第十二讲初二平面向量.doc

第十二讲（教师讲义）
平面向量
一、 学习目标：
1、 理解有向线段,向量及其有关的概念， 掌握平面向量的加法法则和减法法则,会用画图的方式求和向量及差向量。
2、 会利用向量的加减运算法则和运算律化简向量加减的运算,熟练进行向量加减法的互化。
3、 渗透数形结合的思想,促进学生对向量的理解，提高学生掌握向量运算的灵活性。
二、知识梳理:
平面向量知识点:
既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模)。
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。
【典型例题讲解】
例1:判断下列说法是否正确；不正确的请改正。
（1）既有大小又有方向的量叫做向量.
（2)起点位置不同但同向又等长的有向线段表示同一个向量。
（3)两个向量相等时,表示这两个向量的有向线段的终点不一定相同。
（4）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同。
(5)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同.
（6）向量的大小与方向有关.
（7）两个相等向量的模相等。
（8),则。
（9）若，，则
(10）向量的长度与向量的长度相等。
（11)模相等的两个平行向量是相等向量。
(12）向量与向量平行,则与的方向相同或相反
（13）平行四边形ABCD中,一定有
(14）如果,那么连接A、B、C、D四个点,一定能组成平行四边形。
例2：设O是正方形ABCD的中心，则向量是（　）
A、相等的向量　　　B、平行的向量 C、有相同起点的向量　　 D、模相等的向量
例3：如图，按1：100的比例尺用有向线段表示两个点相对位置：
（1） 点A在点O的东南方向3m处；
（2） 点B在点O的正东方向2m处; O .
（3） 点C在点O的北偏西60°方向4m处。
例4:如图，△ABC中,D，E,F分别是边BC，AB,CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，
（1)与向量平行的有 ．
(2）与向量的模相等的有 ．
（3)与向量相等的有 ．
1.向量的加法
求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。向量的加法满足交换律和结合律。
如图，＝ａ，＝ｂ,则向量叫做ａ与ｂ的和，记作ａ＋ｂ。
即ａ＋ｂ＝＋＝。
A
B
C
a
b
a+b

2．向量加法法则
（1）向量加法的三角形法则：
特点：首尾顺次连接.

运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.

(2）向量加法的平行四边形法则：
特点：起点相同
如图,在平面内过同一点A作＝ａ,＝ｂ，则以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD,则以A为起点的对角线向量即ａ与ｂ的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则.

A B
D C
说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和。

(3）向量加法的多边形法则：
特点：首尾顺次连接，以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点。
3.零向量
一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作。规定零向量的方向可以是任意的（或者说不确定）。
+（-)= + =
【典型例题讲解】
例1：已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中不正确的是（　　)
A。 B. C。 D.0
例2:看图填空:在四边形中，
;_____；______
a
b
例3：已知向量、 ,求作:+。

变式练习:
如图,已知向量ａ，ｂ，用两种方法求作向量ａ＋ｂ.

总结：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移为两向量同起点.
例4：一艘船从A点出发以２ km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示)。
分析与提示：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.
如图，设表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB作邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度。

22.9平面向量的减法
【知识点】
1.向量的减法
已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，用式子表示为：
2.向量减法法则
向量减法的三角形法则：
特点：共起点,指向被减向量。

我们知道,向量加法的三角形法则是：
若ａ=,ｂ＝，
则ａ＋ｂ＝＋＝ （如图（1)所示）

向量减法的三角形法则是：
若ａ＝,ｂ＝，
则ａ－ｂ＝－＝ （如图（2）所示）
注意：
上述两个法则的图示内容是显然可见的，同学们一般都较为注意，而对于两个法则的式子即(1）、（2)两式的内容，一些同学却不太注意，实际上，吃透这两个法则的式子内容也是非常重要的.
向量加法的三角形法则的式子内容是：两个向量(均指用两个字母表示的向量)相加，则表示第一个向量终点的字母与表示第二个向量起点的字母必须相同(否则无法相加），这样两个向量的和向量是以第一个向量的起点的字母为起点，以第二个向量的终点的字母为终点.
试自己说出向量减法的三角形法则的式子内容是：
【典型例题讲解】
例1：
(1）下列各式结果是的是（　　）
A. B。 C. D。
（2）在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是 （ ）
A． + B．－ C． + D．+

例2:
（1）化简：________
（2)化简：（＋）＋（＋）＝

变式练习：
已知正方形ABCD边长为1，模等于_______

a
b
例3:
已知：如图 是两个非零向量,求作向量.

