2020届江苏省常州市高三上学期期中数学试题(解析版).doc

2020届江苏省常州市高三上学期期中数学试题

一、填空题
1．已知集合，，若，则________．
【答案】0或3
【解析】由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m＝3或m，即可求出m的值．
【详解】
∵A∪B＝A，
∴B⊆A，
∴m＝3或m，
解得：m＝0或3或1（舍去）．
故答案为：0或3
【点睛】
此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验
2．已知的定义域为，则的定义域为________________.
【答案】
【解析】【详解】
因为函数的定义域为，所以-1≤log2x≤1，所以. 故f(log2x)的定义域为.
3．已知函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x﹣3≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．
【详解】
根据题意，f（x）为奇函数，若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，
f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f（x﹣3）≤1，即f（1）≤f（x﹣3）≤f（﹣1），
则有﹣1≤x﹣3≤1，
解可得2≤x≤4，
即x的取值范围是[2，4]；
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f（x﹣2）≤1转化为关于x的不等式．
4．已知在等差数列中，若，则________．
【答案】35
【解析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，代入所求的式子化简求值即可．
【详解】
由等差数列的性质得，，
∴7a4＝35，
故答案为：35．
【点睛】
本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题．
5．设是周期为的偶函数，当时，，则________．
【答案】1
【解析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论．
【详解】
∵f（x）是周期为1的偶函数，
∴f（）＝f（4）＝f（）＝f（），
∵当0≤x≤1时，f（x）＝4x（1﹣x），
∴f（）＝4（1），
故f（），
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．
6．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于________．
【答案】8
【解析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．
【详解】
f（x）的周期T，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，
所以k•，k∈Z．令k＝1，可得ω＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型．
7．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________．
【答案】－
【解析】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，
∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－.
∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，
∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－＝－
8．已知数列是等比数列，有下列四个命题：
①数列是等比数列；②数列是等比数列；
③数列是等比数列；④数列是等比数列．
其中正确命题的序号为________．
【答案】①②④
【解析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断．
【详解】
由{an}是等比数列可得q（q为常数，q≠0），
①|q|为常数，故是等比数列；
常数，故是等比数列；
③数列an＝1是等比数列，但是lgan2＝0不是等比数列；
④q2为常数，故是等比数列；
故答案为：①②④
【点睛】
要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．
9．已知函数，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c的范围．
【详解】
f′（x）＝3x2﹣3
＝3（x﹣1）（x+1），
f'（x）＞0⇒x＞1或x＜-1；f'（x）＜0⇒-1＜x＜1，
∴f（x）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减，
∴，
函数f（x）恰有一个零点，可得>0或<0，
解得c＜-2或c．
可得c的取值范围是
【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．
10．已知在正四棱锥中，若，则当该棱锥的体积最大时，它的高为________．
【答案】
【解析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．
【详解】
设底面边长为a，则高h，所以体积Va2h，
设y＝24a4a6，则y′＝96a3﹣3a5，当y取最值时，y′＝96a3﹣3a5＝0，解得a＝0或a＝时，当a,则a＝时，体积最大，
此时h，
故答案为：．
【点睛】
本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题．
11．若在是减函数，则a的最大值是_____.
【答案】
【解析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【详解】
解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx），
由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得，∴．
则a的最大值是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
12．已知，为正实数，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】利用结合基本不等式求解即可
【详解】
由题则则
则
当且仅当即等号成立
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题
13．已知圆的半径为，若、为该圆的两条切线，其中、为两切点，则的最小值________．
【答案】
【解析】结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将•表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．
【详解】
如图所示：设OP＝x（x＞0），
则PA＝PB，
∠APO＝α，则∠APB＝2α，sinα，
•||•||cos2α•（1﹣2sin2α）
＝（x2﹣4）（1）＝x212≥812，
∴当且仅当x2时取“＝”，故•的最小值为812
故答案为：．

【点睛】
本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．
14．设函数（且为常数，其中为自然对数的底数），则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可
【详解】
，故函数为奇函数
又
故函数为增函数，
等价为 或，
解得，故不等式的解集是
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题

二、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，且．

（1）求证：平面；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）由三角形中位线定理得即可证明
（2）作CF⊥AB，F为垂足，证明面FCD,能证明DE⊥CD．
【详解】
（1）∵几何体为直三棱柱，
∴四边形为矩形．
设，则点O为的中点，
又∵，∴，即点E为的中点，
又∵D为的中点，∴在中，由三角形中位线定理得
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）作CF⊥AB，F垂足，因为，故F为中点，则
直三棱柱，故面ABC⊥面ABB1 A1，
则CF⊥面ABB1 A1，
因为ABB1 A1为正方形，故A1B⊥，又，面FCD,
故

