必修四三角函数的图象与性质讲义.doc

(完整word)必修四三角函数的图象与性质讲义
1。4—1。5三角函数的图象与性质
一、正弦函数的图象与性质
1、利用描点法作函数图象(列表、描点、连线）
自变量

–
–
函数值

注意：（1）由于sin(2k＋）＝sin，因此作正弦函数图象时,我们经常采用“五点法"：（0,0)，(，1），(，0)，(，－1），(2，0)；再通过向左、右平移(每次2个单位),即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。
二、余弦函数的图象
1、余弦函数的图象：y＝cosx＝sin(x＋)可将正弦函数y＝sinx向左平移个单位得到。
2、“五点作图法”：（0，1），
（，0)，（,－1)，
(,0），(2,1）
三、正、余弦函数的性质
f(x）＝sinxh（x)＝cosx

f（x）＝sinx
h(x)＝cosx
定义域
R
R
值域
[－1，1］
当x＝2k＋时,f(x）max＝1
当x＝2k－时,f(x)min＝－1
［－1，1]
当x＝2k时，f(x）max＝1
当x＝2k＋时，f（x)min＝－1
单调区间
[2k－，2k＋]单增
［2k＋,2k＋］单减
［2k,2k＋]单减
[2k＋,2k＋2]单增
对称轴
x＝k＋
x＝k
对称中心
(k，0)
(k＋，0）
周期性
sin(2k＋）＝sincos（2k＋）＝cos最小正周期为2
奇偶性
sin（－)＝－sin奇函数
cos（－）＝cos
例1:求下列函数的定义域。
（1）f(x）＝（2）f（x）＝
变式练习1：求下列函数的定义域
(1）f（x)＝lg（sinx）（2）f(x)＝（3）f(x)＝
变式练习2：已知cosx＝－，且x∈［0，2],则角x等于(　　）
A：或 B：或C:或 D：或
【解析】A
变式练习3：当x∈时［0，2]，满足sin（－x）≥－的x的取值范围是(　　）
A：[0，］ B：［,2］C：[0，］∪［,2] D：[，］
【解析】C
例2:下列函数图象相同的是（　　）
A：y＝sinx与y＝sin(x＋)B：y＝cosx与y＝sin(－x)
C：y＝sinx与y＝sin（－x）D：y＝－sin(2＋x）与y＝sinx
【解析】B
变式练习1:y＝1＋sinx，x∈［0，2］的图象与直线y＝2交点的个数是（　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A：0 B：1 C:2 D：3
解析B
变式练习2：函数y＝sin（－x），x∈［0，2］的简图是(　　）
【解析】B
变式练习3：.函数y＝2sinx与函数y＝x图象的交点________个。
【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2sinx与y＝x的图象可见有3个交点.3个
变式练习4：。若函数y＝2cosx（0≤x≤2)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为___________。
【解析】：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4,因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积。
因为｜OA｜＝2，｜OC｜＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π。故所求封闭图形的面积为4π。
四、正切函数的图象与性质【三点两线】
定义域:x≠k＋k∈Z值域：R
周期性：最小正周期T＝单调递增区间：（k－，k＋)
奇偶性：tan（－x)＝－tanx奇函数对称中心：（，0）
例3:求函数f（x)＝tan（2x－)的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心.
例4：若直线过点M（2,2)且与以点P(－2，－3)、Q（1，0）为端点的线段恒相交,则直线的斜率的范围是_________。
【解析】：≤k≤2
变式练习：若直线过点M（0,2)且与以点P(－2，－3)、Q（1，0）为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是_________。
【解析】：k≤－2，k≥
五、函数y＝sin(x＋)的图象与性质
（一）由y＝sinx的图象通过变换法作y＝Asin（x＋)的图象
1、先平移后伸缩：y＝sinxy＝sin（x＋）
y＝sin(x＋）
y＝Asin（x＋）
2、先伸缩后平移：y＝sinxy＝sinx
y＝sin[(x＋)]
y＝Asin（x＋)
例5：把函数y＝sin（2x＋）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式为(）
A：y＝sin(4x＋)B：y＝sin（4x＋）C：y＝sin4xD：y＝sin2x
【解析】：D
变式练习1：将函数y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　）
A:y＝cos2x B：y＝sin（2x＋）C：y＝sin（x＋) D:y＝sin（x＋）
【解析】：选D
变式练习2：已知函数f(x)＝sin（x＋)（＞0）的最小正周期为，则函数f（x)的图象可以由函数y＝sin2x的图象(　　）
A：向左平移个单位长度B：向右平移个单位长度
C:向左平移个单位长度D:向右平移个单位长度
【解析】选A
变式练习3：要得到函数y＝2cos（2x－)的图象,只要将函数y＝2cos2x的图象(　　）
A：向左平行移动个单位长度B:向右平行移动个单位长度
C：向左平行移动个单位长度D：向右平行移动个单位长度
【解析】选D
变式练习4：要得到函数y＝sin（2x－）的图象,只需将函数y＝－cos(2x－)的图象(　　）
A:向左平移个单位长度B:向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D:向右平移个单位长度
【解析】选C.由于y＝－cos(2x－π）＝cos2x＝sin＝sin2，
y＝sin＝sin2＝sin2。
故只需将函数y＝－cos（2x－π）的图象向右平移π个单位长度得到函数y＝sin的图象。
五、有关函数y＝Asin（x＋)的性质
1、定义域为R2、值域为［－A,A］3、最小正周期T＝
4、当＝k时，函数y＝Asin（x＋）为奇函数；当＝k＋函数是偶函数.