变式练习：
A B
D C
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，指出图中向量: .
问:（1）平行四边形ABCD满足什么条件时，这两个向量所在的直线互相垂直？
（2）平行四边形ABCD满足什么条件时，这两个向量的长度相等？
（3）这两个向量可能是相等向量吗？为什么？

例4：
如图在正六边形ABCDEF中,已知：= a， = b,试用a、b表示向量 , , ， 。

例5:用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：如图,四边形ABCD是，对角线AC与BD交于点O，且，。
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明:

u 课后作业
1、在四边形ABCD中，向量、、的和向量是 。
2、已知在平行四边形ABCD中,设，，那么用向量、表示向量= ．
3、已知菱形ABCD的边长都是2,求向量的模是 ．
4、已知的模分别为1、2、3,则的最大值为 。
5、在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是 .
6、下列各量中是向量的是 （ ）
A．质量 B．距离 C．速度 D．电流强度
7、下列说法正确的是 ( ）
A．方向相同或相反的向量是平行向量
B．零向量的长度为0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．互为相反向量的两个向量一定是平行向量
8、在 ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．

9、如图，已知向量、．求作：向量（1);（2）．

O
A
B
C

10、如图，请用符号语言表示:

11、已知:矩形，对角线、相交于点．
（1）利用图中的向量表示：_____________;
（2)利用图中的向量表示：_____________；
（3)如果，，则___________．

12、如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB = DF.
(1）填空：=________；=_________；
A
E
C
F
B
D
（2）求作：．

三、精讲精练：
例1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B，CD=2cm，则梯形ABCD的面积为

A。 B。 C. D.
分析：作CE⊥AB于E,由∠B=，AC平分∠BAD
易知∠1=∠2=
又AB∥CD，∴∠1=∠3=，∴∠2=∠3
∴AD=DC=BC=2cm，∠ACB=
故AB=2BC=4cm
又∠4=,则BE==1cm
∴CE=
∴

故选A

例2。 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,点E是AD延长线上一点，DE=BC，

（1）求证：∠E=∠DBC
（2）判断△ACE的形状
分析：（1）由DEBC,得BCED是平行四边形
故∠E=∠DBC
(2）由ABCD是等腰梯形，可得△ABC△DBC，得∠DBC=∠ACB
又∠EAC=∠ACB，故∠DBC=∠EAC,由（1)得∠E=∠EAC
所以△ACE是等腰三角形.
（1)证明：∵AD∥BC，DE=BC ∴四边形BCED是平行四边形
∴∠DBC=∠E
(2）解：四边形ABCD是等腰梯形 ∴BD=AC,AB=CD
又BC=CB ∴△ABC△DBC ∴∠DBC=∠ACB
又AD∥BC ∴∠EAC=∠ACB ∴∠EAC=∠DBC
由（1）知∠E=∠DBC，∴∠E=∠EAC
∴△ACE是等腰三角形

例3。 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1,BC=4，AC=3，BD=4，求。

分析：本题采用平移一条对角线的方法,把已知线段都归结到一个三角形中去
延长BC至E点，使CE=AD，则ACED是平行四边形，∴AC=DE
又AD∥BC，∴，
∴，∴
而BD=4,DE=AC=3，BE=BC+CE=5，∴△DBE是Rt△，
∴
解：延长BC至E点，使CE=AD,连DE
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE=3
过D作DF⊥BC于F点,
∵AD∥BC
∴
∴，又
∴
在△BDE中，∵BD=4，DE=3，BE=BC+CE=5
∴，∴△BDE是直角三角形
∴
∴

例4. 如图，已知：AD是△ABC边BC上的高线，E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,求证：四边形EDGF是等腰梯形。

分析：在证明梯形时，不仅需要证明一组对边平行,而且需证明另一组对边不平行.
证明：在△ABC中，∵F、G、E分别是AB、AC、BC的中点
∴FG∥BC，即FG∥ED,EF=
在Rt△ADC中，∵G是斜边AC的中点，
∴DG=,∴DG=EF
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC
DG与AC相交,故在同一平面内,EF与DG所在直线相交
即EF与DG不平行，∴四边形EDGF是梯形
又EF=DG(已证）∴四边形EDGF是等腰梯形

例5. 有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农民种植（即将梯形面积两等分)，在图1和图2中，试设计两种方案，并说明理由.

图1 图2
分析：本题是充分利用梯形的面积公式和梯形的性质
解：设梯形的上、下底的长分别为a、b,高为h，根据梯形的图形特征,现提供如下两种设计方案。
方案1:如图3,连上、下底的中点E、F
则·

图3 图4
方案2:如图4，分别量出梯形上,下底a，b的长，在下底BC上截取BE=，连AE，则
，∴
例6 如图，在梯形ABCD中,AD∥BC，E为BC中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED交于点F．
（1）求证:梯形ABCD是等腰梯形；
（2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积．

解答:（1)证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB,
又∵EB=EC,
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB=ED,
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠AEB=60°，
∴AG=,
∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2.
点评：此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．

