2018年南通市数学学科基地密卷(1).doc

2018年高考模拟试卷（1）
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 已知集合，，则 ▲ ．
2． 复数（i为虚数单位）的实部是 ▲ ．
3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．
4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的
方差为 ▲ ．
5． 根据如图所示的伪代码，当输出y的值为时，则输入的的值为 ▲ ．( 第8题 )
A
B
C
D
P
E

Read x
If x≤0 Then
y←x2＋1
Else
y←
End If
Print y
（第5题）

A
B
C
（第7题）

6． 在平面直角坐标系中，圆被直线所截得
的弦长为 ▲ ．
7． 如图，三个相同的正方形相接，则的值为 ▲ ．
8． 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为上一点，且．设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
▲ ．
9． 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．
若是的中点，则的长度为 ▲ ．

10．若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式
的解集为 ▲ ．
11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢
捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．
A
B
C
M
N
（第12题）

（第10题）

12．如图，在△ABC中，点为边BC的中点，且，点为线段的中点，
若，则的值为 ▲ ．
13．已知正数满足，则的最小值是 ▲ ．
14．设等比数列{an}满足：，其中，．则
数列的前2 018项之和是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(本小题满分14分)
已知，．
（1）求的值；
（2）设函数，，求函数的单调增区间．

16．(本小题满分14分)
A
B
C
B1
C1
A1
M
N
（第16题）

如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为90°，且．
求证：（1）平面平面；
（2）平面．

17．(本小题满分14分
某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为
1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）
（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？
（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．
（注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）

18．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且
过O
x
y
A
B
P
E
F
（第18题）
点O
x
y
A
B
P
E
F
（第18题）
．设为椭圆在第一象限上的点，，分别为椭圆的左顶点和
下顶点，且交轴于点，交轴于点．
（1）求的值；
（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；
（3）求证：四边形的面积为定值．

19．(本小题满分16分)
设数列{an}的前n项和为，且满足：．
（1）若，求a1的值；
（2）若成等差数列，求数列{an}的通项公式．

20．(本小题满分16分)
已知函数，其中为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；
（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．

2018年高考模拟试卷（1）
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．
A． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP // AC，交AB于点E，
B
D
C
A
P
E
（第21—A题）
交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．

B． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知，．求满足方程的二阶矩阵．

C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），圆C的参数方程为（为参数）.设直线l与圆C相切，求正实数a的值．

D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)
设，证明：．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．
22．(本小题满分10分)
如图，在四棱锥中，棱，，两两垂直，且长度均为1，
A
B
C
D
P
（第22题）

（）．
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为120°，求实数的值．

23．(本小题满分10分)
甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，
两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）
次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行次抛币，游戏结束．
（1）若m，n，求概率；
（2）若，求概率（…）的最大值（用m表示）．

2018年高考模拟试卷（1）参考答案
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2． 1 3． 4． 16 5． 6．
7． 【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为，
则．
8． 【解析】因为，所以三棱锥的体积是三棱锥体积的，所以三棱锥
的体积是体积的．因为三棱锥与三棱锥体积相等，
所以．
9． 6【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，所以，，
所以．
10． 【解析】．
由于是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是．
11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为根，
则这个正六边形垛的层数是，每一层的根数从上往下依次为：

则圆钢的总根数为：
由题意≤99即≤0，
设函数，则在上单调递增．
因为所以．
此时剩余的圆钢根数为．
12． 【解析】由极化恒等式知，，则，
所以．
13．  2【解析】设，，则．
因为
（当且仅当时取“”），所以，解得，所以的最小值是2．
14．  【解析】因为，所以，
所以等比数列{an}的公比．
若，由知，当充分大，则，矛盾；
若，由知，当充分大，则，矛盾，
所以，从而，所以．
则数列的前2 018项之和是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(本小题满分14分)
解：（1）由，得，
即，所以．
因为，所以，所以，即．
（2）由（1）知，，
所以
．
令，
得，所以函数的单调增区间是，．
16．(本小题满分14分A
B
C
B1
C1
A1
M
N

证明：（1）因为与所成角的大小为90°，所以⊥，
因为，且N是A1C的中点，所以⊥．
又，平面，
故⊥平面，
因为平面，所以平面⊥平面．
（2）取AC中点P，连结NP，BP．
因为N为A1C中点，P为AC中点，所以PN//AA1，且PNAA1．
在三棱柱中，BB1 // AA1，且BB1AA1．
又M为BB1中点，故BM // AA1，且BMAA1．
所以PN // BM，且PNBM，于是四边形PNMB是平行四边形，
从而MN // BP．
又平面，平面，
故平面．
17．(本小题满分14分
解：（1）考虑时，利润．
令得，，从而，即．
（2）当时，由（1）知，
所以当时，（万元）．
当时，利润．
因为（当且仅当即时，取“=”），
所以（万元）．
综上，当时，（万元）．
答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；
（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为万元．
18．(本小题满分16分)
解：（1）依题意，，，其中，
解得．
因为，所以．
（2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，①
所以．从而直线的方程为：． ②
由①②得，．从而直线的方程为：．
令，得，所以点的坐标为．
（3）设（），且，即．
则直线的方程为：，令，得．
直线的方程为：，令，得．
所以四边形的面积
．
19．(本小题满分16分)
解：（1）因为，所以，
即，解得或．
（2）设等差数列的公差为d．
因为，
所以， ①
，  ②
． ③
②-①，得，即， ④
③-②，得，即，  ⑤
⑤-④，得，即．
若，则，与矛盾，故．
代入④得，于是．
因为，所以，
所以，
即，整理得，
于是．
因为，所以，即．
因为，所以．所以数列{an}是首项为，公差为的等差数列．
因此，．
20．(本小题满分16分)
解：（1）由，知．
若，则恒成立，所以在上单调递增；
若，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减；在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，．
因为对任意都成立，所以， 所以．
设，（），由，
令，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以在处取最大值，且最大值为．
所以，当且仅当，时，取得最大值为．
（3）设，即
题设等价于函数有零点时的的取值范围．
① 当时，由，，所以有零点．
② 当时，若，由，得；
若，由（1）知，，所以无零点．
③ 当时，，
又存在，，所以有零点．
综上，的取值范围是或．

数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．
C． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
证明：因为PA是圆O在点A处的切线，
所以∠PAB＝∠ACB．
因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，
所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．
又∠PEA＝∠BED，
故△PAE∽△BDE．
D． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
21B.【解】设，因为，
所以
解之得 ，所以A－1＝．
所以．
C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
解：直线l的普通方程为，
 圆C的参数方程化为普通方程为．
 因为直线l与圆C相切，所以．
  解得或，又，所以．
D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)
证明：由柯西不等式，得
，
即，
所以．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
A
B
C
D
P
x
z
y
22．(本小题满分10分)
解：（1）以为一组基底建立如图
所示的空间直角坐标系A—xyz．因为，所以．
依题意，，，，，
所以， ，．
设平面的一个法向量为，
则所以 取得，．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）依题意，，，，．
设平面的一个法向量为，
则即取得，．
设平面的一个法向量为，
则即取得，
所以，
解得或，因为，所以．
23．(本小题满分10分)
解：（1）依题意， ．
（2）依题意，（…）．
设

则．
而 （＊）

．（＃）
因为的判别式
（显然在时恒成立），
所以．
又因为，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．
所以，即(当且仅当时，取“=”)，
所以的最大值为，
即的最大值为．
高三数学试卷 第 16 页 共 16 页