5、对于函数y＝Asin(x＋）(A＞0，＞0)的单调区间,把x＋看成整体
2k－≤x＋≤2k＋，解出x的范围为函数的单调递增区间
2k＋≤x＋≤2k＋,解出x的范围为函数的单调递减区间
6、函数y＝Asin（x＋）的对称轴x＋＝k＋，解出x求得；对称中心x＋＝k，解出x求得.
例6：指出函数y＝3sin(2x－)的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。
变式练习1：函数f（x）＝3sin(x＋)在下列区间内递减的是(　　)
A:［－,］B：[0，］ C：[－，]D：［,]
【解析】：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z可得2kπ＋≤x≤2kπ＋,k∈Z,∴函数f（x）的递减区间为,k∈Z.从而可判断，答案：D
变式练习2：设函数f(x）＝sin(2x－)，x∈R，则f(x）是(　　)
A：最小正周期为的奇函数B：最小正周期为的偶函数
C：最小正周期为的奇函数D：最小正周期为的偶函数
【解析】：因为f(x）＝sin＝—cos2x，所以f（—x)＝—cos2(-x）＝—cos2x＝f（x)，
所以f（x)是最小正周期为π的偶函数.答案:B
例7：若函数的图象关于直线对称，那么︱︱的最小值为（）
A：B：C： D:
【解析】：B
例8：函数f(x）＝Asin（x＋)（A＞0，＞0,︱︱＜)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　)
A：f(x）＝2sin(x－） B：f(x)＝2sin（2x－)
C:f(x）＝2sin(x＋) D：f(x）＝2sin（2x－）
【解析】：B
变式练习1：已知cos＝－，且∈(，),函数f(x）＝sin（x＋)(＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f(）的值为（)。
A：B：－C：D:－
【解析】：B
变式练习2:已知函数f（x)＝sin(x＋)（＞0，︱︱＜）的部分图象如图，则＝_______。
【解析】:
变式练习3:已知函数f(x）＝sin（x＋）(＞0）的图象如右图如示，则f(4）＝______。
【解析】：
变式练习4：函数f（x)＝sin(x＋)，（︱︱＜）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（　　）
A：(－1＋4k，1＋4k)，k∈Z
B:(－3＋8k,1＋8k）,k∈Z
C：（－1＋4k，1＋4k），k∈Z
D：(－3＋8k，1＋8k),k∈Z
【解析】：【解答】解：根据函数f（x）＝sin(ωx＋φ），（｜φ｜＜）的部分图象，可得＝3﹣1＝2，
求得ω＝，再根据五点法作图可得？1＋φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝sin（x＋）．
令2kπ﹣≤x＋≤2kπ＋，求得8k﹣3≤x≤8k＋1，
故函数的增区间为[﹣3＋8k,1＋8k]，k∈Z,故选：D．
例9：已知函数f（x)＝sin(2x－)
（1）求函数f(x）的最小正周期.
（2）求函数f(x）的单调递增区间以及对称中心。
（3）求函数f（x）在区间[,]上的最大值和最小值。
变式练习1：已知函数f(x）＝sin（x＋)（其中＞0，||＜),若函数y＝f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线x＝是函数y＝f(x）图象的一条对称轴。
（1）求的值;(2)求y＝f（x）的单调递增区间；
（3)若x∈[－,]，求y＝f(x）的值域。
【解析】：（1)因为函数y＝f（x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期T＝π，所以ω＝＝2.(2)因为直线x＝是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋,k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z。又|φ｜〈，所以φ＝。
所以函数的解析式是y＝sin.令2x＋，k∈Z,
解得x∈，k∈Z。所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
（3)因为x∈，所以2x＋.所以sin，
即函数的值域为.