四、 堂后测：
一、选择题
1。等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰长与下底的夹角是（ ）。
A.5° B.60° C。45° D.30°
2。等腰梯形的高是腰长的一半,则底角为( )。
A。30° B.45° C.60° D。90°
3.下列命题中，真命题是（ ）.
A。有一组对边平行,另一组对边相等的梯形是等腰梯形
B。有一组对角互补的梯形是等腰梯形
C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形
D.有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形
4.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD=6cm,BD=9cm,AB=8cm,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，那么四边形EFGH的周长是( ).
A.14cm B。15cm C。16cm D.17cm

图1 图2 图3
5。如图2，等腰梯形ABCD，周长为40,∠BAD=60°，BD平分∠ABC,则CD的长为（ ).
A.4 B.5 C.8 D.10
6.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是(　）。
A。正方形 B。矩形 C。等腰梯形 D.直角梯形
7．如图3，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6,则梯形ABCD的面积是( ）.
A。 B。 C. D。
8。在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是 　　 （ 　）。

A B C D
9.在梯形ABCD中,AB∥CD，AB〉CD ，如果∠D>∠C，
那么AD和BC的关系是（ ）
A.AD〉BC B.AD=BC C.AD<BC D.不能确定
10。腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么此梯形的一个底角是（ ）
A。30° B.45° C.60° D。75°
二、填空题
11.直角梯形两底之差等于高，则其最大角等于_______.
12。如图4，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=CD，则AC=_______,
∠BAD=_____，∠BCD=_____，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为_______．

图4
13.等腰梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形最多有________对。
14.在四边形ABCD中AD∥BC,但AD≠BC，若使它成为等腰梯形,则需添加的条件是_____（填一个正确的条件即可）
15.如图5,梯形ABCD中,AB//CD，∠ABC=90°，AB=9cm,BC=8cm,CD=7cm,M是AD的中点,过M作AD的垂线交BC于N，则BN等于_____cm.

图5 图6
16。如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，若∠B=60°，AC⊥AB,那么∠DAC= ．30
17.如图7，在等腰梯形ABCD中AD//BC,AB=DC，CD=BC,E是BA、CD延长线的交点，
∠E=40°，则∠ACD=____________度。15

图7 图8
18。如图8，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于点O,有如下结论：①∠DAC=∠DCA；②梯形ABCD是轴对称图形； ③△AOB≌△AOD； ④AC=BD。请把其中正确结论的序号填写在横线上__________。
19。等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB,BC=BD，则∠A= .
20。等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，∠DAB=60° ，若梯形周长为8㎝,则AD= .

五、 回家作业：
三、解答题
21。如图9，等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm，一个角是45°，求等腰梯形的面积。

图9

22。如图10，等腰梯形ABCD中,AB//CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求梯形的各个内角.

图10
23.如图11，梯形ABCD中,AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE。求证AC=CE。

图11
24。如图12，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数．
4．
图12

25。如图13（尺寸单位：㎜）所示甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等，有两种面积相等的矩形铝板可供选用.第一种长500㎜，宽300㎜；第二种长600㎜，宽250㎜。为了充分利用材料，应选第 种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙零件共 个.剪下这些零件后,剩余的边角料的面积是 ㎜2.
150
200
300
300
100
100
图13

答案
一、1.B 2。A 3.B 4。C 5。C 6.D 7.B 8.D 9。 A 10。B
二、11。 135°； 12。 BD,∠CDA，∠ABC，等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的两个角相等; 13。 3； 14. ∠B=∠C等; 15.2; 16。30°; 17.15； 18.②④. 19。108°; 20.㎝
三、21. 解:因为ABCD是等腰梯形，AD=3cm，BC=5cm，过点A作AE⊥BC于E,
因为∠B=45°，∠BAE=45°，所以BE=AE，BE=(5-3）=1,所以AE=1,所以
S梯形ABCD=(5+3）×1=4（cm2）。
22. 解:因为AB//CD，DC=AD=BC,所以∠1=∠2，∠1=∠3,∠DAB=∠B，
所以∠1=∠2=∠3，
所以∠B=∠DAB=∠2+∠3=2∠2，
又AC⊥BC，所以∠2+∠B=90°,所以∠B=60°,
所以∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120°.
23. 证明:因为AB//CD，BE=DC,且BE在AB的延长线上,所以CD//BE,CD=BE,所以四边形DBEC是平行四边形，所以CE=DB,
因为AD=BC,所以梯形ABCD是等腰梯形,所以AC=BD，
所以AC=CE.
24。过点A作AE//DC交BC与E，]
∵AD//BC,四边形AEDC是平行四边形．
∴EC=AD=3,DC=AE，∴BE=BC-CE=7-3=4．
∵等腰梯形两腰相等，∴AB=CD=4,
∴AE=AB=BE=4，∴△ABE是等边三角形,∴∠B=60º．
25。选第一种铝板，最多能剪甲、乙两种零件2个，共计4个。
剩余边角料面积=500×300－（100+300）×200－（100+300）×150=10000㎜2