高三椭圆专题复习讲义(理).doc

椭圆专题复习1. 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时, 的轨迹为椭圆 ; ; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例1 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( )A4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能【变式训练】1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为 A.3 B.6 C.12 D.24 ( )2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为 A 5 B 7 C 13 D 15 ( )题型2 求椭圆的标准方程 例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【变式训练】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率（或范围）例3 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 【变式训练】5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 ( ) . . . . 6.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例4 已知实数满足,求的最大值与最小值【变式训练】7.已知点是椭圆（，）上两点,且,则= 8.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则_考点3 椭圆的最值问题例5 椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_【变式训练】9.椭圆的内接矩形的面积的最大值为 10. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值11.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是_考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围例7 、从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.、求该椭圆的离心率. 、若该椭圆满足，求椭圆方程.【变式训练】12.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 ( ) A. B. C. D. 13. 如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=,一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点. （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围.基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D 2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为( ） A 0B 1C 2D 33.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）A B C D4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _.6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 综合提高训练7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程8已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。9. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 椭圆专题复习1. 椭圆定义： 平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时, 的轨迹为椭圆 ; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(ac);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【变式训练】1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为A.3 B.6C.12 D.24 （ ）解析C. 长半轴a=3，ABF2的周长为4a=122.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为 （ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程 例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为或， 则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系警示易漏焦点在y轴上的情况【变式训练】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.解析(0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则2，即k0，0k0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能例7椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.、求该椭圆的离心率. 若该椭圆满足，求椭圆方程.解析 、 ，,， 又，, 而. 为准线方程，, 由 所求椭圆方程为【变式训练】14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，选A.15. 如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为， 则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由 方程有两个不等的实数根 MBN是钝角 即 解得：又M、B、N三点不共线 综上所述，k的取值范围是基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为 ( ) A B C D 解析 B . 2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为（ ） A 0 B 1C 2D 3解析 A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， 3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）A B C D解析 D. ,两式相减得：，4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 解析5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _. 解析 三角形三边的比是6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 解析综合提高训练7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程解析直线l的方程为： 由已知由得：，即由得： 故椭圆E方程为8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。解析（1）点是线段的中点 是的中位线 又 椭圆的标准方程为=1 （2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点 ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理， 9. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解析 ()由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是. . 椭圆的标准方程是()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为联立方程: 消去整理得, 有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以, 即所以, 即 得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 14