经济应用数学课件5-1-文档资料.ppt

5.1 偏导数偏导数 5.2 二元函数的极值二元函数的极值 5.3 条件极值条件极值 学习目标学习目标 教学建议教学建议 第五章第五章 多元函数微分学多元函数微分学 一一.二元函数的概念二元函数的概念 二二.偏导数偏导数 5.1 偏导数偏导数 四四.二阶偏导数二阶偏导数 三三.需求的交叉弹性需求的交叉弹性案例案例1 圆柱体的体积公式圆柱体的体积公式 一一.二元函数的概念二元函数的概念 描述了圆柱体的体积描述了圆柱体的体积 (因变量因变量)与其底面半与其底面半径径 和高和高 之间的确定关系之间的确定关系.这是一个以这是一个以 和和 为自变量的二元函数为自变量的二元函数.案例案例2生产函数生产函数(为常数为常数)产量产量,也称产出水平也称产出水平 描述了产量描述了产量 (因变量因变量)与投入的两种生产要素与投入的两种生产要素 (资本资本)和和 (劳动力劳动力)之间的确定关系之间的确定关系.这是一个以这是一个以 和和 为自变量的二元函数为自变量的二元函数.以上两个案例的共同点是：两个自变量每取定一组值时以上两个案例的共同点是：两个自变量每取定一组值时,按照确定的对应关系可以决定另外一个变量按照确定的对应关系可以决定另外一个变量(因变量因变量)的取值的取值.对照一元函数概念对照一元函数概念,这就是二元函数这就是二元函数.一般地一般地,以以 和和 为自变量为自变量,以以 为因变量的二元函数记作为因变量的二元函数记作 一元函数的自变量一元函数的自变量 的取值范围即定义域的取值范围即定义域,一般是数轴上的一般是数轴上的一个区间一个区间.而二元函数自变量的取值范围由数轴扩充到而二元函数自变量的取值范围由数轴扩充到 平面上平面上,二元函数的定义域通常是二元函数的定义域通常是 平面上的一个平面区域平面上的一个平面区域,记作记作 .函数函数 在点在点 的函数值记作的函数值记作 或或 二元函数二元函数 也有类似于一元函数也有类似于一元函数 存在极限存在极限及在一点及在一点 连续的概念连续的概念.以以 、和和 为自变量为自变量,为因变量的三元函数记作为因变量的三元函数记作 二二.偏导数偏导数 二元函数二元函数 有两个自变量有两个自变量,它求导数时它求导数时,是因变量对是因变量对 、对、对 分别求导数分别求导数,故称为偏导数故称为偏导数.(1)对对 求导数时求导数时,是把二元函数是把二元函数 中的中的 视为常量视为常量,只把只把 作为变量作为变量,对对 求偏导数求偏导数,记作记作 (2)对对 求导数时求导数时,是把二元函数是把二元函数 中的中的 视为常量视为常量,只把只把 作为变量作为变量,对对 求偏导数求偏导数,记作记作 (1)二元函数二元函数 在点在点 关于关于 的偏导数的偏导数,记作记作 (2)二元函数二元函数 在点在点 关于关于 的偏导数的偏导数,记作记作练习练习1解解 设设求求(1)对对 求偏导数时求偏导数时,视视 为常量为常量,有有(2)对对 求偏导数时求偏导数时,视视 为常量为常量,有有练习练习2解解(1)视视 为常量为常量,对对 求偏导数求偏导数,有有设设求求先求偏导数先求偏导数,再求偏导数在指定点的值再求偏导数在指定点的值.(2)视视 为常量为常量,对对 求偏导数求偏导数,有有将将 代入上式代入上式,得得将将 代入上式代入上式,得得练习练习3解解 求函数求函数的偏导数的偏导数.(1)对对 求偏导数时求偏导数时,视视 为常量为常量,这时这时是幂函数是幂函数,有有(2)对对 求偏导数时求偏导数时,视视 为常量为常量,这时这时是指数函数是指数函数,有有 对一元函数对一元函数 ,既表示既表示 对对 导数导数,又可看成是一个分式又可看成是一个分式:的微分的微分 与与 的的 微分之商微分之商.但对二元函数但对二元函数 ,、只是一个偏导数的只是一个偏导数的整体记号整体记号.比如比如,不能再看成不能再看成 与与 之商之商 注意注意 二元函数偏导数概念很容易推广到三元函数二元函数偏导数概念很容易推广到三元函数.一个三元函数一个三元函数 对对 的偏导数的偏导数,就是固定自变量就是固定自变量 与与 后后,作作为为 的函数的导数的函数的导数;其他两个偏导数类推其他两个偏导数类推.练习练习4解解 求函数求函数的偏导数的偏导数.这是三元函数这是三元函数,应求应求 对对 、对、对 、对、对 的偏导数的偏导数.(1)视视 和和 为常量为常量,对对 求偏导数求偏导数,有有(2)视视 和和 为常量为常量,对对 求偏导数求偏导数,有有(3)视视 和和 为常量为常量,对对 求偏导数求偏导数,有有三三.需求的交叉价格弹性需求的交叉价格弹性 在第三章中，我们介绍了一元函数弹性的概念现在我们在第三章中，我们介绍了一元函数弹性的概念现在我们利用偏导数的知识来研究多元函数的弹性问题利用偏导数的知识来研究多元函数的弹性问题假定货物假定货物1的需求量的需求量 是货物是货物1、货物、货物2的价格的价格(记作记作 、）与消费者收入）与消费者收入 的函数，即的函数，即称称 为货物为货物1和货物和货物2需求的交叉价格弹性需求的交叉价格弹性，用来衡量当货物，用来衡量当货物1的的价格和收入保持不变时，货物价格和收入保持不变时，货物1需求量的变动对货物需求量的变动对货物2价格变价格变动的灵敏程度动的灵敏程度.需求的交叉价格弹性需求的交叉价格弹性若若 ，则货物，则货物1和货物和货物2之间存在着互补关系；之间存在着互补关系；若若 ，则货物，则货物1和货物和货物2之间存在着替代关系之间存在着替代关系.当当 的绝对值接近于的绝对值接近于0时，货物时，货物1和货物和货物2之间几乎之间几乎互不相关互不相关练习练习5解解 设货物设货物1的需求量的需求量 与与 、及及 的函数关系由下式给出的函数关系由下式给出求当求当 时货物时货物1和货物和货物2需求的交叉需求的交叉价格弹性价格弹性 ，并说明二者的关系，并说明二者的关系当当 时，时，又又所以所以注意到注意到说明货物说明货物1和货物和货物2之间存在着替代关系之间存在着替代关系 四四.二阶偏导数二阶偏导数 二元函数二元函数 的偏导数的偏导数 、一般仍是一般仍是 和和 的的函数函数.若它们关于若它们关于 和和 的偏导数存在的偏导数存在,则则 、对对 和和 的偏导数称为二元函数的的偏导数称为二元函数的二阶偏导数二阶偏导数.再对再对 求导求导,得得再对再对 求导求导,得得再对再对 求导求导,得得再对再对 求导求导,得得混合偏导数混合偏导数 练习练习6解解 的二阶偏导数的二阶偏导数.求函数求函数先求一阶偏导数先求一阶偏导数再求二阶偏导数再求二阶偏导数练习练习7解解 的二阶偏导数的二阶偏导数.一阶偏导数一阶偏导数于是于是,得二阶偏导数得二阶偏导数求函数求函数