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(完整版)数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法
甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中),2014（11）：14—15）

数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点,本文将通过例题（这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.
1 运用公式法
很多数列的前项和的求法,就是套等差、等比数列的公式，因此以下常用公式应当熟记：

还要记住一些正整数的幂和公式：

例1 已知数列的前项和，求数列的前项和。
解 由,可得,，所以：
（1）当时,=。
（2）当时，

所以
例2 求。
解 设，本题即求数列的前项和.

高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题（部分）)求数列的前项和。
答案：。
高考题2 （2014年高考四川卷理科第19题（部分）)求数列的前项和。
答案：.
高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列中,。
(1）求；
（2)设，求数列的前项和.
答案：（1)；（2）。
高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题）已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.
（1）求及；
(2)设是首项为2的等比数列，公比满足,求的通 项公式及其前项和。
答案:(1)；（2)。
2 倒序相加法
事实上，等差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法.
例3 求正整数与之间的分母为3的所有既约分数的和。
解 显然，这些既约分数为:

有
也有
所以
例4 设,求和。
解 可先证得,由此结论用倒序相加法可求得答案为。
3 裂项相消法
例5 若是各项均不为0的等差数列，求证:。
证明 设等差数列的公差为：若，要证结论显然成立；若,得

例8 证明且.
证明

高考题5 （2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列的前项和为，已知，为整数，且。
（1)求的通项公式；
(2）设,求数列的前项和。
答案：（1);（2)。
高考题6 (2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足。
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式;
(3）证明：对一切正整数，有。
答案：(1);（2）；(3）当时，可得欲证成立。当时，，再用裂项相消法可得欲证。
高考题7 （2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列的公差为2,前项和为，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
（2）令=求数列的前项和。
答案：(1），。
4 分组求和法
例9 求。
解 设，得.
所以本题即求数列的前项和：

例10 设数列的前项和满足，又，求数列的前项和.
解 在中，令可求得.
还可得

相减，得

所以是首项为1公差为2的等差数列，得

所以
当为偶数时，

当为奇数时，

总之,.
高考题8 (2014年高考北京卷文科第15题)已知是等差数列,满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
答案：（1)；（2）.
高考题9 （2014年高考山东卷文科第19题）在等差数列中,已知公差,是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式;
（2)设，记，求。
答案:（1)，。
高考题10 （2014年高考浙江卷理科第19题（部分）)求数列的前项和.
答案：.
5 错位相减法
高考题11 (2014年高考江西卷理科第17题）已知首项都是1的两个数列N*）满足。
（1）令,求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
解 (1)。
(2)得。先写出的表达式：
①
把此式两边都乘以公比3，得
②
①-②,得
③
④
由等比数列的前项和公式，得

⑤

因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错:（1)等式③右边前项的符号都是“+"，但最后一项是“—”；（2)当等式③右边的前项不组成等比数列时，须把第一项作微调,变成等比数列（即等式④），这增加了难度；（3）等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度。但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握,争取拿到满分。
这里笔者再给出一个小技巧——检验：
算得了的表达式后,一定要抽出万忙的时间检验一下是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查（重点是检查容易出错的三点)或重算。
对于本题，已经算出了，所以。而由通项公式可知，所以求出的答案正确.
高考题12 （2014年高考课标全国卷I文科第17题）已知是递增的等差数列，是方程的根。
（1)求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：（1）.
（2)用错位相减法可求得答案为。
高考题13 (2014年高考安徽卷文科第18题）数列满足N＊。
(1）证明：数列是等差数列；
(2)设,求数列的前项和。
答案：（1）略。
(2）由（1）可求得,所以，再用错位相减法可求得。
高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N*).
（1)证明:数列为等比数列；
（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前项和。
答案：(1）略.
（2)可求得，所以，再用错位相减法可求得.
高考题15 （2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N＊）。
(1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；
(2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前项和。
答案：（1).
（2)可求得，所以，再用错位相减法可求得答案为.
6 待定系数法
例11 数列的前项和 .
解 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，得

先用错位相减法求数列的前项和：

所以有下面的结论成立：
若分别是等差数列、等比数列（其公比)，且均是与无关的常数,则数列的前项和，其中是与无关的常数。
由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：
可设（其中是常数).
可得,所以,解得，所以.
例12 求和.
解 得.
用待定系数法可求出该等式的右边为，所以.
七、求导法、积分法
例13 （1)求证：；
（2)求证：；
(3)求数列的前项和(此即例6).
解 （1)当时,显然成立.当时，由等比数列的前项和公式知，欲证结论也成立。
(2）视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立。
（3)。
由(2)的结论中令，得数列的前项和为；又数列的前项和为。所以数列的前项和为

高考题16 (2008年高考江苏卷第23题)请先阅读:在等式R)的两边对x求导,得.由求导法则,得，化简后得等式。
(1）利用上题的想法(或其他方法）,试由等式R，整数证明:.
(2）对于整数，求证:
（i）； (ii)； （iii）。
答案：(1)在已知等式两边对求导后移项可得欲证.
(2) (i）在结论(1）中令可证。
（ii)由已知等式两边对求导后再求导，又令，得,即,再由结论(i)得结论(ii）成立。
(iii)在已知等式两边在［0,1］上对积分后可得欲证.
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