数列求和的七种基本方法.doc

(完整版)数列求和的七种基本方法数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中),2014（11）：1415）数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点,本文将通过例题（这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1 运用公式法很多数列的前项和的求法,就是套等差、等比数列的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：例1 已知数列的前项和，求数列的前项和。解 由,可得,，所以：（1）当时,=。（2）当时，所以 例2 求。解 设，本题即求数列的前项和.高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题（部分）)求数列的前项和。答案：。高考题2 （2014年高考四川卷理科第19题（部分）)求数列的前项和。答案：.高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列中,。(1）求；（2)设，求数列的前项和.答案：（1)；（2）。高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题）已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.（1）求及；(2)设是首项为2的等比数列，公比满足,求的通 项公式及其前项和。答案:(1)；（2)。2 倒序相加法事实上，等差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法.例3 求正整数与之间的分母为3的所有既约分数的和。解 显然，这些既约分数为:有 也有 所以 例4 设,求和。解 可先证得,由此结论用倒序相加法可求得答案为。3 裂项相消法例5 若是各项均不为0的等差数列，求证:。证明 设等差数列的公差为：若，要证结论显然成立；若,得 例8 证明且. 证明 高考题5 （2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列的前项和为，已知，为整数，且。（1)求的通项公式；(2）设,求数列的前项和。答案：（1);（2)。高考题6 (2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足。（1）求的值；（2）求数列的通项公式;(3）证明：对一切正整数，有。答案：(1);（2）；(3）当时，可得欲证成立。当时，再用裂项相消法可得欲证。 高考题7 （2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列的公差为2,前项和为，且，成等比数列. (1)求数列的通项公式;（2）令=求数列的前项和。答案：(1），。4 分组求和法例9 求。解 设，得.所以本题即求数列的前项和： 例10 设数列的前项和满足，又，求数列的前项和.解 在中，令可求得.还可得相减，得所以是首项为1公差为2的等差数列，得所以 当为偶数时，当为奇数时，总之,.高考题8 (2014年高考北京卷文科第15题)已知是等差数列,满足，数列满足，且是等比数列. （1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和.答案：（1)；（2）. 高考题9 （2014年高考山东卷文科第19题）在等差数列中,已知公差,是与的等比中项. （1）求数列的通项公式; （2)设，记，求。答案:（1)，。高考题10 （2014年高考浙江卷理科第19题（部分）)求数列的前项和.答案：.5 错位相减法高考题11 (2014年高考江西卷理科第17题）已知首项都是1的两个数列N*）满足。（1）令,求数列的通项公式; (2)若，求数列的前项和.解 (1)。(2)得。先写出的表达式： 把此式两边都乘以公比3，得 -,得 由等比数列的前项和公式，得 因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错:（1)等式右边前项的符号都是“+，但最后一项是“”；（2)当等式右边的前项不组成等比数列时，须把第一项作微调,变成等比数列（即等式），这增加了难度；（3）等式中最后一步的变形(即合并)有难度。但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握,争取拿到满分。这里笔者再给出一个小技巧检验：算得了的表达式后,一定要抽出万忙的时间检验一下是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查（重点是检查容易出错的三点)或重算。对于本题，已经算出了，所以。而由通项公式可知，所以求出的答案正确. 高考题12 （2014年高考课标全国卷I文科第17题）已知是递增的等差数列，是方程的根。 （1)求的通项公式；（2）求数列的前项和.答案：（1）.（2)用错位相减法可求得答案为。 高考题13 (2014年高考安徽卷文科第18题）数列满足N。(1）证明：数列是等差数列；(2)设,求数列的前项和。答案：（1）略。(2）由（1）可求得,所以，再用错位相减法可求得。 高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N*). （1)证明:数列为等比数列；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前项和。答案：(1）略.（2)可求得，所以，再用错位相减法可求得. 高考题15 （2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N）。(1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；(2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前项和。答案：（1).（2)可求得，所以，再用错位相减法可求得答案为.6 待定系数法例11 数列的前项和 .解 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，得 先用错位相减法求数列的前项和：所以有下面的结论成立：若分别是等差数列、等比数列（其公比)，且均是与无关的常数,则数列的前项和，其中是与无关的常数。由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：可设（其中是常数).可得,所以,解得，所以.例12 求和.解 得.用待定系数法可求出该等式的右边为，所以.七、求导法、积分法例13 （1)求证：；（2)求证：；(3)求数列的前项和(此即例6).解 （1)当时,显然成立.当时，由等比数列的前项和公式知，欲证结论也成立。(2）视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立。（3)。由(2)的结论中令，得数列的前项和为；又数列的前项和为。所以数列的前项和为高考题16 (2008年高考江苏卷第23题)请先阅读:在等式R)的两边对x求导,得.由求导法则,得，化简后得等式。(1）利用上题的想法(或其他方法）,试由等式R，整数证明:.(2）对于整数，求证:（i）； (ii)； （iii）。答案：(1)在已知等式两边对求导后移项可得欲证.(2) (i）在结论(1）中令可证。（ii)由已知等式两边对求导后再求导，又令，得,即,再由结论(i)得结论(ii）成立。(iii)在已知等式两边在0,1上对积分后可得欲证. 学习好帮手