变式练习2：设函数f(x）＝sin(2x＋）（－＜＜0），已知它的一条对称轴是直线x＝。
（1）求；(2)求函数f（x）的单调递减区间；(3）求函数的对称中心；(4）当x∈［，］函数f（x)的取值范围。
【解析】（1）函数的一条对称轴是直线x＝，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z,因为-π〈φ<0，所以φ＝-.(2）由（1）知，f(x)＝sin，＋2kπ≤2x—≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f（x)的单调递减区间为（k∈Z）。
变式练习3:设函数f（x）＝tan（－).
(1）求函数f（x）的定义域、周期和单调区间；（2）求不等式－1≤f(x)≤的解集。
【解】：(1)由+kπ（k∈Z),得x≠+2kπ，∴f(x）的定义域是。∵ω＝,∴周期T＝＝2π。
由—+kπ<+kπ（k∈Z),得-+2kπ〈x<+2kπ（k∈Z）。
∴函数f（x)的单调递增区间是(k∈Z）.
(2）由—1≤tan,得-+kπ≤+kπ(k∈Z)，解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z）.
∴不等式-1≤f（x)≤的解集是。
课后综合练习
1、下列函数中，最小正周期为的是(）
A：y＝sinxB：y＝cosxC：y＝sinD：y＝cos2x
【解析】：D
2、不等式sinx≥,x∈［0,]的解集为（)
A:［，]B:［，］C:[，]D：［，］
【解析】：B
3、函数f（x）＝tan(x－)与函数g(x)＝sin（－2x）的最小正周期相同，则等于(）
A：±1B:1C：±2D：2
【解析】:A
4、函数图象的一条对称轴是（）
A：直线 B：直线 C:直线 D：直线
【解析】：D
5、把函数y＝sinx的图象经过变换可得到函数y＝cosx的图象,这个变换是（）
A:向右平移个单位B：向左平移个单位
C:向右平移个单位D:向左平移个单位
【解析】:B
6、将函数f(x）＝sin(x－）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(）
A：y＝sinxB:y＝sin(x－)C：y＝sin（x－)D：y＝sin(2x－）
【解析】：C
7、把函数y＝sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象对应的函数是（)
A：奇函数B：偶函数
C:既是奇函数又是偶函数D:非奇非偶函数
【解析】：D
8、下列函数中,图象的一部分是右图的是（)
A:y＝sin（x＋）B：y＝sin(2x－)
C：y＝cos(4x－）D：y＝cos（2x－）
【解析】：D
9、若，函数的定义域是__________.
【解析】：
10、如果直线与函数有且只有一个交点，则。
【解析】:±1
11、函数的单调区间是（）
A： B：
C： D：
【解析】:B
12、函数f(x)＝Acos(x＋)（A＞0,＞0）的部分图象如图所示，则f(1)＋f（2)＋f(3)＋……＋f(2011）＋f(2012)的值为(）
A:2＋B：C：2＋2D：0
【解析】：f(x）＝Acos(x＋）,f(x)＝2sinx【不能代(0,0)】，∵f(1）＋f（2)＋f（3）＋……＋f(8）＝0，故f(1）＋f(2）＋f（3）＋……＋f（2011)＋f(2012）＝f(1)＋f（2)＋f（3)＋f（4）＝2sin＋2sin＋2sin＋2sin＝2＋2,C
13、函数的定义域的定义域为____________。
【解析】:[－5，－]∪［0,］
14、关于x的不等式的解集是____________.
【解析】：(2k－,2k＋）k∈Z
15、若函数f（x)＝2sin(x＋）[＞0,｜｜＜］的最小正周期是，且f(0)＝,则＝____，＝____。
【解析】：2
16、若函数f(x)＝sin(2x＋)的对称轴x＝。(1）求f（)的值；（2）求的最小正值；(3）当取最小正值时，若x∈［－，］，求f（x）的最大值和最小值。
【解析】:f（）＝±f(x）＝sin（2x＋)
17、已知函数f（x)＝Asin(x＋）［A＞0,＞0，|｜＜]的图象经过P（，0)，图象与P点最近的一个最高点的坐标为(，5）。(1)求函数f(x)的解析式;（2)求函数f(x)的单调增区间；（3）当y≤0时，求x的取值范围。
【解析】:f(x）＝5sin（2x－） ［k＋，k＋]k∈Z
18、函数f（x)＝2x－tanx在（－,)上的图象大致是(　　)
【解析】选D。易知f（x)=2x—tanx是奇函数,故排除B,C；由y=2x与y=tanx的图象知,当x取足够小的正数时f(x)>0,故选D。