二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题).doc

(完整版)二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)
二次函数的存在性问题（相似三角形）
1、已知抛物线的顶点为A(2,1）,且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
(1）求抛物线的解析式；
(2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
A
A
B
B
O
O
x
x
y
y

图①
图②
(3)连接OA、AB,如图②,在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在,求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

2、设抛物线与x轴交于两个不同的点A（一1，0)、B(m，0），与y轴交于点C。且∠ACB=90°．
(1)求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D(1,n ）在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标．（3）在（2）的条件下,△BDP的外接圆半径等于________________．
解：（1）令x=0，得y=－2 ∴C（0，一2）．∵ACB=90°，CO⊥AB，．∴ △AOC ∽△COB,．
∴OA·OB=OC2;∴OB= ∴m=4．
x
y
F

-2

-4
-6
A
C
E
P
D
B

5
2
1
2

4
6
G

3、已知抛物线经过点A(5,0)、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2,m），请求出OBC的面积S的值。
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED(如图）,是否存在点P,使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1)由题意得： 解得故抛物线的函数关系式为
（2）在抛物线上， 点坐标为（2，6），、C在直线上
解得直线BC的解析式为
设BC与x轴交于点G，则G的坐标为(4，0）
(3）存在P，使得∽ 设P, 故
若要∽，则要或 即或
解得或
又在抛物线上，或
解得或 故P点坐标为和
4、如图，抛物线与轴的交点为．直线与轴交于,与轴交于．若两点在直线上,且，．为线段的中点，为斜边上的高．
（1）的长度等于 ； , ．
D

x
y
N
O
M
P
A
C
B

H
（2)是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足
以为顶点的三角形与相似？若不存在，说明理由；
若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上
是否还有符合条件的点（简要说明理由）;并进一步探索对符合条件的
每一个点，直线与直线的交点是否总满足
,写出探索过程．
解：（1）;，．（2)设存在实数,使抛物线上有一点,满足以为顶点的三角形与等腰直角相似．以为顶点的三角形为等腰直角三角形,且这样的三角形最多只有两类,
一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形．
①若为等腰直角三角形的直角边，则．由抛物线得：,．，．的坐标为．把代入抛物线解析式，得．
抛物线解析式为．即．
②若为等腰直角三角形的斜边，则，．
的坐标为．把代入抛物线解析式,得．
抛物线解析式为，即
当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得,
显然不在抛物线上，故抛物线上没有符合条件的其他的点．
当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点．
当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直角三角形，又，．,,总满足．当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，同理可证得:，总满足
y
x
O
A
B

5、如图，抛物线的顶点为A（2,1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；(3)连结OA,AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
解:（1）由题意可设抛物线的解析式为
∵抛物线过原点 ∴ ∴
∴抛物线的解析式为 即.
y
x
O
A
B
E
N

A′
（2）∵△AOB与△MOB同底不等高 又∵S△MOB=3 S△AOB ∴△MOB的高是△AOB高的3倍 即点M的纵坐标是
∴ ∴ 解得 ,
∴
(3）由抛物线的对称性可知：AO=AB
若△OBN与△OAB相似, 必须有， 显然
∴直线ON的解析式为, 由，得， ∴
过N作NE⊥x轴，垂足为E. 在Rt△BEN中，BE=2，NE=3,∴ 又OB=4 ∴NB≠OB
∴∠BON≠∠BNO ∴△OBN与△OAB不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点.
故在抛物线上不存在N点，使得△OBN与△OAB相似
6、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，
使CM＝｜CE—EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO。
（1)试比较EO、EC的大小，并说明理由；（2)令，请问m是否为定值？
若是，请求出m的值;若不是,请说明理由；（3)在(2)的条件下,若CO＝1，CE＝，
Q为AE上一点且QF＝,抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式。
（4)在（3）的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在
点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。
解（1)EO＞EC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC
（2）m为定值.∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC）（EO―EC)=CO·（EO―EC)
S四边形CMNO=CM·CO=｜CE―EO|·CO=(EO―EC） ·CO ∴
（3)∵CO=1， ∴EF=EO= ∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，
∴ ∴△EFQ为等边三角形，
作QI⊥EO于I,EI=,IQ= ∴IO= ∴Q点坐标为
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1）, Q ，m=1,∴可求得,c=1
∴抛物线解析式为
（4）由（3）， 当时，＜AB
y
O
x
C
N
B
P
M
A
∴P点坐标为 ∴BP=AO
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①时， ∴K点坐标为或；
②时,，∴K点坐标为或
故直线KP与y轴交点T的坐标为
方法2：若△BPK与△AEF相似，由(3）得：∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，
②当∠RTP=60°时，
∴
7、如图，二次函数()的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．（1）求实数的值；（2)若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在(2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点,使得以为项点的三角形与相似？如果存在,请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
8、已知：在平面直角坐标系中，抛物线（)交轴于A、B两点，交轴于点C，
且对称轴为直线．(1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点，
请进行如下探究:
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由;
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在,求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
x
O
C
B
A
D
M
P1
E
P2
y
x
O
C
B
A
D
M
P
图2
y
x
O
C
B
A
D
y
x
O
C
B
A
D

图1

解：（1)∵抛物线(）的对称轴为直线．∴，∴,
∴．∴．
（2)探究一:当时，有最大值．
∵抛物线交轴于两点，交轴于点，∴，，，
∴．当时,作轴于,则．
∵，∴．
∵

∴ ∴当时,有最大值，．
探究二：存在．分三种情况:
①当时，作轴于,则，
∴．∴,，
∴．∵轴,轴，
∴，∴，∴．
∴，．此时，又因为,
∴,∴，∴．
∴当时，存在点，使，此时点的坐标为（0，2)．
②当时,则，∴，∴．
∵,∴．∴与不相似,此时点不存在．
③当时,以为直径作,则的半径，
圆心到轴的距离．∵，∴与轴相离．不存在点,使．
∴综上所述，只存在一点使与相似．

y
O

C
D
B
6
A
x

9、矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，，
直线与边相交于点．
（1）求点的坐标；
(2）若抛物线经过点,试确定此抛物线的表达式;
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，
以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．
解：（1）点的坐标为．
（2）抛物线的表达式为．
（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．
∵， ∴．∵,
∴．∵抛物线的对称轴，∴点的坐标为．
过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．∵对称轴平行于轴，∴．
∵，∴．
∴点也符合条件，．∴，
∴．∴．∵点在第一象限,∴点的坐标为，
∴符合条件的点有两个，分别是，．
y
O

C
D
B
6
A
x

A
M
P1
P2

9