCE为菱形,
所以O为AC的中点。
又F为PC的中点，
因此，在△PAC中，可得AP∥OF。
又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF。
（2）由题意，知ED∥BC，ED＝BC，
所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD。
又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A,AP、AC⊂平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.
13。（1)证明　因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC。
因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线，
所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC.
又由已知，AC⊥BC，AA1、AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC⊥平面ACC1A1。
(2)解　取线段AB的中点M,连接A1M,MC，A1C，AC1，设O为A1C,AC1的交点。
由已知，O为AC1的中点。
连接MD,OE,则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD綊AC,OE綊AC，
因此MD綊OE。
连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO。
因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC,
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M（线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.