【点睛】
本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16．如图，在中，为边上的一点，，，．

（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用同角三角函数基本关系得，进而求得，再利用正弦定理求解即可
（2）由正弦定理求，利用面积求得，再利用余弦定理和勾股定理求解即可
【详解】
（1）由，得
由，得为锐角，则为钝角，
即角B为锐角，由，得
则
在中，由正弦定理得，
即，解得，
（2）在中，，
由正弦定理得，即，解得
由的面积为480，得，解得
即
由余弦定理得，．
在中，，
则由勾股定理的逆定理可知，
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题
17．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在上是增函数，求的取值范围．
【答案】（1）的极小值；（2）
【解析】试题分析：（1）当时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）在上是增函数，则在上恒成立，从而，对任意的恒成立，即刻求解实数的取值范围．
试题解析：（1），
当时，，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值．
所以是的极小值．
（2）由（1）知，，
∵在上是增函数，
∴，对任意的恒成立，
即，对任意的恒成立，
①当时，显然成立，
②当时，设，
即，即，解得：，
又，∴，
③当时，即，对任意的恒成立，
即，，
而当时，，
∴，解得：，
综上所述，实数的取值范围是．
【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．
【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中在上是增函数，转化为，对任意的恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．
18．已知和满足，，，．
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式；
（3）设，记，证明：．
【答案】（1）证明见解析（2），（3）证明见解析
【解析】（1）由，两式相加减即可证明
（2）由（1）解方程组得和的通项公式
（3）利用错位相减求得，结合数列单调性即可证明
【详解】
（1）（其中），①
（其中），②
由①与②相加得，
即（其中），又，故是以1为首项为公比的等比数列
由①与②相减得，
即（其中），又，
则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，（其中），③
（其中），④
得，，
即，（），
（3）（其中），

即
由上下两式错位相减得

即
即，也即
又，即（其中），
又因为函数（其中）为单调递增函数，
则，即
【点睛】
本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题
19．如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域，其四条边均为道路，其中，，千米，千米，千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从地出发匀速前往地，其中甲的行驶路线是，速度为千米/小时，乙的行驶路线是，速度为千米/小时．

（1）若甲、乙两名特训队员到达地的时间相差不超过分钟，求乙的速度的取值范围；
（2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是千米．若乙先于甲到达地，且乙从地到地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度的取值范围．
【答案】（1）乙的速度ν的取值范围为，（单位千米/小时）（2）
【解析】（1）过点B作直线AD的垂线，垂足为E．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可
（2）讨论乙运动到AB,BC,CD时，甲、乙之间的距离的平方为的表达式，求函数最值，列不等式求解即可
【详解】
（1）如图．过点B作直线AD的垂线，垂足为E．
因为四边形ABCD为直角梯形，所以四边形EBCD为矩形，则，，
又在直角三角形ABE中，，即
则由题意得，甲从A地出发匀速前往D地所需时间为（小时），
乙从A地出发匀速前往D地所需时间为（小时），
由题意可知，即，解得，
所求乙的速度ν的取值范围为，（单位千米/小时）．

（2）设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为千米，
由于乙先于甲到达D地，所以，解得，
①当时，即时，

因为，所以当时，取得最大值，
且，
由题意可得，解得，
②当时，即时，
，
因为，所以，则当时，取得最大值，
且，解得
③当时，即时，
，
因为，所以，
则函数在区间上单调递减，即当时，取得最大值，
且，解得，
由①②③同时成立可得，又因为，所以
即所求乙的速度v的取值范围为．
【点睛】
本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题
20．设函数，函数为的导函数．
（1）若，都有成立（其中），求的值；
（2）证明：当时，；
（3）设当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）证明见解析（3）
【解析】（1）求导，利用对应项系数相等求即可即可
（2）证明等价证明，构造函数求最值即可证明
（3）讨论，恒成立，转化为证明，构造函数，求导求最值，证明当时不成立，当时，利用（2）放缩证明h(x)在区间上是单调递减函数即可求解，当时，构造函数，证明不成立即可求解
【详解】
（1），则
因为，即恒成立（其中），
则，，即，且
（2）当时，要证即证，
令，则，
当时，，即在区间上是单调递增函数，
当时，，即在区间上是单调递减函数，
则当时，，即当时，，也即，
所以当时，
（3）当，本题无意义，显然不成立，
所以不合题意，
当时，等价于，
由题设，此时有，
当时，若，则有，此时不成立，
即不成立，所以不合题意，
当时，令，
则等价于，即当且仅当，
，
又由（1）得，即，代入上式得：
，
①当时，由（2）知，即，
则
，此时函数h(x)在区间上是单调递减函数，
则，即恒成立，此时符合题意，
②当时，令，则，
又，则，即函数在区间上是单调递增函数，
即，也即，
则

当时，有，即函数在区间上是单调递增函数，
所以，即，所以不合题意，
综上可得，所求实数a的取值范围为
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题

第 18 页 共 18 页